В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 65
Текст из файла (страница 65)
дг ди~ ' дв Для днфферевцнелъной 1-формы Х л»~"'» +»»дн» операторы д' н д" онределянпся авеле»вено: д'ы = ~х д'а» Л д „+ д'ь» Лди», '"=Х'""Л'.+"""Л' ' 3 а д а ч е 3. Докажите, что свнплевтнчеснен структура О в аффнввой нарте (и» = »»хеег) проевтннвою пространства СР" задается формулой О = ' д'д" 1н ~ ~ и» ~«. 2н »= — е Доба влевве 4 КОНТАКТНЫЕ СХРУКТУРЫ На нечетномернои многообрааии не может быть симплектической структуры. Аналогом снмнлектической структуры для нечетномерных многообразий является несколько менее симметричная, но тоже весьма замечательная структура — контактная.
Источником симплектических структур в механике являются фааоеые пространства (т е. кокасательные расслоения к конфигурационным мпогообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфи» урационных пространств. Контактным элементом к и-мерному гладкому многообразию в некоторой точке называется и — 1-мерная плоскость, касающаяся многообразия н атой точке (т. е.
и — 1-мерное линейное подпространство и-мерного касательного пространства в атой точке). Множество всех контактных элементов и-мерпого многообразия имеет естественную структуру гладкого многообразия размерности 2п — 1. Оказывается, на этом нечетномерном многообразии имеется замечательная дополнительная «контактная структура» (мы опишем, что вто такое, ниже). Многообравие контактных элементов риманова и-меринга многообразия тесно связано с 2п — 1-мерным многообрааием единичных касательных векторон этого римапова и-мерного многообра- КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ 315 ыия, или с 2п — 1-мерным многообразием уровня энергии мате.риальной точки, движущейся по риманову многообразию по инерции. Контактные структуры в этих 2п — 1-мерных многообразиях тесно связаны с симплектической структурой в 2п-мерном фазовом пространстве точки (т.
е. в кокасательном расслоении исходного риманова и-мерного многообразия). А. Определение контактной структуры. О п р е д е л е н и е. Контактная структура на многообра,зии — это гладкое поле касательных гиперплоскостей е), удовлетворяющее некоторому условию невырожденности, которое будет сформулировано позже.
Чтобы сформулировать это условие, посмотрим, как вообще может быть устроено поле гиперплоскостей в окрестности точки Х-мерного многообразия. П р и м е р. Пусть йг = 2. Тогда многообразие — зто поверхность, а поле гиперплоскостей — поле прямых. Такое поле в окрестности точки устроено всегда одинаково н весьма просто, а именно так, как поле касательных к семейству параллельных прямых на плоскости.
Точнее, одним из основных результатов локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является возможность превратить любое гладкое поле касательных прямых па многообразии в поле касательных к семейству параллельных прямых евклидова пространства прн помощи диффеоморфиэма в достаточно малой окрестности любой точки многообразия. Если Л') 2, то гипернлоскость уже не является прямой, и дело обстоит значительно сложнее. Например, поле двумерных касательных плоскостей в обычном трехмерном пространстве не всегда можно диффеоморфно отобразить на поле параллельных плоскостей. Дело в том, что существуют такие поля касательных плоскостей, для которых невозможно провести «интегральпую поверхность», т.
е. такую поверхность, которая имела бы предписанную касательную плоскость в каждой своей точке. Условие невырожденности поля гинерплоскостей, которое входит в определение контактной структуры, состоит в том, что поле гиперплоскостей должно быть максимально удалено от поля касательных к семейству гнперповерхностей. Чтобы измерять эту удаленность, да н воооще чтобы убедиться в существовании полей без интегральных гиперповерхностей, нам придется проделать некоторые построения и вычисления ее). ») Гиперплоскостью в лявейяом пространстве яееыввется подярострвяство, резмеряость которого нв г ниже рвемеряостя пространства (т.
е. множество пулевого уровня ляяейяой функции, яе равной нулю тождествеияо). Касательная гиперплоскость — »то гиперплоскость в квсвтельиом простраястве. ее) Начиная с этого места мы опускаем приставку «гипер». при желвяии можно считать, что мы находимся в трехмерном прострвястее и гиперповерхиоств — »то обычные поверхвости. Миовжеряый случай виалогичея трехмерному. доплвление 4 Б. Условие интегрируемости Фробениуса. Рассллотрим какую- либо точку на Л'-л~ерволл многообразии и попытаемся построить поверхность, проходящую через эту точку и касающуюся данного поля Ф вЂ” 1-мерных плоскостей в каждой точке (интегральную поверхность), С атой целью введем в окрестности рассматриваемой точки систему координат так, чтобы в самой точке одна координатная поверхность касалась плоскости полн.
Эту плоскость мы будем называть горизонтальной плоскостью, а не лежащую в ней координатную ось — вертикальной. Построение интегральной повертнос т и. Интегральная поверхность, если она существует, является вблизи начала координат графиком одяой фувкплли от Л' — 1 переменных. Чтобы ее построить, мы можем рассмотреть нз горизонтальной плоскости какой-либо гладкий путь.
