Главная » Просмотр файлов » В.И. Арнольд - Математические методы классической механики

В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 67

Файл №1161219 В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (В.И. Арнольд - Математические методы классической механики) 67 страницаВ.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219) страница 672019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

Ниже мы доках«ем, что поле контактных гипгрплоскосгией на 2п — 1-мерном многообразии всех контактных элементов и-мерного многообразия нввырождгно. Доказательство проводится с помощью снмплектической структуры кокасательного расслоения. Дело в том, что многообразие контактных элементов связано простой конструкцией с пространством кокасательного расслоения (проективиэацней которого является многообразие контактных элементов). Причем невырожденность поля контактных плоскостей проективизированного расслоения тесно связана с невырожденностью 2-формы, задающей симплектнческую структуру кокасательного расслоения. Конструкцию, о которой идет речь, мы проведем ниже в несколько более общей обстановке. Именно, по всякому нечетномерному многообразию с контактной структурой можно построить его «симплектнзацню» — симплектическое многообразие, число измерений которого на 1 больше.

Взаимоотношения между этими двумя многообразиями — контактным нечетномерным и 322 ДОБАВЛЕНИЕ 4 симплектическим четномерным — такие же, как между многообразием контактных элементов с его контактной структурой и кокасательным расслоением с его симплектической структурой. Д. Симплектиэация контактного многообразия. Рассмотрим произвольное контактное многообразие, т. е. многообразие нечетной размерности Ф с невырождекным полем касательных гиперплоскостей (четной размерности Л" — 1). Зги плоскости мы будем называть коюиактными плоскостялзи. Каждая контактная плоскость касается контактного многообразия в одной точке.

Зту точку мы будем называть пючкой контакта. О п р е дел е н и е. Контактной формой мы будем называть всякую такую линейную форму на касательном пространстве в точке контактного многообразия, что ее множеством нулей является контактная плоскость. Следует подчеркнуть, что контактная форма — ке дифференциальная форма, а алгебраическая линейная форма на одном касательном пространстве. О п р е д е л е н и е. Симплектизауией контактного многообразия называется множество всех контактных форм на контактном многообразии, снабженное структурой симплектического многообразия, определенной ниже.

Заметим прежде всего, что мнозссстзо всех контактных форм на контаюпном многообразии имеет сстсстзенную структуру гладкого многообразия четной размерности Ф + 1. А именно, мы можем рассматривать множество всех контактных форм как пространство расслоения над исходным контактным многообравием. Проекция на базу — это отображение, сопоставляющее контактной форме точку контакта. Слоем этого расслоении является множество контактных форм с общей точкой контакта. Все такие формы получаются друг из друга умножением на отличное от нуля число (так как онн задают одну и ту же контактную плоскость).

Таким образом, слой нашего расслоения одномерен: это прямая без точки. Заметим также, что на многообразии всех контактных форм действует группа отличных от нуля вещественных чисел с операцией умножения. А именно, произведение контактной формы на ненулевое число есть снова контактная форма. При этом группа действует на нашем расслоении, оставляя каждый слой иа месте (при умножении формы на число точка контакта не меняется). 3 а м е ч а н и е. До сих пор мы нигде не испольэовали невырожденность поля плоскостей.

Невырожденность нужна лишь для того, чтобы получающееся при симплектиэацин многообразие было симплектическим. П р и м е р. Рассмотрим многообразие (размерности 2п — 1) всех контактных элементов и-мерного гладкого многообразия. На многообразии элементов есть поле гиперплоскостей (которые мы контактные стРуктуРы З2З определили выше и назвали контактными).

Следовательно, можно сиьшлектизовать многообразие контактных элементов, В результате симплектиэации получается 2п-мерное многообрааие. Это многообразие есть пространство кокасательвого расслоения исходного и-мерного многообразия беа нулевых векторов. При этом действие мультнплнкативной группы вещественных чисел на слое сводится к умножению на числа векторов кокасательного пространства. На кокасательном расслоении есть замечательная 1-форма «р 4р.

Аналогичная 1-форма имеется и на любом многообразии, полученном симплектизацией из контактного многообразия. Каноническая 1форма на пространс т в е -с и и п л е к т н э а ц и и. О п р е д е л е н и е. Канонической 1-формвй на пространствесимплектизации контактного многообразия называется дифференциальная 1-форма а, значение которой на каждом векторе $, касательном к пространству-симплектиэацин в некоторой точке р (рис. 237), равно а д значению на проекции вектора б в касательную плоскость к контактному Ф многообразию той 1-формы на этой касательной плоскости, которой является точка р: а (й) = р (явс), где я — проекция пространства-симплектизации на контактное многообразие.

'г е о р е м а. Внешняя производная тннтнсгс яясгс™нвгйннн канонической 1-формы на пространстве-симплектимщии контаюпного многообразия яазягтся нгвырожденной 2-формой. С л е д с т в и е. Проапранство-симплектизация контактного многообразия имеет симплекгаическую структуру, которая канонически (т. е. однозначно, без всякого произвола) опредс«сна контактной структурой исходного нечгтномгрного многообразия. Д с к а з а т е л ь с т в о. Ввиду локальности утверждения теоремы его достаточно доказать в мазей окрестности точна мвсгосбраэяя.

