В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Таким образом, аначение кривианы группы диффеоморфизмов позволяет оценить время, на которое мол~но предскааывать раавитие течения идеальной жидкости по Гиодезические левппнвлгилнтных метгик 307 приближенному начальному полю скоростей беа того, чтобы ошиб- ка возрастал» на много порядков. Следует подчеркнуть, что неустойчивость течений идеальной ложности понимается здесь иначе, чем в пункте К: речь идет об акспоненциальной неустойчивости д«ижеввл агидвссши, а не его поля скоростей. Возможны случаи, когда стационарное течение является устойчввым по Ляпунову решением уравнения Эйлера, и тем не менее соответствующее движение жидкости акспоненциально неустойчиво.
Дело в том, что малое иаыевевие поля скоростей жидкости может вызывать акспоненциально расту|цее изменение движения вшдкости. В таком случае (устовчввости решения уравнения Эйлера и отрицательности кривизны группы) можно прогнозировать поле скоростей, но невозможно прогнозировать беа очень болывой потери точности движение масс живкости. Приведенные выше формулы для кривианы можно даже использовать для грубой оценки времени, на которое невозможен долгосрочный динамический прогноа погоды, если согласиться на некоторые упрощающие предположения, Зги упрощающие предположения состоят в следующем.
1. Земля имеет форму тора, получающегося факторизацией плоскости по квадратной решетке. 2. Атмосфера — это двумерная однородная несжимаемая не- вязкая жидкость. 3. Движение атмосферы близко к «пассатному потоку«, параллельному экватору тора и имеющему синусоидальный профиль скоростей. Для вычисления характерного пути мы должны тогда оценить кривизны группы Я«ПИ1Т« в направлениях, содержапщх «пассатный потока $ из теоремы 15. При атом мы будем считать Т« = = ((х, р) шодд 2я), гс = (О, 1).
Иными словами, мы рассматриваем 2п-периодические течения на плоскости (х, р), близкие к стационарному течению, параллельному оси х, с синусоидальным профилем скоростей и = (з)п р,О). Из формул теоремы 15 легко усмотреть, что крививна группы 8 0111 Т' в плоскостях, содержащих наш пассатный поток и, меняется в пределах 2 — — (К(0, где К = 4п« вЂ” площадь тора. Здесь нижний предел получен довольно грубой оценкой.
Однако направление с кривизной К = — 1/(28) заведомо существует, и есть много других направлений с кривианами примерно такой же величины. Чтобы ориентировочно оценить характерный путь, мы примем в качестве ориентировочного значения «усредненной кривизныа К« = — 1/(28). доВАВЛЖНИЕ 3 Если согласиться исходить из такого значения кривизны Кр, то получается характерный путь ° = р' — К,)-' = )гй. Скорость движения по группе, которое соответствует нашему пассатному течению, равна у'УГ2 ~так как среднее квадратичное значение синуса равно $/2). Следовательно, время, за которое наше течение проходит характерный путь, равно 2.
Самые быстрые частицы жидкости успеют за зто время пройти расстояние 2, т. е $/я от полного оборота вокруг тора. Таким образом, если принять наше ориентировочное значение усредненной кривизны„ то ошибки увеличиваются в е" — 20 раз за время одного оборота самой быстрой частицы. Принимая для максимальной скорости пассатного потока значение 100 км)ч, получаем для времени оборота 400 ч, т. е. меньше трех недель. Итак, если в начальный момент времени состояние погоды было нам известно с малой ошибкой е, то порядок величины ов1ибки прогнова через п месяцев будет 10 'е, где й= 4, я)амеж2,5.
Например, для вычисления погоды на два месяца вперед нужно иметь в запасе пять знаков точности. Практически ото означает, что вычислять погоду на такой срок невозможно. Разумеется, приведенная здесь оценка является весьма нестрогой, и принятая нами модель весьма упрощена. Выбор значения «усредненной кривизны» также нуждается в обосновании. Добавление 3 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ Симплектнческие многообразия классической механики — зто чаще всего фазовые пространства лагранжевых механических систем, т.
е. кокасательные расслоения конфигурационных пространств. Совсем другую серию примеров симплектических многообразий доставляет алгебраическая геометрия. Например, любое гладкое комплексное алгебраическое многообразие (заданное системой полиномиальных уравнений в комплексном проективном пространстве) имеет естественную симплектическую структуру.