Тогда вертикальные прямые над этим путем образуют двумерную поверхность (пилиндр), а наше поле плоскостей высекает на вей поле касательных прямых. Искомая интегральная поверхяость. есдв ова ость, пересекает цилввдр по интегральной кривой поля прямых, выходящей пз начала координат.
Такая интегральная кривая есть всегда, независимо от того, существует ли интегральная поверхность. Таким образом, мы можем строить интегральную поверх- вость вад горизонтальной плоскостью, двигаясь по гладким кривым в последней. При этом для того, чтобы из всех интегральных кривых получилась гладкая интегральная поверхность, нужно, чтобы результат нашего построения не зависел от пути, но определялся лишь его конечной точков.
В частности, при обходе замкнутого пути в окрестности начала координат яа горизонтальной плоскости интегральная кривая на цилиндре должна замкнуться. Легко построить примеры полей плоскостей, для которых такого замыкания ве происходит, п, следовательно, интегральная поверхность не существует. Такие поля плоскостей называются неинтеерируемыли. Пример веинтегрнруемого поля плос к о с т е й. Чтобы задавать поля плоскостей и измерять количественно отклонение от замыкания, мы введем следующие обозначения.
Заметим прежде всего, что поле пшерплоскостей локально можно задавать дифференциальной 1-формой. Действительно, плоскость в касательном пространстве задаст 1-форму, с точностью до умножения ва отличную от нуля постоянную. Выберем эту постоянную так, чтобы значение формы на вертикальных коордиватных касательных векторах было равно 1. Этому условию можно удовлетворить в некоторой окрестности начала координат, поскольку плоскость поля в нуле не содержит КОНТАКТНЫВ СТРУКТУРЫ 317 вертпкального яаправления. Зто условие определяет форму однозначно (по полю плоскостей). Поле плоскостей в обычном трехмерном пространстве, не имеющее интегральных поверхностей, можно задать, например, 1-формой ю =хду+дз, где х н у — горизонтальные координаты, а 2 — вертикальная. Доказательство того.
что это поле плоскостей непвтегрируемо, приведено ниже. Построение 2формы, измеряющей пенит е г р и р у е и о с т ь. С помощью формы, задающей поле, можно измерять степень неинтегрируемости. Делается зто при помопзн следующей конструкции (рнс. 236). Рассмотрим пару векторов, выходящих пз начала координат и леекащих в горизонтальной плоскости нашей координатной системы. Построим на внх параллелограмм.
Мы получим два пути из начала координат в противоположную вершину. Над каждым из этих двух путей можно построить интегральную кривую (двузвенную), как описано выше. В результате над противоположной началу вершиной параллелограмма возникнут, вообще говоря, две разные точки. Разность высот этих точек является функцией от нашей пары векторов. Зта функция кососпмметрична и равна нулю, если равен нулю один из векторов. Следовательно, линейная часть ряда Рню.
236. ИнеетрельТейлора этой функции пары векторов в нуле нве нрн ею, пюеерюравна нулю а квадратичная часть ее ряда ръенюнт палю плюс- Тейлора является билинейной кососвмметри- нюееез чной формой на горизонтальной плоскости. Если поле ннтегрируемо, то получившаяся 2-форма равна нулю. Поэтому эту 2-форму можно рассматривать как меру ненвтегрируемости поля. Пользуясь нашей системой координат, мы можем отождествить горизонтальную координатную плоскость с плоскостью поля, проходящей через начало координат. Таким образом, в результате нашего построения возникает 2-форма в самой плоскости полн.
Корректность определении 2-формы. Выше 2-форма построена при помощи координат. Однако значение нашей 2-формы на паре касательных векторов не зависит от системы коордпнат, но лишь от той 1-формы, с помощью которой задано поле. Чтобы в этом убедиться, достаточно доказать следующее. Т е о р е м а.
Определенная выше 2-у1орма на нулевом пространстве 1формы юю совпадает с внешней производной последней, аЕЮ ~ю=п. ДОБАВЛЕНИЕ 4 Д о к а э атель с т во. Покажем, что разность высот двух точек, получающихся в результате наших двух движений по сторонам параллелограмма, совпадает с интегралом 1-формы ю по четырем сторонам параллелограмма с точностью до величин третьего порядка малое~и относителыю сторон параллелограмма. С этой целью эаметнм, что высота подьема шпегрвльной кривой на любом пути длины е, выхода«цем иэ начала координат, имеет порядок гг, поскольку в начале координат плоскость поля горизонтальна. Следовательно, интегралы 2-формы дю по всем четырем вертикальным иле«цацкам над сторонами параллелограмма, ограниченным интегральными кривыми и торнэонтальной плоскостью, имеют порядок гг, если стороны порядка е. Интегралы формы ю по интегральным кривым точно равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
