В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Действительно, асимптотячески устойчивые положения равновесия для гамильтоновых систем невозмов<ны по теореме Лиувилля о сохранении объема. Поэтому устойчивость линеаризованной системы всегда нейтральная: собственные числа линейной части гамильтонова векторного поля в устойчивом положении равновесия все лежат на мнимой оси. Для систем дифференциальных уравнений общего вида такая нейтральная устойчивость может быть разрушена сколь угодно малыми нелинейными добавками. Для систем Гамильтона дело обстоит сложнее.
Предположим, например, что квадратичная часть функции Гамильтона в положении равновесия (которая и определяет линейную часть векторного доля) знакоопределена. Гогда функция Гамильтона имеет максимум или минимум в положении равновесия. Следовательно, зто положение равновесия устойчиво (по Ляпунову„но не асимптотически) не только для линеаризованной системы, но и для полной нелинейной системы. Однако квадратичная часть функции Гамильтона в устойчивом полоткении равновесия может и не быть знакоопределенной.
Простейший пример доставляет функция ХУ = р1 + ч1 — ра — ча. Исследование устойчивости систем с такой квадратичной частью должно учитывать члены ряда Тейлора следующих степеней, прежде всего кубические члены функции Гамильтона (т. е. квадратичные члены векторов поля фазовой скорости). Исследование зто удобно производить, приводя функцию Гамильтона (и следовательно, гамильтоново векторное поле) к возможно более простому виду подходящей канонической заменой переменных. Иными словами, для изучения решений полезно подобрать систему канонических координат вблизи положения равновесия так, чтобы по возможности упростить вид функции Гамильтона и уравнений движения. Аналогичный вопрос для общих (негамильтоновых) векторных полей решается просто: там общим случаем является такой, когда векторное поле в окрестности положения равновесия линейно в подходящей системе координат (соответствующие теоремы Пуанкаре и Зигеля имеются, например, в книге: 3 и г е л ь К.
Л. Лекции'по небесной механике. — М.: ИЛ, 1959). В гамильтоновом случае картина сложнее. Первая трудность: привести гамильтоново поле к линейной нормальной форме канонической заменой переменных, вообще говоря, невозможно. А именно, обычно можно убить кубическую часть функции Га- довлвлениэ т мильтона, но нельэя убить все члены четвертой степени (это свяэано с тем, что в линейной системе частота колебаний не эависит от амплитуды, а в нелинейной, вообще говоря, аависит). Укаэанное затруднение преодолевается выбором нелинейной нормальной формы, учитывающей изменение частот (так наэываемая вариация частоты).
В реэультате можно (в так наэываемом нереэонансном случае) ввести переменные действие — угол вблиэи положения равновесия так, что система станет интегрируемой с точностью до членов сколь угодно большой степени в ряду Тейлора. Это поэволяет изучать поведение системы в течение больших интервалов времени для бливких к равновесию начальных условий. Однако этого недостаточно, чтобы определить, будет ли положение равновесия устойчивым по Ляпунову (иэ-эа того, что на бесконечном отреэке времени влияние отброшенного остаточного члена ряда Тейлора может раэрушить устойчивость). 'Такая устойчивость вытекала бы иэ точного приведения к аналогичной нормальной форме, беэ пренебрежения остаточными членами. Однако можно докаэать, что это точное приведение, вообще говоря, невоэмоясно, а формальные ряды для канонических преобраэований, приводящих систему к нормальной форме, в действительности в общем случае расходятся.
Расходимость этих рядов связана с тем, что приводимость к нормальной форме повлекла бы эа собой более простое поведение фавовых кривых (они доля<вы были бы быть условно-периодическими обмотками торов), чем то, которое имеет место на самом деле. Поведение фавовых кривых вблиэи положения равновесия гамильтоновой системы обсуждается в добавлении 8. В настоящем же добавлении приведены формальные реэультаты о нормалиэации с точностью до членов высокой степени. Идея приведения гамильтоновых систем к нормальным формам восходит к Линдштедту и Пуанкаре *); нормальные формы в окрестности положения равновесия подробно изучал Дж.
Д. Биркгоф (Б и р к г о ф Дж. Д. Динамические системы.— М.: Гостехиэдат, 1941). Нормальные формы для вырожденных случаев приведены в работе: Б р ю н о А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды Московского математического общества.— 1971.— Т. 25; 1972. — Т.
