В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 71
Текст из файла (страница 71)
45 — 64); М а р сд е н Дж., В е й и с т е й н А. Редукция симплектических много- ДОВАВЛКНИВ ь образий с симметриями (Вер. Маь)ь. Рлуз.— 1974.— У. 5.— Р. 121 — 130). А. Пуассоновские действия групп Ли. Рассмотрим симплектическое многообразие (М'", ьээ), и пусть группа'Ли С действует на нем как группа симплектических диффеоморфизмов. Каждая однопараметрическая подгруппа группы С действует тогда как локально-гамильтонов фазовый поток на М.
Во многих важных случаях эти потоки имеют однозначные функции Гамильтона. П р в м э р. Пусть У вЂ” гладкое ыногосбрээве, С вЂ” нэкэя-лвбо группа Лн эго двффеоморфнэмов. Каждый двффеоморфвэм переводит 1-формы нэ э' в 1-форьпэ. Поэтому группа С действует нэ ковасэтэльноы расслоении М = = Г" Ч. Нэпоьппо, что нэ новэсэтельпом расслоении всегда нмеэтсн каноническая 1-форма а (ьфорыэ рось), н естэствэнвэн свмплевтвчэсвэя структура ю = да. Действвэ группы С нэ М спыплэктпчесное, тэн кап оно сохраняет 1-форму а, э энэчпт, н 2-форму дсс.
Однопэрэыетрвчэсная подгруппа (Еь) группы С ээдээт нэ М фазовый поток. Легко проверять, что этот фазовый поток выест однозначную функцию Гамильтона. А именно, фупкцнп Гамильтона Н дается формулой теоремы Нйтэр Н(э) =-а~ ~ е э), где э ~в М. еа1 ~ъ1, Теперь мы предположим, что задано такое симплектическое действие группы Ли С на связном симплектическом многообразии М, что каждому элементу а алгебры Ли группы С соответствует однопараметрическая группа сим~лектических диффеоморфизмов с однозначным гамнльтониапом Н,. Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так„чтобы зависимость Н, от а была линейной.
Для этого достаточно как угодно выбрать константы в функциях Гамильтона для каких-нибудь бааисных векторов алгебры Ли группы С и затем определить функцию Гамильтона для любого элемента алгебры как линейную комбинацию базисных. Итак, по симплектическому действию группы Ли С с однозначными на М гамильтонианами можно построить линейное отображение алгебры Ли группы С в алгебру Ли функций Гамильтона на М.
При атом коммутатору двух элементов алгебры Ли сопоставляется функция и». ьи равная скобке пуассона (н„нь) или лсе отличающаяся от этой скобки Пуассона на постоянную: Ньэ„ь) = (Н, Нь) + С (а, Ь). 3 э м е ч э н н е. Появление константы С в этой формуле является следствнен внтереспого нвленвн: сущестэовэвня двумерного класса ногомологнй алгебры Лн (глсбальпо) гэмвльтоновых полей. Велнчпкэ С(а, Ь) является бнлвнейной восеспымегрвчесной функцией пэ алгебре Лв. Иэ тождества Якоби вытекает, что С((а, Ь), с) + С ((Ь, с), а) + С ((с, а), Ь) = О.
Бнлвпэйнэн носссвнмэтрнчэснэя фунвцня нэ алгебре Лн с таким свойством нээывэегсп двумерным эьциэлээ алгебры Лн. динамические системы с симметрией 339 Если выбрать константы в функциях Гамильтона по-другому, то коцикл С замезппся на С", где С'(а, Ь)=С(а, Ь)+р((а, 6)) и где р — линейная функция на алгебре Ли. Такой коцикл С' нааывается когвмвлогичним коцпклу С. Класс когомологичпых друг другу коциклов нааывается классом квгвмелвгий алгебры Ли. Итак, симилектическзе действие еруппы С, при котором существуют однвзнач ие гамилътвниани, задает двумерный класс звгвмвлагий алгебры Ди группы С.
