В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 51
Текст из файла (страница 51)
При исследовании этих и подобных задач чрезвычайно плодотворен следующий метод. В. Принцип усреднения. Пусть Х, «р — переменные действие— угол в интегрируемой («невозмущенной») системе с функцией ° ) К атому классу относится, нанрнмер, двнжанне но инерции на иногообраанях отрицательной крнвнввм. 257 $ ьз. усвед пение Возмтщений Гамильтона Н, (Х): Х=О, дТ 8 качестве близкой «возмущенной» системы рассмотрим систему ф =«в(Х) + еУ'(Х, «р), д(Х, р), где з в='1. Забудем временно о гамильтоновостн системы и рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений (1), заданную на прямом произведении Т' ~ « '- Уг-мерного тора Т" = = («р = («р„..., «р««) шо«1«) 2п) и области б 1-мерного пространства П С: К~ = (Е = (1«,..., У«)).
При з = О движение (1) условно-периодическое, ~( й-частотное, с У«-мерными инвариантными торами. Принцип усрвдпения оля опотвмы (1) состоит в ее замене другой системой, называемой усредненной системой: ,У=ад(У), д(,У) =(2п) з ~ ...
) д(У, «р)«(«рт ° ° ° «1«р» (2) о о в 1-мерной области СС К' = 1 У = (Хм..., У«)). Утпверждавтоя, что система (2) «хоро«ао аппраксимируете систему (1). Заметим, что зтот принцип — не теорема, не аксиома и не определение, а фиаическое предложение, т. е. расплывчато сформулированное и, строго говоря, неверное утверждение. Такие утверждения часто бывают плодотворными источниками математических теорем. Рассматриваемый принцип усреднения явно встречается уже у Гаусса (при изучении возмущений планет друг другом Гаусс предложил раамазать массу каждой планеты по ее орбите пропорционально времени и заменить притяжение планет притяжением полученных колец). Тем не менее удовлетворительное исследование свяаи между решениями систем (1) и (2) в общем случае не проведено и посейчас.
Прн замене системы (1) системой (2) мы откидываем в правой части слагаемое зд(Х, «о) = ед(Х, «р) — ед (У). Это слагаемое имеет порядок е, такой же, как и оставленное слагаемое зд. Чтобы понять различие роли слагаемых д и д в д, рассмотрим простейший пример. 3 а д а ч а. Рассмотрите случай й = 3 = 1, ф = «о чь Оз У = зд («Р). 258 гл. 10. ВВединик В тиогию Воз»«гтцений Покажите, что при Ое. г<'— ( 1 (Г) — У (Г) ( ( се, где Х («) = 1 (0) + айй Р е ш е н и е.
1 (Г) — 1 (0) = ~ ед (г«+ юг) й = ~ ех ««г + — ~ и («р) «йр =* = ейг+ — Ь («ег), где й(«у) =~у(«у)а«р — периодическая и, следовательно, ограни- » ченная функция. Таким образом, изменение 1 со временем состоит из двух частей: осцилляций порядка з, зависящих от е, и систематической «эволюции» со скоростью з» (рис.
224). Принцип усреднения основан на представлении о том, что и в общем случае движение системы ($) можно разделить на «эволюцию» (2) и малые осцилляции. В общем виде такое представление не обосновано, а сам принцип неверен. 0 Тем не менее применим егп к гамильтоновой системе (1): д ег ф = — (Н«(Я)+ зН«(х, Е)), У- — — (Н.М+ НМ. р)). В качестве правой части усредненной системы (2) получим тогда — д«= (2п) " ~ — Н., (Я, «р) «««у = О.
« Иными словами, в гамилыпоновой невмрожденной системе гволю«1ии нет. Один иа вариантов этого совсем нестрогого вывода приводит к так называемой теореме Лапласа: Большие полуоси кеплеровых вллипсов планет не имеют веновььг возму«агний $ Сказанного достаточно, чтобы убедиться в важности принципа усреднения; сформулируем теперь теорему, обосновывающую этот принцип в одном весьма частном случае — случае одночастохных колебаний (й = $).
Эта теорема показывает, что усредненное уравнение правильно описывает аволюцию на большом отрезке времени (О < г < $/е). 259 $52. УСРЕДНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В. г'среднение в одночаствтной системе. Рассмотрим систему 1+ 1 дифференциальных уравнений ф = ю (Т) + е/ ( Т, юр), 1 <р шоб 2п Е= 8«, Т= ед(Х,~р), /Тб=бС К, (1? где / (Х, юр + 2Н) аи У (Х, «р), д (Х, <р + 2я) нв д (Т, ~р), и «усреднениуюэ систему ез Е уравнений «Т=ед(Т), где д(.Т) = —,~ д(Т,ьр)йр.
(2) $ о 3) при О ( г ( 1Уе точка Т (г) принадлежит б с окрестностью радиуса г«« Т (т) ~с б — б. Тогда при достаточно малан е (О ( е ( е«) ) Х («) — Т (г) ~ ( с«е для всех г, 0 ( Ф (1/е, где постоянная с ) О зависит от с„с, «), но не от е. Некоторые приложения атой теоремы будут даны ниже («адиабатические инвариантыз).
