В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Мы скажем, что поля в, и н«изоеаеихренм, если существует такой сохраняющий алемент объема диффеоморфизм йт Р— Р, который переводит каждый замкнутый контур у в Р в такой новый контур, что циркуляция первого поля по исход ному контуру равна циркуляции второго по сдвинутому контуру« ~Ф» — ~н». т зт Легко проверить, что образ орбиты коприсоединенного представления в алгебре (под действием обратного к оператору инерции оператора А «) не что иное, как множество полей, иаозавнхренных данному.
Б частности, теорема 3 принимает теперь вид следующего закона сохранения циркуляций. гводезичжские левоинвАРиАнтных метвик 299 Т е о р е и а 12. Циркуляция поля скоростей идеальной жидкости по замкнутому жидкому контуру не меняется, когда контур переносится жидкостью на новое место.
Заметим, что если два поля скоростей трехмерной идеальной жидкости в Р изозавихрены, то соответствующий диффеоморфизм переводит ротор первого поля в ротор второго: у«гас тзз = гос тзз. Более того, изозавнхренность двух полей можно определить как эквивалентность полей роторов, если область течения односвягна. Следовательно, задача об орбитах копрнсоединенного представления в трехмерном случае содержит в себе задачу о классификации веюпорных полей дивергенции нуль с точностью до сохраняющих злемент объема диффеоморфизмов.
Эта последняя задача в трехмерном случае безнадежно трудна, Рассмотрим теперь двумерный случай. Вначале перепишем основные формулы в удобных дляй рассмотрения двумерного случая обозначениях. Предположим, что область течения Р двумерна и ориентирована. Метрика и ориентация задают на Р симплектическую структуру; векторное поле скоростей имеет дивергенцию нуль н потому гамильтоново. Следовательно, зто поле задается функцией Гамильтона (вообще говоря, многозначной, если область Р неодносвязна).
Функция Гамильтона поля скоростей называется в гидродинамике Функцией тока и обозначается через ф. Таким образом, о = 1 йгабф, где 1 есть оператор поворота на 90' «вправо». Функция тока коммутатора двух полей оказывается якобианом (или, если угодно, скобкой Пуассона гамильтонова формализма) функций тока исходных полей ч1;..1 = Х гг ° ф ).
дтз, доз, дй дч о дч дс дх ду ду дх дз дз Л= — +— дхз де» Векторное поле Л (с, а) дается в двумерном случае формулой .В = — (йу,) йгаб ф + ягаб а, где зу и ф, — функции тока полейа но, Л = ЙЬ йгаб — лапласиан. В частном случае евклидовой плоскости с декартовыми координатами х, у формулы для функции тока, коммутатора и лапласиана принимают особенно простой вид довлвлвние 2 Вихрем (или ротором) двумерного поля скоростей называется скалярная функция, интеграл произведения которой на ориентированный элемент площади по любой ориентированной области и в В равен циркуляции поля скоростей по краю области от Легко сосчитать выражение ротора через функцию тока: г = — Ьф.
В двумерном односвязном случае нэоэавнхренность полей и и яэ означает просто, что функции г и г, (роторы этих полей) переходят друг в друга при подходящем сохраняющем площади диффеоморфиэме. Две функции г, я г, с таким свойством во всяком случае равноиэмерямы, т. е. для нях гаев (х бБ Й: гг (х) ~ с) = шез (л ~ Э: г, (х) «~ с), каково бы нн было число с. Следовательно, принадлежность двух полей образу одной орбиты коприсоеднненного представления влечет равенство целой серии функционалов, например, интегралов от всех степеней ротора В частности, уравнения Эйлера движения двумерной идеальной жидкости — + п7с = — ягабр, а1то =О, дэ имеют бесконечный набор первых интегралов.
Например, интег рал от любой степени ротора поля скоростей является таким первым интегралом. Именно существование этих первых интегралов (т. е. относительно простая структура орбит коприсоединенного представления) позволило доказать теоремы существования, единственности и т.
д. в двумерной гидродинамике идеальной (а также и вязкой) жидкости; и именно сложная геометрия, орбит коприсоединенного представления в трехмерном случае (или, может быть, недостаток информации об этих орбитах) делает столь трудной задачу обосновании трехмерной гидродннамнкн. К. Устойчивость плоских стационарных течений. Сформулируем теперь общие теоремы о стационарных вращениях (теоремы гводвзпчхскив лввопнвлгилнтных млтэпк 301 7, 8 и Р выше) для случая группы диффеоморфизмов. Мы получая тогда следующие утверждения: 1. Стационарное течение идеальной жидкости выделяется из всех изззавихренных с ним течений тем, что оно является точкой углов -ого экстремума (или критической точкой) кинетической энергии.
