В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Мы хотим теперь исследовать влияние нелинейных членов и расстройки частоты на поведение траекторий. Ясно, что все траектории в общем случае замыкаться не будут. Чтобы исследонать, как они себя ведут, полезно рассмотреть нормальную форму. *) Указанные здесь прием полезен яе только прп пссзеденеппп гемпльтововых систем, но и в общей теории дифференциальных уравпенпй. См., например: А р н о л ь д В. И. Лепцен о бпфурпегГпях и версапытх семействах П УМН. — 4972.
— Т. 27, ьз 5. — С. 420 †4. дОБАвленив 7 В выбранной системе координат з = р + к/, й = Р— щ функ- ция Гамильтона имеет вид + — 21Н = — нозй+ ~» ~»~ Л.заз"Уе'и -~-..., а+э~ з=- где точками обозначены члены степени вылив третьей и где ю = = (1/3) + е. При приведении к нормальной форме мы сможем убить все члены третьей степени, кроме тех членов, для которых малый внаменатель ю (а — (1) + Ь становится равным нулю при резонансе.
Зти члены можно описать также как такие, которые постоянны вдоль траектории периодического движения, получающегося при пренебрежении расстройкой частоты и нелинейностью. Они называются резонансными членами. Итак, для резонанса ю = 1/3 резонансные члены это такие, для которых и — р + ЗЬ = О. Стало быть, из членов третьей степени резонансными оказываются только вэе ч и Рс". Следовательно, мы можем привести функцию Гамильтона к виду — 2/Н = — /ока + Ьззе " — БРст + (сопряженность Ь и Ь соответствует вещественности Н). Заметим, что при приведении функции Гамильтона к этой нормальной форме мы сделали 2п-периодически зависящее от времени гладкое каноническое преобразование, гладко зависящее от параметра даже в случае резонанса.
Это преобразование отличается от тождественного лишь членами второго порядка малости относительно отклонения от замкнутой траектории (а его производящая функция отличается от производящей функции тоящественпого преобразования лишь кубическими членами). Дальнейшее исследование поведения решений уравнений Гамильтона проводится следующим образом. Сначала мы отбросим в функции Гамильтона все члены выше третьей степени и исследуем решения получившейся укороченной системы. Затем нужно посмотреть, как могут повлиять на поведение траекторий отброшенные члены. Исследование укороченной системы упрощается введением на плоскости комплексной переменной з равномерно вращающейся с угловой скоростью 1/3 системы координат, т. е.
подстановкой я = ье'Пз. Для переменной Ь получается' тогда автономная гамильтонова система с функцией Гамильтона — 21Н„= — /сьь + Ььэ — льэ, где е = ю — (1/3). НОРМАЛЬИЫЕ ФОРМЫ 1'АМИЛЬТОИОВЫХ СИСТЕМ 359 Тот факт, что но врахцеюхцейся системе координат укороченная система автономна, янляется большой удачей. Полнея сиохема ураннений Гамильтона (с учетом членов степеви выше третьей в гамильтониане) ео вращающейся системе координат не только не ентономна, но даже и не ул-перкодична (а пошь бя-периодична) па времени. Автономная система с гамильтояяаном Не является н сущности ренультатом усреднения исходной сисгемы по замкнутым траекториям линейной системы с е =- О (причем мы пренебрегаем членами выше третьей степени).
Коэффициент Ь можно сделать вещественным (этого можно добиться поворотом системы координат). Итак, функция Гамильтона в вещественных координатах (х, у) приводится к виду Н 2 ( +у)+ ( 3 9) Коэффициент а зависит от расстройки частоты е как от параметра.
При е = О этот коэффициент в общем случае отличен от нуля. Поэтому мы можем сделать этот коэффициент равным 1 гладко зависящей от параметра заменой координат. Итак, нужно исследовать зависимость фазового портрета системы с функцией Гамильтона Не = — ( '+ у') + (х' — 3ку') на плоскости (х, у) от малого параметра е.
Легко видеть, что эта перестройка состоит в следующем (рис. 239). При е = О линия нулевого уровня функции Не состоит с=0 г>0 г<0 Рне. 939. Прохождение резонансе 9: 1 из трех прямых, пересекающихся в нуле под углами 60'. При изменении е все время суп(ествует линия уровня из трех прямых, причем эти три прямые перемещаются при изменении е поступательно, всегда образуя равносторонний треугольник с центром в начале координат.
Вершины этого треугольника — седловые критические точки функции Гамильтона. Критическая точка в начале координат при прохождении е через нуль (т. е. при переходе череа резонанс) превращается из минимума в максимум. Таким образом, для системы с функцией Гамильтона Не начало координат является устойчивым положением равновесия при всех значениях параметра, кроме резонансного, а при резонансном довлвлвнив т значении — неустойчивым. Прн близких к резонансу значениях параметра треугольник вблизи начала координат, заполненный замкнутыми фазовыми кривыми,мал (порядка е), так что зрадиус устойчивостиз начала координат при е — ~0 приближается к нулю: достаточно небольшого возмущения начального условия (порядка е), чтобы фазовая точка оказалась вне треугольника и начала уходить от положения равновесия.
Возвращаясь к исходной задаче о периодической траектории, мы приходим к следующим выводам (которые конечно не доказаны, поскольку мы отбросили члены выше третьей степени, но могут быть обоснованы): 1. В момент прохождения рассматриваемого резонанса 3: 1 периодическал траектаория в общем случае теряет устпойчиеость. 2. При близких к резонансному значениях параметпра вблизи рассматргыаемой периодической траектории на том же многообразии уровня внергии меется неустойчивая периодическая траектория. Она замыкается, обойдл три раза вдоль исходной траектории и сделав один оборот вокруг нее.
Прирезонансном значении параметра зта неустойчгиал траектория сливается с исходной. 3. Расстояние указанной неустойчивой периодической пграетпории от исходгюй убывает при подходе и резонансу как переел степень расстройки частоты (т. е. как первая сгаепеггь отклонения параметра от резонансного значения). 4. Через указагсную неустойчивую траекторию на все том же трехмерном многообразии уровня энергии проходят две двумерные инвариантные поверхности, запал енные траекториями, приблилсающимися к этой неустойчивой периодической траектории при 3-~ + оо на одной поверхности и при Ф-+. — оо на другой.
5. Расположение сепаратрис таково, что в пересечении с площадкой, трансверсальной исходной траекпюрии, получается сбиеура, близкая к трем сторонам равностороннего треугольника и их продолжениям. Вершины треугольника — это точки пересечения неустойчивой периодической траегтории с трансверсальной площадкой. 6, При начал ных условичх внутри образованного сепаратрисами треугольника уюзовая точка в течение длительного времени (порядка не менее 11е) остается вблизи от исходной периодической траектории (на расстоянии порядка г), а при начальных условиях вне его — довольно быстро уходит на большое по сравнению с е расстояние.
Д. Расщепление сепаратрис. В действительности сеператрисы, о которых идет речь в предложениях 4, 5 и 6, устроены весьма сложно (из-за влияния неучтенных в нашем приближении членов вывте третьей степени). Чтобы ясно представить себе картину, удобно рассмотреть двумерную площадку, трансверсально пересекающую исходную замкнутую траекторию в какой-либо из ее нОРмАльные ФОРмы РАмильтоновых снсткм 361 точек ( и лежащую целиком в одном многообразии уровня энергии) о). Траектории, начинающиеся на атой площадке, снова пересекают ее через время, близкое к периоду обращения по исходной замкнутой траектории. Таким образом, возникает отображение окрестности точки пересечения замкнутой траектории с площадкой на площадке в площадку.
Это отображение имеет неподвижную точку (в месте пересечения площадки с замкнутой траекторией) и близко к повороту на угол 120' вокруг этой точки, которую мы примем за начало координат. на плоскости нашей площадки. Рассмотрим теперь третью степень указанного вьппе отображения. Это — снова отобрансение некоторой окрестности нуля на плоскости площадки, оставляющее начало координат на месте. Но теперь уже это отображение близко к повороту на 360', т. е. к тождественному отображению: оно осуществлнется траекториями на|пей системы за время, близкое к трем периодам рассматриваемой замкнутой траектории.
Приведенные выше вычисления дают нетривиальную информацию о строении этого «отображения за три периода». В самом деле, отбрасывая члены степени четыре н выше в функции Гамильтона, мы меняем члены степени три и выше у отображения. Стало быть, отображение за три периода, которое соответствует укороченной функции Гамильтона, аппроксимирует (с кубической ошибкой) настоящее отображение за три периода. Но свойства отображения за три периода, отвечающего укороченной функции Гамильтона, нам известны, так как это есть отображение фазового потока системы с функцией Гамильтона Но (х, у) за время бн (доказательство основано на том, что через времн бл наша вращающаяся система координат возвращается к исходному положению). Посмотрим теперь, какие иэ этих свойств сохраняются при возмущении третьего порядка малости относительно расстояния от неподвижной точки, а какие нет.
~Щ Обозначим отображение за три периода для укороченной системы через А„а настоящее отображение за трн периода через А. 1. Отображение А, включается в поток: оно является преобразованием аа время бл в фазовом потоке с гамильтоннаном Но. Нет никаких оснований думать, что отображение А включается в поток. 2. Отображение Ао выдерживает поворот на 120: существует нетривиальный диффеоморфизм я, для которого яа = Е и который коммутирует с Ао.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