В малой окрестности точки на ковтакпюм мзогосбраэви поле ксвтавтвых плоскостей можзо задать дифференциальной формой ю иа ковтгктяом ияспюбразия. Зафиксврусм такую 1-форму ы. Тем самым мы представили часть пространства-свмвлсвтяэацвя вад рассматриваемой окрсстясстью тачки ковтаатного многообразия в виде прямого произведения атой окрсствсств н прямой бсэ точки. А вмеяво, паре (х, Ц, где х — точка контактного мвогссбразвя, а й— отличное ст нуля число, мы сопоставляем контактную форму, которую задает дзффереицназьяая 1-форма йы в касательном пространстве в точке х.

Таким образом, в рассматриваемой части свмвлекгнзацяя определена функция Х, гвачеввя которой — отличные ст нуля числа. Следует подчерк- 324 довавлвнив ь нутгн что Л является лишь локальной координатой на симплектиэовавном многообразии и что эта координата определена не канонически; она зависит от выбора дифференциальной (-формы в.

Каноническая 1-форма а з наших обозначениях записывается в виде а = Лльв и не зависит от выбора в. Внешняя производная 1-формы а имеет, следовательно, вид Ь = ЕЛ Л л в+ Л .,Ь. Докажем, что 2-форма йх невьгрождена, т. е. что для любого вектора 4, касательного к симплектнззции, найдется такой вектор ть что йа ($, г)) ~ О. Выделим среди векторов, касательных к симплектнзацни, векторы следующих типов. Мы назовем вектор Л вертикальным, если он касается слоя, т. е. если л Ь = О. Мы назовем вектор 4 ггриггннвньнил, если он касается поверютости уровня функции Л, т.

е. если йЛ (4) =- О. Мы назовем вектор б кгнвиквнил, если его проекция на контактное многообразие лежит в контактной плоскости, т. е. если в (л 4) = О (ннгопг словами, если а (Л) = О). Вычислим значение формы г)а на паре векторов й, тр Лз й, Ч) = (ЛЛ Р, л в) (ьь, Ч) + (Ллгев) Я, Ч). Предположим, что вектор $ не контакгньш. Возьмем в качестве Ч ненулевой вертикальный вектор, тйк что л г) == О.

Тогда второе слагаемое равно нулю, а первое равно — г)Л (г)) в (л ь) и отлично ог нуля, так как ц — ненулевой вертикальный вектор, а З не контактный. Итак, если 4 не контактный вектор, то мы нашли ть для которого за (4, ц) -ь О. Предположим, что вектор $ контактный, незертнкальный. Тогда возьмем з качестве ц любой контактный вектор.

Теперь первое слагаеыое целиком обращается в О, а второе' (и значит, вся сулма) своднтсякЛЛв (л Л,л Ч). Поскольку вектор й не вертикальный, то вектор лгй, лежащий в йонтактной плоскости, отличен от нуля. Но 2-форма г)в в контактной плоскости невырождена(по определению контактной структуры). Значит, существует такой контактный вектор ть что йв (л й, л ц) ~ О. Поскольку Л ~ О, мы нашли вектор Ч, для которого йа ($, ц) ~ О. Наконец, если вектор $ — вертикальный ненулевой, то в качестве ц можно ваять любой неконтактный вектор.

Теорема доказана. 7а меча н и е. Конструкции г-формы а ы 2-формы гйх проходят для произвольного многообразия с полем гнперплоскостей и не зависят от условий невырожденности. Однако 2-(борлга да будет определять силгплеклигчеекую структуру лиигь е случае, коеда поле плоскостей было нееырозкденнылг. Д о к а э а тел ь с т в о. Предположим, что поле вырождено, т. е. что существует такой ненулевой вектор й' в плоскости поля, что йв (Ь', ц') = О для всех венторов ц' втой плоскости. При таком $' велнчина йв ($', Ч') как функция от т)' является линейной формой, тождеспвнно равной нулю на плоскости поля.

Следовательно, существует такое не зависящее от ц' число р, что бв (й', ц') = )гв (Ч') уже для всех векторов т)' касательного пространства. Воаьмем теперь в качестве $ такой касательный вектор к симплекгиаованному многообразию, для которого л б = й'. Такой вектор з определен с точностью до прибавления вертикального слагаемого, и мы покнкем, что КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ 325 при надлежащем выборе этого слагаемого будет еа Я, Ч) = О для всех Ч. Дейстэнтельио, первое слагаемое формулы для ва равно вХ (З) со (и Ч) (поскольку ю (и З) = О). Второе слагаемое равно Ааю (и й, и т)) = Х~гю (и Ч). Вертикальную составляющую вектора З выберем так, чтсбй гй (й) = — Ар. Тогда вектор й будет кссоортогонглен всем векторам Ч.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,54 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее