В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 75
Текст из файла (страница 75)
О п р е д е л е н и е. ХХо/овальной формой Биркгофа степени а для преобразования назовем каноническое преобрааовакие плоскости в себя, являющееся поворотом на переменный угол, который является полиномом степени не выше т = (г/21 — 1 от переменной действия т канонической полярной системы координат: (т, ф) «(т, «р + ае + агт +... + амт ), где р = )/2т гсов ср, д =- )/2тзгп ~р. Т е о р е м а 2. Если собственное число Х эллиптического канононичгского преобразования нв является корнем из сдини уы степени з и ментис, то это преобразование приводится канонической заменой переменных к нормальной форме Биркгофа степени г с погрвигкостью в члгноя сгпепвни з + 1 и вьяие.
Многомерное обобщение эллиптического преобразования— это прямое произведение и эллиптических поворотов плоскостей (рп о,) с собственными числами гч = с~~'. Нормальная форма Биркгофа степени з задается формулой (т, ~р) (т, гр + дЯдт), нОРИАльные ФОРмы глмильтОновых систем Збй где Ю вЂ” многочлен степени не вьппе [з/21 от переменных действия чи Т е о р е м а 3. Если собственные числа Х~ многомерного эллиптического канонического преобразования не допускают резонансов )~'...)~з — 1, )й )+...+~Д ~(з то зто преобразование приводится к нормальной форме Биркгофа степени з (с ошибкой в членах степени з в разложении отображения е ряд Тейлора в точке р = д = О).
В. Нормальные формы уравнения с иериодическиии коэффициентами вблизи положений равновесия. Пусть р = д = Π— положение равновесия системы с функцией Гамильтона, зависящей 2п-периодически от времени. Предположим, что линеаризованное уравнение приведено линейным симплектическим периодическим по времени преобразованием к автономной нормальной форме с собственными частотами ози..., ь„. Мы скажем, что система резонансная порядка К ~ О, если существует соотношение йзюг + + й~ьт~~ + )сз — О с целыми й„йи..., к„, для которого ~ )с ~ +...
+ ~)с„~ = К. Т е о р е м а. Если система не резонансная порядка з и меньше, то существует 2п-периодически зависящее от времени каноническое преобразование, приводящее систему в окрестности положения равновесия к такой же нормальной форме Биркгофа степени з, как если бы система была автономной, е той лишь разницеи, опо остаточные члены Б степени з+ т и вьиие будут периодически зависеть от времени. Наконец, пусть дана замкнутая траектория автономной системы уравнений Гамильтона.
Тогда мы можем приводить систему в окрестности втой траектории к нормальной форме, пользуясь любым из следующих двух приемов: 1) Изоэнергетическая редукция: фиксируем постоянную знергии и рассматриваем окрестность замкнутой траектории на 2п — т-мерном многообразии уровня энергии как расширенное фазовое пространство системы с и — 1 степенью свободы, периодически зависящей от времени.
2) Поверхность сечения: фиксируем постоянную знергии и значение одной из координат (так, чтобы замкнутая траектория пересекала получившуюся 2п — 2-мерную шющадку трансверсально). Тогда фазовые кривые, блиакие к данной, определяет отображение этой 2п — 2-мерной площадки на себя, с неподвижной точкой на вамкнутой траектории. Это отображение сохраняет естественную симплектическую структуру на нашей 2п — 2-мерной площадке, и мы можем изучать его при помощи нормальной формы пункта Б. довхвлкпнв 7 При исследовании аамкнутых траекторий автономных гамнльтоновых систем возникает одно новое обстоятельство по сравнению с исследованием положений равновесия систем с периодическими коэффициентами.
