В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Копккаллрное произведение векторов б, т1 не зависит от выбора точки х и представителей б', т~' и задает на приведенном фааовом пространстве симплектическую струк туру. С л е д с т в и е. ХХриведенное фазовое пространство четномерно Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Рассмотрим в касательном к М в х пространстве следующие два надпространства: Т(ДХр) — касательное пространство к многообразию уровня момента Мр, Т (Сх) — касательное пространство к орбите группы С. Л е и и а. Эти два пространства являются косоортогональн ми дополнениями друг друга в ТМ.
Д о к а а а т е л ь с т в о.' Вектор Ц лежвт в косоортогональном дополненнв к касательной плоскости орбиты группы С тогда н только тогда, когда кососкалярные произведения вектора Ь с вевторамв скоростей гамвльтоновых потоков группы С равны нулю (по определению). Но етн кососкалкрные проневедення равны пронзводкым соответствующих функций Гамвльтона по направлению Ь.
Следовательно, вектор Ь лежит в косоортогональном допел- «) В таком виде! ета теорема впервые сформулирована Марсдоном к Вейнстейном. Многочисленные частные случаи рассматривались со времен Якоби н попользовались Пуанкаре н его последователями в механнке, Кирилловым н Костантом в теории групп, а Фаддеевым — в общей теории относительноств. динлиичкские системы с симметРией 343 ненни и орбите группы С, если и только если производная момента по направлению Ь равна нулю, т. е.
если Ь лелжт в Т (Мр). Первое утверждение леммы доказано; второе очеввдпо. Представители $' и Ч' овределены с точносп ю до прибавления веятора из касательной плосности я орбите группы Ср. Но эта касательная плосяость есть пересечечие касательных плоскостей я орбите Сх и н многообразию Мр (по последней теореме пупвта А). Следовательно добавление н $' вектора иа Т (Свх) не мениет нососпалярных проиаведений со всеми вепюрамв з)' иэ Т (М,) (тан кап по лемме Т (С т) иосоортогонально Т (Мр)). Итак, независимость от выбора представителей й', з)' доказана. Независимость величины ) й, з) )р от выбора точки з на орбите ) вытекает пз снмплептичности действия группы С на М и инзариавтности Мр. Итак, на Тр определена дифференциалы~аз 2-форма: и, (4, ч) = (ч, ч),.
Она не,вмрождена. Ибо, если (Ь, з)), = О для всех та то соответствующей представитель $' носоортогонален всем векторам из Т (Мр). Следовательно, $' принадлежит посоортогональпому дополнению н Т (М,) в ТМ. Тогда по лемме $' ж Т (Сх), т. е. 4 = О. Форма Яр аамннута. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим пакую-либо карту, т. е. площадку в Мр, трансверсально пересекающую орбиту группы Ср в одной точке. Форма Пв изображается на этой карте 2-формой, иидуцированной иа 2-формы ю, задающей симплентнчесную структуру во всем пространстве М, при вложении площадки. Поскольку форма со аамяпута, нндуцировапная форма также заманута.
Теорема доказана. П р и м е р х. Пусть М = Взз — евклидово пространство размерности 2п с координатами рю оэ и 2-формой ~~с(рэ /~ г(дэ. Пусть (" = Яг — окружность, а действие С на М задается гамильтонианом линейного осцдллятора Тогда отобрюкение момента есть просто Н: Кз" — ь К, многообразие нулевого уровня момента есть сфера Бз" г, а фактор- пространство — комплексное проективное пространство СРа '.
Следовательно, предыдущая теорема определяет симплектнческую структуру на комплексном проективном пространстве. Нетрудно проверить, что эта структура совпадает (с точностью до множителя) с той, которую мы построили в добавлении 3. П р и м е р 2. Пусть М вЂ” группа Ли, С вЂ” эта же группа, а действие определяется левыми сдвигами. Тогда ̄— это подмногообразие касательного расслоения группы, образованное теми векторами, которые при правом сдвиге в единицу группы дают один и тот же элемент в дуальном пространстве к алгебре Ли. Следовательно, многообразие М„диффеоморфно самой группе и является правоинвариантпым сечениевг кокасательного расслоения.
Все значения р регулярны. Стационарная подгруппа Ср точки р состоит иэ тех элементов группы, для которых левый и правый сдвиги элемента р дают одинаковый результат. Действия отличных от единицы элементов 344 довавление 5 группы бр на Мр не имеют неподвижных точек (так как их нет у правых сдвигов группы по себе). Группа стр действует собственно (см. замечание на стр. 341). Следовательно пространство орбит группы с р на Мр является симплектическим многообразием.
