В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Изучим множество прообразов точки х ~= М". О и р е д е л е н и е. Стационарной группой точки х называется множество Г точек С Е= К", для которых у'хо = хо. 3 а д а ч а 3. Доиежзте, что Г есть подгруппа группы Вп, не гагисящах ~ритам от точки хе. Решение. Если бхо — — хе б'хо=хе та г г+е г г -е -е е в *о=в б хо=у хо=хо» б го=в б хо=хе. 242 Гл.
1о. ВВедение В теОРию возмущений Паатаму à — Падхрулла К". ЕСЛИ *= у"*, Е ЕН Г, та угл = бе+га, =- с г г = б У кг = У лс = л. Таким образом, стационарная группа Г есть вполне определенная, не зависящая от точки х, подгруппа группы К". В частности, точка 2 = О, очевидно, принадлежит Г. 3 а д а ч а 4. Донавпгте, что в достаточно ладой окрестности У точки 2 = О е Кг' нет другил тпчек стационарной группы Г, кроме тпчки Е = О. У к а л а и и е.
Отобрангезне 21 У П дпффеоыорфяо. 3 а д а ч а Гн Докажите, что е окрестности Е + У (рнс. 213) любой тпчки В ~и Г С Кп нет толк стационарной группы Г, отличныл от тпчки С. е~ вв Рлс. 212. К вааачс 5 Рлс. 214. Дискретная под- Рлс. 215. К дслаеахсльгруппа плоскости ству лепны о днскрсч- ных подгруппах Таким образом, точки стационарной подгруппы Г лежат в Кп дискретно. Такие подгруппы называются дискретными подгруппами. П р и м е р. Пусть е„..., еа — й линейно независимых векторов в К", () <й ~~ и.
Множество всех их целочисленных линейных комбинаций (рис. 214) т,е,+... +тлен,т,е=~=(... — 2,— 1,0,1, -.) % образует дискретную подгруппу в К". Например, множество всех целых точек на плоскости есть дискретная подгруппа плоскости. Г. Дискретные подгруппы в К". Мы воспользуемся теперь следующим алгебраическим фактом: приведенным примером исчерпываются все дискретные подгругшы в К". Точнее, будет доказана Л е м м а 3. Пусть à — диснретнал подгруппа еруппы К".
Тседл сугцесвгвуют Гг (О ~и й ~~~ п) линейно невйвис мих векторов ех,..., ек й= Г, таких, чтв Г есть в точности множество всех их целочисленных линейных комбинаций. Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем рассматривать в К" какую- нибудь евклндову структуру. Имеем всегда О ~ Г. Если Г =- = (О), лемма Доказана. Если нет, сУЩествУет точка ео 1== Г, еп чь О (рис. 215). Рассмотрим прямую Ке,. Покажем, что на этой прямой существует точка е, ближайшая к О.
Действительно, в шаре радиуса ! еп ~ с центром в О лишь конечное число точек Г 5 49. ИнтвгРИРукмык систвмы (у каждой точки Г, как мы видели выше, есть окрестность стандартной величины $', не содержащая других точек Г). Ближайшая к О из конечного числа точек этого шара, лежащих на прямой Ке„будет ближайшей к О точкой из Г на всей прямой.
На прямой Кег группе Г принадлежат целые кратные е (гпем т б= 7) и только они. Действительно, точки лге„делят прямую на части длины ) е, ). Если бы внутри одной из этих частей, (лгем (т + 1) е,),была точка е <== Г, то точка е — лгег б= Г была бы ближе к О, чем е,. Если у Г нет точек вне прямой Ке„то лемма доказана. Пусть существует точка е ~= Г, е б= Ке,. Покажем, что существует точка е, с= Г, блиясайгпагг к прямой Ке (сама не лежащая на прямой). Спроектируем е ортогонально на прямую Ке,.
