В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Контактная структура пространства расслоения задает на слоях локальную структуру проективного пространства. Лежандровы эквивалентности сохраняют зту структуру, т. е. задают локально проективные преобразования слоев. Следующая теорема позволяет локально описывать лежандровы подмногообразия и отображения при помощи производящих функций. Т е о р е м а. Для любого разбиения 1 + Х множества индексов (1,..., и) на два непересекаюи1ихея подмножества и для любой функиии Я (хы уз) от и переменных хн 1 Е= 1 и уи 1 ~ Х, формулы дЯ э8 дЯ уг = — хе= — —, я=- Я вЂ” хг— дзг Зхз ' дхт задают лежандрово подмногообразие е К»"ю.
Обратно, каждое лежандрово подмногообразие в Кгаы в окрестности каждой своей довлвлкник « точки задается указанными формулами хотя бы при одном из 2" возможных выборов подмножества 1. Доказательство основано на том, что на лежандровом многообраани дз + х Лу = О, поэтому «1 (з + хгуг) = птс(хт — хзс(уз. Подставим в формулы предыдущей теоремы в качестве Я функции нз списка простейших лагранжевых особенностей, приведенного в добавлении 12. Получатся лежандровы особенности, сохраняющиеся при малых деформациях лежандрова отображения (х, у, х) (у, з) (т. е.
переходящие в эквивалентные при малой деформации функции Я). Всякое лежандрово отображение при и ( 6 малым шевелением превращается в такое, у которого все особенности локально эквивалентны особенностям полученного списка Лэ (1 «й «» 6), Р„(4 «( )с «( 6), Е,. В частности, мы получаем список особенностей волновых фронтов общего положения в пространствах менее 7 измерений. В обычном трехмерном пространстве этот список таков: Л,: Я = ~з:ээ, Аэ: Я = -Ехх, 'Аэ . Е = -Ехь + ххуэ где 1=(1), з =(2), п=2. Проекции указанных здесь лежандровых многообразий на базу лежандрова расслоения (т. е.
на пространство с координатами у» у„х) имеют соответственно простую точку в случае Ад, ребро возврата в случае А, и ласточкин хвост (см. рис. 246) в случае Лэ. Таким образом, волновой фронт общего положения в трехмерном пространстве имеет только ребра возврата и точки типа «ласточкин хвост«. При движении фронта в отдельные моменты времени наблюдаются еще перестройки трех типов А«, .0„.0„(см.
добавление 12, где нарисованы соответствующие каустики, заметаемые особенностнми фронта при его движении). 3 а д а ч а $. Отлежал~ на каждой внутренней нормали к эллипсу на плоскостн отрезок длани и Нарисовать получснну|с кркзую н исследовать се сссбеннсстн к нх перестройкн прн изменении и 3 э д э ч а 2.
Проделать то жз длл трехссного эллнпсокда з трвхмсраом прсстранстзв. М. Контактизация. Наряду с симплектизацией контактных многообразий существует контактизация симплектических, имеющих гомологичную нулю симплектическую структуру. Контактизация Ик и симплектического многообразия (М'", сзэ) строится как пространство расслоения со слоем К над Мэ". Пусть П вЂ” достаточно малая окрестность точки х нз М, в которой существует система канонических координат р, о, так что сэ = Лр (', Лд.
Рассмотрим прямое произведение С Х К с координатами р, д, х. Пусть у Х К вЂ” такое же произведение, построенкое по другой (или по той н~е) окрестности $; с координатами Р, Ч, Я; ар /~ Д ~ф =. ы. Если окрестности П и Р на М пересекаются, то мы контхктные стРуктуРы отождествим слои над точками пересечения в обоих произведениях так, чтобы форма с)х + р Ид = оЯ + Р дД = а была определена в целом (это воаможно, так как Рп1) — р Йу — полный дифференциал на О' () У).
Легко проверить, что в результате склеивания возникает расслоение Ез"+' над Мэ', и что форма и задает на Е контактную структуру. Многообразие Е называется зонтактизацией снмплектического многообрааия М. Если класс гомологий формы ы' целочисленный, то можно определить контактизацию со слоем Я~. Н. Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка. Пусть М'"+1 — контактное многообразие„ Еч"— гнперповерхность в М'"+'. Контактная структура М определяет на Е некоторую геометрическую структуру, в частности — поле так называемых характеристических направлений.
Анализ этой геометрической структуры позволяет свести интегрирование общих нелинейных уравнений с частными производными первого порндка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы предположим, что многообразие Ез" трансверсально контактным плоскостям во всех своих точках. В таком случае пересечение касательной плоскости к Е'" в каждой точке с контактной плоскостью имеет размерность 2л — 1, так что на Ь"" возникает поле гиперплоскостей.
Более того, контактная структура Мз"+т определяет на Еь' поле прямых, лежащих в укаэанных 2п — 1 -мерных плоскостях. Действительно, пусть а — 1-форма на М'"", локально задающая контактную структуру, пусть ю = па, и пусть Кт" — контактная плоскость в точке х из Ез".
Пусть Ф = 0 — локальное уравнение Ет" (так что ИФ в х не О). Сужение дФ на Кт" задает ненулевую линейную форму в Вз". 2-форма ю задает в Кь' структуру линейного симплектнческого пространства, н стало быть, изоморфизм этого пространства с сопряженным к нему. Ненулевой 1-форме дФ ~ В'" соответствует поэтому ненулевой вектор $ из Кт", так что дФ ( ) —.- ы (5, ).