Построение симплектической структуры на алгебраическом многообразии основано на том,что само комплексное проективное пространство имеет замечательную снмплектическую структуру, в именно мнимую часть его зрмитовой структуры. спмплвктичнскАЯ стгуктуРА А. Эрмитова структура комплексного проективного пространства. Напомню, что и-мерное комплексное проективное пространство СР" — зто многообразие всех проходящих через точку О комплексных прямых в и + 1-мерном комплексном линейном пространстве С" +'.
Чтобы построить на комплексном проективном пространстве СР" симплектичесиую структуру, мы используем врмитову структуру в соответствующем линейном пространстве 'Со+1 напомню, что эрлитоеа и енаеярнын нренееерениел (илп зрмвтовой структурой) в комплексном линейном пространстве нааывается комплексная функция от пары векторов, которая: 1) линейна по первому и аптнлвнейна по второму аргументу, й) меняет значение на комплексно-сопряженное при перестановке аргументов и 3) превращаегсн в положительно определенную вещественную квадратичную форму, если взять аргументы равными: <АЗ.Ч>=).<-,Ч>, <Ч.->=<";,Ч>, <"„й>>О при й- О. Пркмером зрьштова скалярного проиаведепия является <й Ч> Хазе)з где зз и Чь — координаты векторов й и Ч в некотором базнсе, Базис, в котором зрмнтово скалярное произведение пмеет внд (1), всегда существует н нааывается зрмвтово-ортонормнрованным базисом.
Вещественная и мнимая части зрыитова скалярного прокзведения явлюотся вещественнымв билинейными формами. Первая нз них снмметркчна, а вторая кососвммзтрична, к обе невыроидены: <зй, Ч> = (З. Ч) + 1(З. Ч). (З Ч) = (Ч. З). (З. Ч) = — (Ч. з). Квадратичная форма (й, 4) положительно определена. Таким образом, армвтова структура <,> в комплексном линейном пространстве задает в нем евклндову структуру(,)н снмплектнчесвую структуру Втн две структуры связаны с комплексной структурой соотношением [йе Ч) = 6е <Ч). Определим теперь на комплексном проективном пространстве рнманову метрику. С атой целью рассмотрим в соответствующем линейном пространстве Са+ь единичную сферу ез~ +г = (я Е= С ~ь: (я, я) 1). Эта сфера наследует из С +ь риманову метрику.
Каждая комплексная прямая пересекает нащу сферу по окружности болыпого круга. О п р е д е л е и и е. Расстоякиезь между двумя точками комплексного проективного пространства нааывается расстояние между соответствующими двумя окружностями на единичной сфере. Заметим, что зги две окружности параллельны в том смысле, что расстояние от любой точки одной иа окружностей до другой окружности одинаково (доказательство: умножение з на е'е сохраняет метрику на сфере). Это обстоятельство поаволяет ораву написать явную формулу (2) для ркмановой метрики на комплексном З1О ДОБАВЛЕНИЕ 3 проективном пространстве, вадающей определенное выше расстояние. Действительно, обоаначнм череа р отображение рт С"ы ~, О -э- СР", сопоставляющее точке «чь О линейного пространства С"ы комплексную прямую, проходящую черве О и з.
Каждый вектор й, касательный к СР" в точке ря, можно представить (многи>ш способами) в виде обрена вектора, приложенного в точке «; при етом отображении б б= Т~™. Т е о р ем а. Квадрат длины вектора Ь в определенной вытв римановой метрике дается формулой ~Ь) <а, й><«, я> — <й, «><«, й> г <«, «>а Д о к а в а тел ь с та о. Предположим сначала, что точка с лежит ва единичной сфере 8«' '. Рааложим вектор $ на две составляющих: одна в комплексной прямой определенной вектором «, а вторая — в ермптово-ортогональном направлении. Заметим„что врмитова ортоговальвость вектору «оаначает евклндову ортоговальвость векторам «и <«. Вектор « вЂ” вто вектор евклидовой нормали к сфере Юа"-г в точке « . Вектор ьх — вто вектор касательной к окружности, по которой сфера пересекается с комплексной прямой, проходяпий через точку «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