26. А. Нормальная форма консервативной системы вблизи положения равновесия. Предположим, что в линейном приближении положение равновесия гамильтоновой системы с и степенями свободы устойчиво, и что все п собственных частот ым..., ы„различны. Тогда квадратичная часть гамильтониана приводится «) См, ПувнкареА. Новые методы небесной ыеханккн//Набранные труды. Т.
1,— М.: Наука, 197$. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Збй линейным каноническим преобраеованием к виду 2 ~(]эх эс) ' ' ' + 2 "(Р~+ У") 1 э э $ э 2 (Среди чисел юэ могут быть отрицательные.) О и р е д е л е н и е. Собспсвгнные частоты шс,..., со„удовлетворяют резонансному соотношению порядка К, если существуют целые не все равные нулю числа й, для которых йсю, +...
+ й„ю„= О, ) йс ) +... + ) й„) = К. О п р е д е л е н и е. Нормальной формой Биркгофа степени г для гамильтониана навовем мкогочлен степени г от канонических кооРдинат (Рс, (Сс), являющийся в действительности многочлепом (степени [г/2]) от переменных т, = (Р~с + ()с~)/2. Например, для систем с одной степенью свободы норссальпая 4юрма степени 2эс (плп 2эс+ 4) пмып впд Н =Н =асс+асса+ ° ..+ ащт, "с=(рэ+()э)/2 а для систем с двумя степенями свободы нормальной формой Бвркгофа степени 4 будет Нс = астс + аэтэ + асдт", + 2асэтссэ + аытээ, Коэффвпиевты а, и ас — это собственные частоты, а коэффициенты аы опи- сывают эавпсммость частот ст аъпшптуд. Т е о р е м а.
Предположим, что собствснн частота юс не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка з и меньше. Тогда суп/ествует такая каноническая система координат в окрестности положения равновесия, что в нвй функция Гамильтона приводится к нормальной форгсе Биркгофа спсвпвни г с точностью до членов спсепени г+ 1: П (р,2 о) = И, (Р, Я + В, П = О () Р ) + ) () ))'+~. Доказательство этой теоремы легко проводвтсн в системе комплексных координат, РС+ соп а С РС Сйг (прн переходе к которым надлежит умножить гамильтоннап на — 2с).
Если не входавнсе в нормальную форму члены степевп мевъпю Х уже убиты, то гамена с пронэводясцей фуехцпей Рд + дк (Р, о) (где Ян — однородный многочлен степени Ф) пэменвт в разложении Тейлора функции Гамильтона лишь члены степенв Н п выше. Прн атой гамене коэффициент прк одночлене степевп Н в функции Гамильтона, имеюпмм внд ф... с эи гь .. ш е (ас+... + а„+ бс+ ° ° .
+ б, = Н) иаменвтся, как легко сосчитать, на величис у г„г [Ач (бс — ас) +... + Х„(б„- а„)], довавлиние 7 где Х« = «ю~ и где з — когффициект при зоы в рааложевии фуикцки в Я, (р, в) по перемепиым г, ш. При сделанных предположениях об отсутствии реаоиаиса коаффицвеит в квадратных скобках при г а отличен от нуля, кроме лишь случая, когда иаш одиочлеи выражается терев проигведеиия э~ю~ = 2«~ (т.
е. когда все а« равны ()~). Таким образом, мы можем убить все члены степени Д', кроме выражающихся через переменные тп Полагая Д" = 3, 4,..., г, получаем докааываемое. При пользовании теоремой Биркгоф» полезно заметить, что система, гамильтониан которой является нормальной формой, интегрируется. Именно, рассмотрим «канонические полярные координатыг т„гр,, черев которые Р«и ф выражаются по формулам Р, = )/2т, соз <ри Я, = ) 2т, з1п грп Поскольку гамильтоннан выражается через одни лишь переменные действия тп система интегрируема и описывает условно-периодические движения по торам т =- сопзь с частотами ш =- дН/дт. В частности, положение равновесия Р =- ~) = О для нормальной формы устойчиво.
Б. Нормальная форма канонического преобразования вблизи неподвижяой точки. Рассмотрим каноническое (т. е. просто сохраняющее площади) отображение двумерной плоскости на себя. Предположим, что это преобразование оставллет на месте начало координат, а его линейная часть имеет собственные числа я = =- ех«" (т. е. является поворотом на угол и в подходящем симплектическом базисе с координатами р, а). Такое преобразование будем называть эллиптическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
