В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Стало быть. по формуле Стокса приращение высоты вдоль интегральной кривой, лежащей йад какой-либо иэ сторон параллелограмма, равно интегралу 1-формы ю вдоль втой стороны с точностью до величин третьего порядка малости. Теперь докаэываекая теорема вытекает непосредственно иа определенна внешней проигводной. Остается еще произвол в выборе 1-формы ю, с помощью которой построена наша 2-форма. А именно, форма ю определена полем плоскостей лишь с точностью до умножения па нигде пе обращающуюся в нуль функцию ~. Инымн словами, мы могли бы начинать с формы /ю. Тогда мы пришли бы к 2-форме д~ =И +ЧЛ, которая на нашей плоскости отличается от 2-формы дю умножением на отличное от нуля число ~ (О).
Таким образом, построснна 2 форма на плоскости поля апре- делена инвариантно с точностью до умножения на отличную от нуля постоянную. Условие интегрируемости поля плоскостей. Т е о р е м а. Если поле гипгрплоскостсй интегрирусмо, то построенная гыи«с 2-форма о плоскости поля рагня нулю. Обратно„ если построенная в каждой плоского«и поля 2-форма равна нулю, то поле ш«тггрируслю. Первое утверждение теоремы очевидно по построению 2-формы.
Доказательство второго утверждения можно провести в точности теми «ке рассужденнями, с помощью которых мы доказывали коммутативность фаэовых потоков, для которых равна нулю скобка Пуассона полей скоростей. Можно и просто сослаться на эту коммутатнвность, применяя ее к интегральным привык, вогникающим над прямыми координатных направлений в горизонтальной плоскости. Т е о р е м а. Условие интггрирусмости поля плоскостей дю = 0 при ю = 0 эквивалентно следующему услогию Фробениуса: ю Д дю = О.
Д о к а э а т е л ь с т в о. Рассмотрим эначенне выписанной 3-формы на каких-нибудь трех равных координатных векторах. Ив них вертикальным контлкчяыи стгуктугы З1й может быть лишь один вектор. Поэтому вз всех слагаемых, входящих в определенве значения внешнего произведения на трех векторах, отличным от нуля может быть лвшь одно, равное пронавеленяю значения формы ю на вертикальном векторе на значенве формы аю на паре горизонтальных векторов.
Если заданное формой поле ввтегрнруемо, то второй сомяожятель равен нулю, н, следовательно, ваша 3-форма равна нулю на всех вообще тройках векторов. Обратно, если 3-форма равна нулю для любых векторов, то она равна нулю лля любой тройки воордвнатвых векторов, один вз которых вертввален, а два горизонтальны. Значение 3-формы на такой тройке равяо пронзведеввю значения ю на вертикальном векторе на значевзе вю на паре горнзонтальных. Первый сомвожвтель не нуль, значит, второй нуль, в, значвт, форма вю на плоскости поля равна нулю, ч. т.
д. В. Невырожденные поля гиперплоскостей. О п р е д е л е н и е. Поле гиперплоскостей называется нгвырожденним в точке, если ранг 2-формы Иш )а=о в плоскости поля, проходящей через эту точку, ранен раамерности плоскости. Это значит, что для всякого ненулевого вектора нашей плоскости должен найтись другой вектор в плоскости так, что значение 2-формы для этой пары векторов отлично от нуля. О и р е д е л е н н е. Поле плоскостей называется нгвирожденным на многообразии, если оно невырождено в каждой точке многообразия. Заметим, что на четномерном многообразии не может быть не- вырожденного полн гиперплоскостей. Действительно, на таком многообрааии гиперплоскость нечетномерна, а ранг всякой косо- симметричной билинейной формы в нечетиомерном пространстве меныпе размерности пространства (см.
3 44). На иечетномеряых многообразиях невырожценные поля плоскостей бывают. П р и м е р. Рассмотрим евклидова пространство размерности 2т + 1 с координатами х, у, з (где х н у — векторы т-мерных пространств, а з — число). 1-форма ш = хну + сЬ задает поле гиперплоскостей. Плоскость поля, проходящая через начало координат, имеет уравнение Ня = О. 11оординатвми в этой гиперплоскости можно считать х и у. Следовательно, наша 2-форма в плоскости полн записывается в виде йй- =1 АФ= (хгЛ (у.+-.+1-Л)уьг Ранг этой формы равен 2т, позтому наше поле невырождено в начале координат, а значит, и в его окрестности (в действительности это поле плоскостей невырождеио во всех точках пространства). Теперь мы, наконец, можем дать определение контактной структуры на многообразии: контактной структурой на многообразии называется нгвырожогнног иоле касательных гипгрплоскостгй.