Заметим, что основная идея доказательства этой теоремы (замена переменных, убивающая возмущение) важнее самой теоремы; зто — одна из основных идей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений; она встречается уже в элементарном курсе в виде «метода вариации постояниыхэ. Г. Доказательство теоремы об у«юеднении. Вместо переменных Х введем новые переменные Р .Р = Т+ ей (Х, ~р), где 2п — периодические но <у функции й подберем так, чтобы век- тор .Р удовлетворял более простому дифференциальному урав- нению.
Обозначим через .Т (г), <р (к) решение системы (1) с начальным условием Т (0), <р (0), а через У' (г) — решение системы (2) с тем же начальным условием У (0) = Х (0) (рис. 225). Т е о р е м а. Пусть 1) функции ы, У, д оп- Ю-~К ределены, когда Т меняется в ограниченной обла- УЮ сти б, и в втой области ограничены со своими производными до второго порядка включитпельнш !! ю«6 д ((очохвч ( с«' Ю 2) в области б ю (Х) ) с ) 0; 260 Гл.
1О. ВВедение В таогию ВОзмущений Скорость изменения .Р (1), согласно (1) и (3), равна да ди .Р = Х + е —.Х + е — Ф = ди дй ~Е(Х, 1с) + — ю (Х)~ + з' —. а + с* — 1. (4) Предположим, что замену (3) можно обратить, так что Х = Р + еуь (Р, <р, е) (5) где «остаточный члена . — второго по е порядка малости: (7) )Л ! с с«ез, с (сг,сюс«))0, если только !! Ю !)Сз ( С1, !! ~ !)С~ ( С11 !! й!!С1 ~ С1, !! «С !!С1 К СЗ~ (! 7«!!с ~ с«. (8) Постараемся теперь выбрать замену переменных (3) так, чтобы обратить в 0 член с з в (6). Мы получаем для 7« уравнение дв 1 — = — — Й.
д«1 ы Вообще говоря, такое уравнение неразрешимо в классе периодических по «р функций 7«. Действительно, среднее значение (по 1р) левой части равно всегда О, а среднее аначение правой части может и не равняться О. Поэтому мы не можем выбирать 1« так, чтобы убить целиком часть с е в (6). Однако мы можем убить всю «периодическуюэ часть д, У(Р1 д) У(Р.
~) — У(Р). полагая (9) Итак, определим функцию гс формулой (9). Тогда, ввиду условий $) и 2) доказываемой теоремы, функция 7« удовлетворяет оценке !! 7с !!с С с, где са (с„с) ~ О. Чтобы установить неравенства (8), остается оценить Ь. Для этого прежде всего нужно показать« что замена (3) обратима. Зафиксируем положительное число а, (где функции 7« 2п-периодичны по <р). Тогда из (4), (5) следует, что Р (8) подчиняется системе уравнений )+ д "~~)~+~' (6) ь нь ксоидниник возмицкнии 261 Л е м м а.
Если е достаточно мало, то озраничение отображения (3)е) Х-эХ+ ей, где ) й )с <а) «с, на область с — а (сосгноягцую из точек, входящих в С с а-окрестностью) есть диффеолсорфизлг. Обратный диффеоморфием (5) в области б — 2сг удовлепиюрмт оценке ) й )с* ( са с некстпорой постоянной са (сг, са) ~ О. До к а з а те льсти о. Нужная оценканепосредственновытекает из теоремы о неявной функции. Некоторое затруднение вызывает лишь взаимная однозначность отображения Х-э Х + ей в области б — а. //с Заметим, что функция й удовлетворяет в области г/ — сг условию Лвпшица (с некоторой по- 1Ю стоянной Х, (а, с )).
Рассмотрим две точки угг Х изгг — сг. При достаточно малом е (а именно, при Х е < г) расстояние между ей(Х,) и зй(Хе) будет меньше ) Х, — Хе ). Позтому Хг + е/с(1г) чь Х + в,~. ми. дряа, + ей(Хе). Итак, отображение (3) в 6 — а взаимно однозначно, и лемма доказана. Из леммы вытекает, что при достаточно малом з справедливы все оценки (8). Значит, справедлива также оценка (7). Сравним теперь системы дифференциальных уравнений для У ,у = ед(,у) (2) и для .Р; последняя ввиду (9] принимает вид Х' = еу (Р) + ХТ. (6') Поскольку разинца между правыми частями порядка «ее (см.
(7)), то за время С 1/е регпения разойдутся на расстояние ) Р— Х ) «е (рис. 226). С другой стороны, ) Х вЂ” .Р ! = = е ) Ус ) «е. Итак, разность ) Х вЂ” У ) приз«г/е имеет порядок «е, что и требуется. Переходя к аккуратным оценкам, введем величину г (Г) = ,Р (Г) — ,у (Г). (10) Тогда иа (б'), (9) вьпекает л = е (д (Р) — д ( Г)) + гс =- е — г+ гг', дР где ( гч' ) «сесе + с е ) л ], если отрезок (Р, д') лежит а б — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