Проекция легкит ровно в одном отрезке Л =- ()ед), т (Х( и+ 1. Рассмотрим прямой круговой цилиндр;Ц с осью Л и радиусом, равным расстояяию от Л до е. В этом цилиндре лежит конечное (ненулевое) число точек гругшы Г. Пусть ег — ближайшая из них к оси Кеы но не лежащая на оси. 3 в д в ч в 6. Докюките, что расстсяниг от любой точки группы Г, нг лежащей на оси Кег, дс этой оси нг меньше, чгм расстояние от точки гг до оси Кег. У к а в а п и е. Сдвигом па те можно ввгпвть проекцию ка ось в отрезок Л. Целочисленные линейные комбинации ег и ег образуют решетку в плоскости Ке + Кев.
3 в д в ч в 7. Докажите, что никакик другшс тачек подгруппы Г, кроме Вглсчисггнныа лингйныс ксмбинауий ег и ег, на плоскосгаи Кег + Кег нгт. У к в в а вне. Разделите плоскость па параллелограммы (рис. 216) Л (Х,ег+ Хгег), тг ~ Х; к., тг+ 1. Кслн бы е ш Ь, е~ тгег+ пггег, таточка е — тле — тге была бы ближе к Ке, чем е„. Если у Г (нет точек впе плоскости Ке, + Ке„то лемма доказана. Пусть суЩествУет точка е б= Г вне этой плоско- ег сти. Тогда существует ближайшая к плоскости Кег + Кев точка ег б— : Г; точки ег шгег + твев + лггев исчерпывают Г в мо к трехмерном пространстве Ке, + Кее + Кег. Если Г этим не исчерпана, берем ближайшую точку к этому трехмерному пространству, и т.
д, 3 в д е ч а 8. Докажите, что ближайша точка каждый раг существует. У к а в в к и е. Ваять ближайшую ив кокечпого числа точен соответствующего гциликдреь ггг 244 ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИИ Заметим, что все получаемые векторы е„е„еэ,... линейно независимы. Поскольку все они принадлежат К", число их й не больше и. 3 з д з ч а 9. Покажите, что Г исчерныееется целочисленными линей- ными ксмбинсци ми е,..., ек. У к а з анно. 1)лоскость Кое+ ... + Как разбить на пзроллолопвпс- ды с в показать, что нн в одном б пе может быть точек Г. Если есть ез еы Г вне плоскости Ис + ... + Кек, то псстроонно по окончено. Итак, лемма 3 доказана.
теперь нетрудно доказать лемму 2: м1 диффеоморфно тору т". Рассмотрим прямое произведение й окружностей и л — й пря- мых: Гз х Кки = ((ф„..., ф„; у„..., у„к)), ф шосЫ 2я, вместе с естественным отображением р: К" — Тз х К" з р (ф, у) = (ф шобб 2я, у). Точки Хы ..., Кз с= К" (У ~ имеет координаты ф, = 2к, фт — — О, у = 0) переходят при этом отображении в О. Пусть е, ..., е ~ Г ~ К" — образующие стационарной группы Г (см.
лемму 3). Отобразим линейное пространство К" = = ((ф, (д)) на пространство К" = (д) так, чтобы векторы у1 пере- шли в еы Пусть А: К" — ы К" — такой иэоморфиэм. Заметим теперь, что К" = ((ф, у)) задает карты Т х К" з„ а К" = (1) — карты нашего многообразия Мр 3 а д з ч з 10. Докажите, что отображение карт А: Кн Кн задает диффеоморф ян я: Гк Х К" " М, Х' И =((ф, ЭЛ вЂ” ьК =(Е) тм ы К~т — ). М г Но так как многообразие Ме по условию компактно, то й = и и Мг есть л-мерный тор.
Лемма 2 доказана. Ввиду леммы 1 доказаны первые два утверждекнк теоремы. Одновременно мы построили на Мг угловые координаты фт, ..., ф„шоИ 2я. 3 ад а ч а 11. Показать, что нод дейстеием фаеоеосо потока с функцией Гамильтона Н Уелсеые координаты ф меняются равномерно: фе = в;; в; = ве (Г); ф(с) = ф(0) + вс. Квымв словами, деитение ка инеариантнсм торе МГ Уклеено-"кериодиУказанне. И=А яе.