Дело в том, что замкнутые траектории автономных систем не лежат изолированно, а образуют (кэк правило) однопараметрические семейства. ГГараметром семейства является значение постоянной э ергни. Действительно, предположим, что при некотором выборе згачения постоянной энергии замкнутая траектория трансверсально пересекает описанную выше 2л — 2-мерную площадку в 2п — 1-мерном многообразии уровня энергшь Тогда и прп близких значениях постоянной экергпп будет существовать подобная же замкнутая траектория. По теореме о неявной функции мы можем даже утверждать, что эта замкнутая траектория гладко зависят от значения постоянной энергии. Если мы захотим теперь воспользоваться норма: ьпой формой Биркгофа для исследования однопараметрического семейства замкнутых траекторий, то мы встретимся со следующим затруднением.
Прп изменения параметра семейства собственные числа линеарнзованной задачи будут, вообще говори, меняться. Следовательно, прн некоторых значениях параметра мы неизбежно встретимся с резонансами, препятствующими приведению к нормальной форме. Особенно опасны резонансы низких порядков, так как они влияют на первые члены ряда Тейлора. Если нас интересует замкнутая траектория, для которой собственные числа близки к реаонансному соотношению низкого порядка, то нормальную форму Биркгофа следует несколько видоизменить. А именно, при резонансе порядка Р обращаются в нуль некоторые из выражений на которые приходится делить при уничтожении членов степени Х в функции Гамильтона.
Г!ри близких к резонансу нерезонансных значениях параметра указанная комбинация собственных частот, вообще говоря, не равна нулю, но весьма мала (эта комбинация называется поэтому «малым знаменателемз). Деление яа малый знаменатель приводит к тому, что: 1) приводящее к нормальной форме преобразование разрывно зависит от параметра (оно имеет полюс при резонансном значении параметра); 2) область, в которой нормальная форма Биркгофа хорошо описывает систему, стягивается до нуля при резонансе.
Чтобы избавиться от этих недостатков, надо отказаться от уничтожения некоторых членов в гамильтонпане (именно тех, которые становятся резонансными при резонасном значении пара- ногмдльнын ФОР ьг глмильтононых систнм 357 метра). Причем их следует сохранить не только при резонансном, но и при всех близких значениях параметра е). Получающаяся в результате нормальная форма несколько сложнее, чем обычная, но во многих случаях нз нее можно извлечь полезную информацию о поведении решений вблизи резонанса. Г.
Пример: исследование резонанса порядка 3. В качестве простого примера исследуем, что происходит с аамкнутой траекторией автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы вблизи такого значения постоянной энергии, при котором период колебаний соседних траекторий около замкнутой траектории в три раза больпге периода обращения по замкнутой траекгории. В соответствии со скааанным выше эта задача сводится к иследованню однопараметрического семейства неавтономных гамяльтонопых систем с одной степенью свободы, 2п-перноднчески зависящих от пременп, в окрестности положения равновесия. Это положение равновесия можно считать началом координат прн всех значениях параметра (чтобы этого добиться, нужно сделать зависящую от параметров замену переменньгх). Далее, линеарязованную в положении равновесна систему можно превратить в линейную систему с постоянными коэффициентами при помощи 2л-периодическм зависящей от времени линейной капоннческой замены координат.
В полученных координатах фааовый поток лпнеариаованиой системы представляет сог"ой равномерное вращение вокруг положения равновесия. Угловая скорость ы этого вращения зависит от параметра. Прп резонансном значении параметра го =. 1/3 (т. е. за время 2я соьершается треть оборота вокруг начала координат).
Производная угловой скорости го по параметру в общем случае отлична от нуля. Поэтому мы можем принять за параметр саму зту угловую скорость или, еще лучше, ее отклонение от 1/3. Это отклоненио мы обозначим через е. Величина е называется расстройкой частоты. Гезонансное значение параметра — это е = О. Нас интересует поведение системы при малых е. Если пренебречь нелинейными членами в уравнениях Гамильтона и пренебречь расстройкой частоты е, то все траектории нашей системы замыкаются, сделав три оборота (т. е. имеют период бц).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