2. Если 1) указанная критическа ч пючка — дейстзшпельно экстоемум, т. е. локальный условный максимум или минимум, 2) выполняется некоторое (вообще говоря, выполненное) условие регулярности и 3) экстремулс невырожден (второй дифференциал знокоопределен), то сгпационарное течение успзойчиво (т. е.
являеагся устойчивым но Ляпунову положением равновесия уравнения Эйлера). 3. Формула для второго дифференциала кинетической энергии на касательном простртитпве к многообразию полей, изозаеихренных с данньич, имеет в двумерном случае следуюзций вид. Пусть Р— область на евклидовой плоскости с декартовыми координатами х, у. Расакотрим стационарное течение с функцией тока ф = = 'ф (х, у).
Тогда 2бН.=. ~~(б )г+ —,(бг) д бу, о где бв — вариация поля скоростей (т. е. вектор указанного вызов касательного пространства), а бг = го$6е. Заметим, что длв стационарного течения векторы градиента функции тока и ее лапласиана коллинеарны. Поэтому отношение рфчЛф имеет смысл. далее, вокрестностикаждой точки, где градиент ротора не равен нулю, функция тока является функцией от функции ротора. Приведенные вьппе утверждения приводят к заключению, что знакоопределенность квадратичной формы сРН должна быть достаточным условием устойчивости рассматриваемого стационарного течения.
Это заключение не вытекает формально из теорем 7, 8, 9, так как применение всех наших формул в бесьонечномерном случае требует обоснования. К счастью, можно обосновать окончательный вывод об устойчивости, не обосновывая промежуточных построений. Таким образом, удается строго доказать следующие априорные оценки (выражающие устойчивость стационарного течения относительно малых возмущений начального поля скоростей). Т е о р е м а 13. Предположим, что функция тока стационарного течения ф = ф (х, у) в области Р является функцией от функции ротора (т. е.
от функции — Ьф) не только локально,но и в целом. Предположим,'что производная функции тока по функции ротора удовлетворяет неравенстеу С<; ~а (С, гдЕ 0(С(С(со. уац- З02 довлвлкник з Пусть ф + ~р (х, у, 1) — у)ункция тока другого течения, уже не обязательно стационарного. Предположим, что в начальный момент циркуляция паяя скоростей возмущенного течения (с функцией тока ф + ~р) по каждой компоненте границы области Р равна цирку яции исходного течения (с 16ункцией тока «р). Тогда возмущение <р = «р (х, у, 1) в любой момент оценивается через начальное возмущение «ро = <р (х, у, О) по формуле фрц)г+ с(Дц)об 'у (Ц(уць)г+ С(Дцо)гдхбу.
В и Если же стационарное течение удовлетворяет неравенству с( — —,„(С, О<" с<. С( о, ЫРто возмУЩение ф оЦениваетсЯ чеРег <Ро по 1боРмУле ~ ~ с (д«р)г — ('Гц)г бх Иу ~( ~ ~ С (Д«ро) г — (Р«ро) г «)х бу. Из этой теоремы вытекает устойчивость стационарного течения в случае положительной определенности квадратичной формы 1 1 (7«р)'+ Ж (Д«р) «(хбу относительно р«р (где ~р — постоянная на каждой компоненте границы области Р функция, у которой равен нулю поток градиента через каждую компоненту границы), а также в случае отрицательной определенности формы ~ ~ (7~р)г -';- (тпах =,Л )(Дц)г Нх бу.
П р и м е р 1. Рассмотрим плоское параллельное течение в полосе Уг ( у ( уг на плоскости (х, у) с профилем скоростей о (у) (т. е. с полем скоростей (о (у), О)). Такое течение стационарно при любом профиле скоростей. Чтобы сделать область течения компактной, наложим на полн скоростей всех рассматриваемых течений условие периодичности с периодом Х по координате х.
Условие теоремы 13 выполняется, если профиль скоростей не имеет точек перегиба (т. е. если а»ой»у» =ф О). Мы приходим к выводу, что плоские параллельные течения идеальной жидкости бег точек перегиба профиля скоростей устойчивы. Аналогичное предложение в линеаризованной задаче называется тпеоремой Рвлея. Подчеркнем, по в теореме 13 речь идет не об устойчивости «в линейном приближении», а о настоящей строгой устойчивости по Ляпунову (т. в.
относительно коночных вогму1цений в нелинейной гадвчв). Различие между этими двумя ввдвии устойчивости в рассматриванием случае существенно, геодезические левоинвлвиаэггных метгик 3О3 потому что наша задача кэзеет гамвльтоков характер (см. теорему 4). А для гамкльтовоеых скстевз аскыптоткческая устойчивость веаозможва, поэтому устойчивость е линейкам првблкжеккк всегда вейтральвая, кедосгаточяая для ааключеккя об устойчивости положения равновесия келввейкой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