Иэ всех утверждений теоремы осталось доказать лишь послед- нее: что система интегрируется в квадратурах. 1 зо. пжгжмннныж джиствиж-угол й 50. Переменные действие — угол Здесь повазавс, что в условиях теоремы Лиуаизля можно выбрать та.кие сю«влсктячссввс воордиваты (.Г, а«), что первые интегралы яг завясят олька от я, а «у — угловые воордвваты ва торе д« А. Описание переменных действие — угол.
В у 49 мы занимались исследованием одного-единственного связного, компактного многообразияуровняинтеграловМг = (хл г' (х) =- 1); оказалось, что Мг есть и-мерный тор, ивариантный относительно фазового потока. Мы выбрали угловые координаты ср«на Мг так, что фааовый поток с функцией Гамильтона Н = — Рг принимает на Мг особенно простой вид: дг — — ««(1), «р(8) = «р(0)+ юГ. Рассмотрим теперь окрестность и-мерного многообразия Мг в 2пмерном фазовом пространстве. 3 а д а ч а. Дсважиче, что многообразие д«, имеет онрестность, диффеоморфную прямому нроигеедению и-мерного тора Т" на шар Ра и-мерного ееелидоеа оространстеа. у к а з а и я с. Привять аакссрдвваты фуявцвм р«в построенные вмшс углы «рь Ввиду линейной всзазясвмоств др«, фуяицвв р«в «р«(« = 1,..., и) задаязт дяффссмсрфязм окрестности МГ яа прямое произведение га Х Юа.
Во введенных координатах (К, «р) фазовый поток с функцией Гамильтона Н = Рг записывается в виде особенно простой систеыы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений — = О, б — (Р'), (1) которая немедленно интегрируется: я«' (1) =- я«' (О), «р (г) = «р(0) + + а«(Хд (О)) 1. Таким образом, чтобы явно проинтегрировать исходную каноническую систему дифференциальных уравнений, достаточно в явном виде найти переменные «р.
Оказывается, зто можно сделать, испольауя лишь квадратуры. Такое построение переменных «у приведено жия«е. Заметим, что переменные (г', «р) не являются, вообще говоря, симплектическими координатами. Окавывается, существуют некоторые функции от ХЯ, мы обозначим их Х = Х(Р), Х = (1п... , 1„), такие, что переменные (Х, «р) уже являются снмплектическими координатами: исходная симплектическая структура а«г выражается через них по обычной формуле сд' = — Х41« /~ «йу«. Переменные Х нааываются переменными действия е) и вместе с угловыми переменными «р они образуют в окрестности мно- а) Нетрудно сообразить, что Х имеет размервость действии, 246 ГЛ. 10, ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ гообразия М1 систему канонических координат действие— уеаа.
Величины 1, являются порвыми интеграламн системы с функцией Гамильтона Н = г'г, как функции от первых интегралов г'1. В свою очередь переменные г'1 можно вырааить череа Х, и, в частности, Н =- гд — — Н (.1). В переменных действие — угол дифференциальные уравнения нашего потока (т) имеют вид — = О, — = ю(Г). д1 ~йр (2) 3 а д а ч а. Мелют лн функции и (.1) в (2] быть произвольной? Р е в1 е к и е. В переменных (1, гр) уравнении лотова (2) имеют канонический вид, с функцией Гамильтона 11 ( Г).
Слодовательно, и ( Г) =- дН1д1; поэтому, если число степеней свободы л ) 2, то фуикцгш ге (Х) ие произвольны, а удовлетворяют условию симметрии дю,lд11 == да;)д1,. Переменные действие — угол особенно вахгны для теории возмущений; в $52 указано их применение в теории адиабатических ннвариантов. Б. Построение переменных действие — угол в случае одной степени свободы. Система с одной степенью свободы на фазовой плоскости (р, о) задается функцией Гамильтона Н (р, д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