Вектор $ называется характеристическим вектором многообрааия Ь" в точке х. Характеристический вектор 5 лежит в пересечении Вт" с касательной к Ез" плоскостью, так как оФ ( ) = О. Вектор ~ определен многообразием Ез" и контактной структурой на М не однозначно, а с точностью до умножения на отличное от 0 число. Действительно, как 2-форма в на Кз", так и 1-форма НФ на К"' определены с точностью до умножения на отличное от 0 число. Направления характеристических венторов (т. е.
содержащие их прямые) определены контактной структурой в каждой точке многообразия Е однозначно. Таким образом, на гвперповерхности Е в контактном многообразии М возникает поле характеристических направлений. ДОБАВЛЕНИЕ 1 Интегральные кривые этого поля направлений называются характеристиками. Пусть теперь дано п — 1-мерное подмногообразие Х пашей гиперповерхности Е'", которое является интегральным для контактного поля (так что касательная плоскость к 1 в каждой точке принадлежит контактной плоскости). Т е о р е м а.
Если в точке х иа 1 характеристика на Ег" не касается 1, то в окрестности точки х характеристики на Еь', проходящие череа лючии 1, обраауют лежандрсео подмногообрааие Х,г в Мга+1. Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть й — векторное поле на Ег", образованное характеристическими векторами. По формуле гомотопии (см. стр. 173), на Е"' имеем Хла = с)11а + 11йс.
Но 11а = О, так как характеристический вектор принадлежит контактной плоскости. Следовательно, на Е"' имеем Х.эа = 1ью. Но 1-форма 1хо1 равна нулю на пересечении касательной плоскости к Е"' с контактной плоскостью (ибо на контактной плоскости 1Зо1 = ЫФ, а на касательной аФ = 0). Поэтому на касательной к Ег" плоскости 11ю = си. Итак, на гиперповерхности Е Хза = са (где с — гладкая в окрестности точки х функция). Пусть теперь (у') — фазовый (локальный) поток поля $ и 1!— вектоР, касательный к Е' .
Положим т! (1) = Ует! и У (1) = = а (ц (1)). Тогда функция у удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению ду/а! = с (1) у (!). Коли 1! (0) касается 1, то у (0) = сс (т! (0)) = О. Значит, у (1)= = а (1! (1)) = О, т. е. 1! (1) при всех 8 лежит в контактной плоскости. Следовательно, у11 — интегральное многообразие контактного поля.
Поэтому образованное всеми (у'1) при малых ! многообразие лежацдрово. Теорема доказана. П р и м е р, Рассмотрим К"'+' с координатаыи х„ ...,х; р„ ..., р„; и и с контактной структурой, заданной 1-формой сс = би — р дх. Функция Ф (х, р, и) задает дифференциальное уравнение Ф (х, диlдх, и) = 0 и подмногообразие Е = Ф ' (О) в пространстве В'"+1 (называемом пространством 1-струй функций в Й"). Начальным условием для уравнения Ф = 0 называется задание значений Х функции и на гиперповерхности Г размерности и — 1 в и-мерном пространстве с координатами х1,..., х„. Начальное условие определяет производные и по и — 1 неаависимому направлению в каждой точке Г.
Производную по направлению, трансверсалъному к Г, можно, вообще говоря, найти Иэ уравнения; если при атом выполняются условия теоремы о не- 337 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИММЕТРИЕЙ явной функции, то начальное условие называется яехаракшеристическим. Нехарактеристическое начальное условие задает интегральное и — 1-мерное подмногообразие 1 формы а (являющееся графином отображения и = 1(х), р = р (х), х Е= Г). Характеристики на Е, пересекающие У, образуют лежандрово подмногообразие в В«" ы, являющееся графиком отображения и = и (х), р = ди/дх. Полученная функция и (х) — решение уравнения Ф (х, ди/дх, и) = 0 с начальным условием и ~, =- 1. Заметим, что для нахождения функции и нужно лишь решить систему 2л обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для характеристик на Е и проделать ряд «алгебраических» операций.
Добавление б ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИММЕТРИЕЙ По теореме 3. Нетер однопараметрические группы симметрий динамической системы определяют первые интегралы. Если система выдерживает более широкую группу симметрий, то возникает несколько интегралов. Совместные многообразия уровня этих первых интегралов в фазовом пространстве являются инвариантными многообразиями фазового потока. Подгруппа группы симметрий, оставляющая такое инвариантное многообразие на месте, действует на нем.
Во многих случаях можно рассматривать фактор-многообразие инвариантного многообразия по атой подгруппе. Это фактор- многообразие называется приведенным фазовым пространством Приведенное фазовое пространство имеет естественную симплектическую структуру. Исходная гамильтонова динамическая система задает на нем снова гамильтонову систему. Разбиение фазового пространства на совместные многообразия уровня первых интегралов имеет, вообще говоря, особенности. Примером является разбиение фазовой плоскости на линии уровня энергии.
В настоящем добавлении кратко обсуждаются динамические системы в приведенных фазовых пространствах и их связь с инвариантными многообразиями в исходном фазовом пространстве. Все зти вопросы исследовались еще Якоби и Пуанкаре («исключение узла» в задаче многих тел, «понижение порядка» в системах с симметрией, «перманентные вращении» твердого тела и т.
п.). Подробное изложение в современной терминологии имеется в статьях: С и е й л С. Топология и механика 0 УМН.— 1972.— Т. 27, М 2.— С. 73 — 133 (1птепМопез Ма«11еша«1сае.— 1970.— У. 10, бй 4.— Р. 305 — 331; 1970.— У. И, хй 1.— Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