Этот класс ногомологнй измеряет отклонение действия от такого, при котором функцию Гамильтона коммутатора можно выбрать равной скобке Пуассона фувкций Гамильтона. О и р е д е л е н и е. Действие связной группы Ли на симплектическом многообразии называется пупссоноясним, если функции Гамильтона для однопараметрических групп однозначны и выбраны так„что функция Гамильтона линейно зависит от элемента алгебры Ли и функция Гамильтона коммутатора равна скобке Пуассона функций Гамильтона: "~[с, Ь] (~а ~Ь) Иными словами, пусссоновское действие группы задает гомоморфизм алгебры Ли этой группы в алгебру Ли функций Гамильтона.
П р и м е р. Пусть У вЂ” гладкое многообразие, С вЂ” некоторая группа Ли, действующая на ]' как группа диффеоморфизмов. Пусть М = Тз7 — кокасательное расслоение мяогообразия Р с обычнои симгшентической структурой ю = да. Функции Гамильтона одпопараметрических групп определим как указано выше: Н (х) =п~ ~ угх), х ш Тзг. /д '[дг =, Т е о р е м а. Построенное действие иуассзнввсксе. )[ о к а з а т е л ь с т в о. По определению 1-формы и функции Гамильтона На линейные однородные епо импульсамз (т.
е. на каждом кокасательном пространстве). Следовательно, и их скобки Пуассона линейны и однородны. Итак, функция [а, Ь] ( а' Ь) линейна и однородна по импульсам. Будучи константой, она равна нулю, что и требовалось доказать. Аналогично проверяется, что снмплектизация всякого контакт ого действия является пуассоновсним действием. П р и м е р. Пусть У вЂ” трехмерное евклидова пространство, а С вЂ” шести- мерная группа его двинюний.
Бааис алгебры Лн обраауют шесть однопараметричесних групп: сдвиги со скоростью 1 вдоль координатных осей уо уз, уз и вращения с угловой скоростью 1 вокруг этих осей. Соответствующие функции Гамильтона, согласно формуле (1), равны (в обычных обозначениях) р» р„рг, Мм Мг, М„где М, =- агре — дерг и т. д. Доказанная теорема означает, что попаркые,скобки Пуассона этих шести функций равны функциям Гамильтона коммутаторов соответствующих однопараметрнческих групп. Пуассоновское действие группы [' на симплектическом многообразии М определяет отображение многообразия М в дуальное 340 ДОБАВЛЕНИЕ Ь пространство алгебры Ли группы Р: М -~- йэ. А именно, зафиксируем точку х из М и рассмотрим функцию на алгебре Ли, сопоставляюп(ую каждому элементу а алгебры Ли значение гамильтониана Н, в фиксированной точке х: р„(а) = Н (х).
Эта линейная функция р„на алгебре Ли и является тем элементом дуального к алгебре пространства„который сопоставляется точке х: Р(х) =р„. Мы будем называть отображение Р моментом, следуя предложению Сурио. Заметим, что значение люмента — всегда вектор линейного пространства вэ. П р и и е р. Пусть У вЂ” гладкое многообразие, С вЂ” группа Ли, действующая на )' как группа диффеоморфиэмов, М =- Т*У вЂ” кокасательное расслоение, ̈́— функция Гамилвгона пуассопозского действии С ва М, построенная выше (см. (1)). Тогда отображение емомеитл Р: М з" может быть описано следующим образом.
Рассмотрим отображение Ф: С М, заданное действием всех элементов группы С на фиксированную точку з иэ М (так что Ф (З) = гэ). Каноническая 1-форма а на М инд)чщрует на С (-форму Ф*а. Ее сужение ва касательное пространство к С в единице есть ливеинзя форма на алгебре Ли. Итак, каждой точке с из М мы сопоставили линейную форму ва алгебре Ли. Легко проверить, что полученное отображение и есть момент рассматриваемого пуассоновского действия. В частности, если У вЂ” евклидова трехмерное пространство, а С вЂ” группа его вращений вокруг точки О, то значения момента — зто обычные векторы кинетического момента; если С вЂ” группа вращений вокруг оси, то значения момента суть кинетические моменты относительно этой оси; если С вЂ” группа параллельных переносов, то значения момента — зто векторы илшульсов.