320 довлвлнние 4 Г. Многообразие контактных влемеитов. Термин вконтактная структура» объясняется тем, что такая структура всегда есть на многообравии контактных алементов гладкого ыногообразин. Рассмотрим и-мерное гладкое многообрааие. О и р е д ел е н и е. Гиперплоскость (раамерности и — 1), касающаяся ыногообразия в какой-либо точке, называется контактным элементом, а эта точка — точкой контакта. Множество всех контактных элементов п-мерного многообразия само имеет структуру гладкого многообразия размерности 2п — 1. В самом деле, множество всех контактвых элемевтов с фикснрованнов точкой контакта — это множество всех э — 1-мерных подпространств и-мерного линейного пространства, т.
е. проевтввное пространство размерности в — 1. Чтобы »адать контактный элемент, нужно, следовательно, »адать в координат точки контакта н еще в — 1 коордввату, определяющую точку л — 1-мерного проектввпого пространства, итого 2а — 1 координату. Многообразие всех контактных элементов и-мерного многообрааия является пространством расслоения, база которого — наше п-мерное многообразие, а слой — проектнвное пространство размерности п — 1. Т е о р е и а.
Расслоение контактных элементов лвллетел проелтивигацией кокаеательного расслоения: его можно получить иг локасательного расслоения, заменив каждое коласа ~ельное линейное и-мерное пространство и — 1-мерным проективным пространством (точка которого — праман, проходящая через начало координат в нонаеательном проетранстиве). В самом деле, контактный алемент задается 1-фор»юй на кокасательнон пространстве, для которой этот элемент является нулевым множеством уровня. Эта форм» не нулевая, в она определена с точностью до умножеввя нэ отлнчэое от нуля число. Но форма на касательном пространство есть вектор кокасательного пространства.
Поэтому ненулевая форма на касательном пространстве, определенная с точностью до умножения на не равное нулю число, есть ненулевой вектор кокасательного пространства, определенный с точностью до умножевня на не равное нулю число, т.
е. точка проевтнвиэацвв кокасатольного пространства. Контактная структура на многообразии контактных элементов. В касательном пространстве к многообразию контактных элементов имеется заыечательная гиперплоскость. Она называется контактной гиперплоскостью и определяется следующим образом. Зафиксируем точку 2п — 1-мерного многообрааия контактных элементов.на и-мерном многообразии. Эту точку мы можем рассматривать как и — 1-мерную плоскость, касательную к исходному п-мерному многообрааию.
О п р е д е л е и и е. Касательный вектор к многообразию контактных элементов в фиксированной точке принадлежит контактной гиперплаелости, если его проекция на и-мериое много- КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ 321 образие лежит в той и — 1-мерной плоскости, которая н является фиксированной выше точкой многообрааия контактных элементов. Иными словами, перемен«гнив контактного элемента касается контактной гипврп скости, гели скорость точки касания принадлгэсит этому контактному элементу; поворачиваться же элемент можаи как угодно.
П р и и е р. Возьмем какое-либо подмногообразне в нашем и-мерном многообразии и рассмотрим все касательные к нему и — 1-мерные плоскости (т. е. контактные элементы). Все такие контактные элементы образуют в 2п — 1-»серном многообразии всех вообще контактных элементов гладкое подмногообразие. Размерность этого подмногообразия равна и — 1, какова бы ни была размерность исходного подмногообраэия (которое может быть и — 1-мерным, а может иметь и меныпую размерность вплоть до случая кривой н даже до точки).
Полученное и — 1-мерное подмногообразие 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов в каждой своей точке касается поля контактных гнперплоскостей (по определению контактной гиперплоскости). Таким образом, поле контаюпных 2п — 2-мерных гипгрплосяостгй имеет и — 1-мерныг интегральные многообразия. 3 а д а ч а. Существуют ли у этого поля плоскостей иктегральиые мио гообрааия большей раэмеркости? Ответ. Нет. 3 а д а ч а. Мокше ли »адать поле контактных гиперплоскосчей диффереидиальиой 1-формои иа многообразии всех коитактиых элементов? Ответ. Нет, далю если исходное л-меркое мпогообразие — еаклидоао пространство (иаприиер, обычная двумерная плоскость).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