Но это пространство орбит легко отождествляется с орбитой точки р в коприсосдиненном представлении. Действительно, отобразим правоинвариантнов сечение Мр кокасательного расслоения в кокасательное пространство к группе в единице левыми сдвигами. Получаем отображение и: Мр -+- йе. Образ этого отображения есть орбита точки р в коприсоединенном представлении, а слои — орбиты действия группы сгр. Спмплектическая структура приведенного фазового пространства определяет, таким образом, симплектическую структуру на орбитах коприсоединенного представления. Нетрудно проверить непосредственным подсчетом, что это— та самая структура, которую мы обсуждали в добавлении 3. П р и м е р 3. Пусть группа С = Я' — скруп<ность, и пусть она действует без неподвижных точек на многообразии У. Тогда возникает пуассоновское действие окружности на кокасательном расслоении М = Та р'.
Мы можем определить многообразия уровня момента Мр (коразмерности 1 в М) и фактор-многообразия гр (размерность которых на 2 меньше размерности М). Кроме того, мы можем построить фактор-многообразие конфигурационного пространства У, отон<дествив друг с другом все .
точки каждой орбиты группы на У. Обозначим это профакторизованное пространство через Иг. Т е о р е м а. Приведенное фазовое пространство ге гимплектически диффсоморфно кокасательномц расслоению профакториюванного конфигураиионноео пространства 'гг', г р диффеоморфно ге. Доказательство.
Пусть и: Р И' — факторизация,ю~ Т*ГУ вЂ” 1-форма на )'г' в точке ю = пр. Форма лев на р в точке р принадлежит Ме и после факториаации задает точку в Тю Обратно, элементы с,— ато инварйантвые т-формы на Г, равные нулю на орбитах; они задают т-формы на Гу. Итак, мы постРовли отобРажение Те И' Ре; легко виДеть, что зто— симплектнческпй двффеоморфизм.
Случай р ~ О сводитсн к случаю р = О следующим приемом. Рассмотрим иа И риманову метрику, инвариантную относительно О. Пересечение М„ с кокасательной плоскостью к г'в точке р является гиперплоскостью. Квадратичная форма, аадающая метрику, имеет в атой гиперплоскости единственную точку минимума г (р). Вычитание вектора г (р) переводит гиперплоскость Мр П Тер вМе () Т*г'„, и мы получаемдиффеоморфизмрр Рм Теорема доказана. В.
Применения к исследованию стационарных вращений и бифуркаций инвариаитных многообразий. Пусть дано пуассоновское действие группы 6 на симплектическом многообразии М, 345 динАмические системы с симметгией и пусть Н вЂ” функция на М, инвариантная относительно С. Пусть г"„— приведенное фазовое пространство (мы предполагаем, что условия„при которых его можно определить, выполнены). Гамильтоново поле с функцией Гамильтона Н касается каждого многообразия уровня момента Мр (так как момент — первый интеграл). Воаникающее полена М„ийвариантно относительно Ср. и задает поле на приведенном фазовом пространстве Рр. Это векторное поле на Гр мы будем называть приведенным полем.
Т е о р е м а. Приведенное полл на приведенном фазовом пространстве гамильтоново. Значение функции Гамильтона приведенного поля в какой-либо точке приведенного фазового пространства равно значению исяодной функции Гамильтона в соответствующей точке исходного фазового пространппва. Д о к а з а т е л ь с т з о. Соотношение, определяющее гаыяльтоково поле л с гаыкльтокяаком Н яз ыяогообразкк ))«с формой ю йН (й) = ю (Лн» й) дкя всех З влечет аналогичное соотвошсвке для яркзсдеявого поля ввю1у определения скыклектячсской структуры яа рю ч. т. д. П р и м е р. Рассмотриы асимметричное твердое тело, закрепленное в неподвижной точке и находящееся под действием силы веса (или иной потенциальной силы, симметричной относительно вертикальной оси).
На конфигурационном пространстве 80(3) действует группа йв вращений относительно вертикали. Функция Гамильтона инвариантна относительно вращений, поэтому возникает приведенная система на приведенном фазовом пространстве. Приведенное фазовое пространство является в данном случае кокасательным расслоением профакторизованного конфигурационного пространства (см. пример 3, стр. 344). Факторизация конфигурационного пространства по действию вращений вокруг вертикальной оси была проведена Пуассоном следующим образом. Будем задавать положение тела ортопормярованным репером (е, е, е,).
Три вертикальные компоненты векторов репера задают вектор в трехмерном координатном евклидовом пространстве. Длина этого вектора 1 (почемуз). Этот вектор Пуассона *) у определяет исходный репер с точностью до поворотов относительно вертикали (почемуг'). Таким образом, профакторизованное конфигурационное пространство представляет собой двумерную сферу Зз, а приведенное ») Пуассон показал, что уравксвяя движения тяжелого твердого тела записываются через вектор у з ззысчатслько простом виде «уравясякй Эйлера — Пуассона» йт — (в~. ю)=рг(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