Т е о р е м а. Пуассоновское действие связной группы Ни С при отобралсении момента Р переходит вкоприсоединенное действие группы С на дуальном к ее алгебре Ни й пространстве йэ (см. Добавление 2), т. е. коммутативна диаграмма М вЂ” М йэ йэ С л е д с т в и е. Нусть функция Гамильтона Н: М-э-К инвариантна относительно пуассоновского действия группы С на М. Тогда момент является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н. Д о к а з а тел ь с та о те о р е м ы. Теорема утверждает,чтофувкция Гамкльтона Н, однопараметрической группы М при диффеоморфизме г переходит в функцию Гамильтона НА, „однопараметрической группы Ез~г-л. е динамические системы с симметгнен 34$ Пусть г' — одяопараметрическая группа с функцией Гамильтона Нз.
Достаточно доказать совпадение проязводных по з(при з = 0) функций не(гзз) я Н„, (з). Первая из производных равна значению скобки Пуассона функ- Аел зе ций (Н„, Нз) в точке т. Вторая же есть Н а ь) (з). Поскольку действие пуассоиозское, теорема доказана. Доказательство следствия. Производная каждой компоненты момента по направлению фазового потока с функцией Гамильтона Н равна нулю, так как она равна проиазодной функции Н по направлению фазового потока соответствующей однопараметрпческой группы Г, ч. т. д.
Б. Приведенное фазовое пространство. Пусть дано пуассоновское действие группы С на симплектическом многообразии М. Рассмотрим множество( уровня момента, т. е. прообраа какой- либо точки Р ~=- йз при отображении Р. Это множество мы обозначим через МР, так что (рис. 238) МР = Р > (Р). Во многих важных случаях множество Мр является многообразием. Например, зто будет так, если р — регулярное значение момента, т. е. если дифференциал отображения Р в каждой точке множества М„отображает касательное пространство к М на все Н д касательное пространство к йе.
Группа Ли С, действовавшая на М, вообще говоря, переставляет с -у множества Мр друг с другом. Од- у пако стационарная подгруппа точки р в копрнсоединенномпредставлении (т. е. подгруппа, состоящая из тех з~ элементов л группы С, для которых А~ар = р) ОСтаВЛяЕт Мр На МЕСтс. Р ЗЗЭ Пр д инее Фаасзое ОбОЗНаЧИМ Зту СтацИОНарвуЮ ПОд- ' ' посс>за е зе группу через С . Группа С„является группой ))и, и она действует на множестве уровня момента Мр. Приведенное фазовое пространство получается из Мр факторизацией по действию группы С„. Длн того чтобы такая факторизация имела смысл, нужно сделать некоторые предполо>кения.
Например, достаточно предположить, что 1) р — регулярное значение, так что Мр — многообразие. 2) Стационарная подгруппа С„компактна. 3) Элементы группы Ср действуют на Мз без неподвижных точек. 3 а и е ч а н и е. Этя условия можно ослабить. Например, вместо компактности группы бр можно потребовать, чтобы действие было собстеенным (т. е. чтобы прообразы компактных множестэ при отображении (г, з) ~е (з(з), з) были компакткымн). Например, действие группы на себе левыми или правыми сдвигами всегда собстзенное.
ДОБАВЛЕНИЕ 5 Если условия $), 2), 3) выполнены, то легко определить на множестве орбит действия С„ на Мр структуру гладкого многообразия. А именно, карту в окрестности точки х б= Мр доставляет любая трансверсальная к орбите Срх площадка, размерность которой равна коразмерности орбиты. Получающееся многообразие орбит и называется приведенны.м фазовым пространством системы с симметрией.
Мы будем обозначать приведенное фазовое пространство, соответствующее значению момента р, через г'р. Многообразие Кр является базой расслоения хи Мр — +- Гр со слоем, диффеоморфным группе Ср. На приведенном фазовом пространстве Кр имеется естественная симплектическая структура. А именно, рассмотрим какие-либо два вектора б, тб касательных к гр в точке Х. Точка У является одной из орбит группы Ср на многообразии Мр.
Пусть х — одна из точек этой орбиты. Векторы с и ть касательные к Кр, получаются из некоторых векторов И.', Ч', касательных к М„в точке х, при проекции и: Мр -«- Кр. О п р е д е л е н и е. Кососналярным произведением векторов $, т), касательных к приведенному фазовому пространству в одной точке, называется кососкалнрное произведение соответствующих им векторов й', т)', касательных к исходному симплектическому многообраэито М: Т е о р е м а а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
