В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть М вЂ” гладкое многообразие, А — гладкое векторное поле на Мс в каждой точке х с== М задан касательный вектор А (х) с= ТМ, С каждым таким векторным полем связаны сле4щу сьс дусопнсе два объекта. 1 Од р р группа д.ФЯО .рАсл) Ф™ое ), или отак Ас ..М М,я „ го А есть поле скоростей (рис. 168): а ! Ра . Сга Гру а дс ~ А (х) =А(х) вайфьомевйвьмоэ, эа- дс (с е ллввае еентсрамм повем 2.
ди(йференциальный оператор первого порядка л,л. Речь идет о дифференцировании функций по направлению поля Ас для всякой функции срс М вЂ” ь- К производная по направлению А есть новая функция ! лср, значение которой в точке х есть (плср)(х) = д„~ ср(А'х). 3 а д а ч а. Докажите, что оператор Ел лвнейвыйс й ()чсрь+ К,срь) = )чГ. р, + ).эб ес()ч, ) - В). Докажите формулу Лейбница' б (еьа,) = ср,у. ф + ф б ~р,. П р в м е р.
Пусть (*ь,..., *„) — локальные коордвваты на М. В атой свстеме коордвнат вектор А (х) аадаесся коьшовевтамв (Аь (х),..., А„(х)); поток А аадается свстемой дкфференцвальвых уравневвй гь Аь (л) ° яп Ао (э) в, следовательно, производная ~р = ф (гь,..., ге) по неправлеюпо А есть дн дв ь' И=Ах — +...+А дль - е дэ а Можно сказать, что оператор) й в координатах (гь,..., л ) имеет вьщ д д Ь =Аь — +...+А дгь "' а дг а это в есть общий вьщ лввейвото двфференцвальвосо оператора первого порядка в координатном пространстве. 3 а д а ч а. Докажите, что соответствве между векторвымв полями А, потоками А в двфференцвроваввямв Ьл вэавмво однозначно. с В. Скобка Пуассона векторных полей. Пусть на многообразии М даны два векторных поля А и .В. Соответствующие по- е) По теоремам существования, едвнствевноств в двфференцвруемоств теорвв обыкновенных двфферевцвальвых уравнений труппа Ас определена, если многообразие М коьшактво.
В общем случае отображеввя А с определены лишь в окрествоств х в лвшь для малых с; этого достаточно для дальнейшвх конструкций. 9 39. АЛРЕВРА ли Внкторных полки токи А' и В', вообще говоря, не коммутируют: А1В* чм В'А (рис. 169). 3 а д а ч а. Провести ирииер. Р е шавке. Поля А = ег, лЧ = и1еа иа плоскости (и1, ис). Для измерения степени некоммутативности двух потоков А', В' рассмотрим точки А'В'х и В'А'х. Чтобы оценить различие между этими точками, сравним значение в вих какой-нибудь гладкой функции 1р, заданной иа многообразии М. Разность й (г, г; х) = 1р (А'В'х) — 1р (В'А'х) Вх есть, очевидно, дифференцируемая функция, обращающаяся в 0 при г = 0 и при г = О.
Поэтому первый отличный от 0 член х ряда Тейлора ХА по г и г в 0 содержит гй а другие члены второй степени исчеаают. Со- Рис. 169. Неисммусасчнтаем этот главный билинейный член ртми1йс ии съ в О. Л е м м а 1. Смешанная производная Ь по г, 8 в О равна кальиутатору дифференцирований по направлениям А и В: — 1р (А'В*х) — 1р (В*А'х) = (ХВХлф — Х лХ,вф) (х). Докааательство. По определению Хл, — ф (А В х) = (Х лф) (В х). Если обозначить функцию Хлф черев ф, то по определению Хв да ), ст( Итак д д ~ = ф~(АВ х) = (ХвЕАф)(х), что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь возникший коммутатор дифференцирований Х вХ л — Х АХ в.
На первый взгляд это — дифференциальный оператор второго порядка. Л е м м а 2. Оператор Х ВХя — ХАХ в есть линейный дифференциальный оператор первого порядка. Д о к а а а т е л ь с т в о. Пусть (А„ ..., А„);(В„ ..., В„)— компоненты полей А, .В в локальной системе координат (х„..., х„г на М. Тогда Х'вХлф= ~ В; — ? А1 — 1р = В1 — Х вЂ” ф+ ~ В1Аг .
~ 1 г дис л~ 1 дед ~Щ1 ди1 дид,~ 1 1дди1диг 1 1 1=и 1е 1 1. 1=9 гл. г. симплектические многоовглзия Если вычесть Йлйв~р, то слагаемое со вторыми производными <р пропадет, и мы получим (Йяйл — Йлйв) % = У ~Нг — — Аг —.~ ) —- дт,. г дх,. ) дх. из=~ Итак, лемма доказана. Но поскольку каждый линейный дифференциальный оператор первого порядка задается векторным полем, наш оператор Йвйл— — Хлйв также соответствует некоторому векторному полю С. О п р е д е л е н и е. Скобкой Пуассона или когькутатором двух векторных полей А, .В на многообразии М называется *) векторное поле С, для которого Йс = Йлйл — Йлйл. Скобка Пуассона двух векторных полей обозначается С = [Ах.В).
3 а д а ч а. Пусть поля А, В гадапы в координатах т; комсоисптами (Аи В;). Найти коьаюяепты их скобки Пуасссиа. Р е ш е и и е. При доказательстве леммы 2 уже докагаиа формула дА дВ )А,В) = У В вЂ” -А —. г Л~Л Здх ! дх 4=1 3 а д а ч а. Пусть Ат — векторное воле линейных скоростей твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вг, а Аг — с угловой скоростью юх вокруг точки О. Найти скобку Пуассона [А1, Ах). Г. Тождество Якоби.
Т е о р е м а. Скобка Пуассона превращает линейное пространставо вгктпорных полей на многообразии М в алгебру Пи. Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность и кососимметричность скобки Пуассона очевидны. Докажем тождество Якоби. Имеем по определению скобки Пуассона Йбл,лдс) = Йсй[л,в] — Й~л,в)ЙО = = Йсйийл — Йсйлйя + Йлйяйс — Йвйсйл- Всего в сумме Ййл, ву с) + Ййл. сй.ц + ЙПо. лд в) будет слагаемых. Каждое слагаемое войдет в сумму дважды с противоположными знаками. Теорема доказана. Д.
Условие коммутативносги потоков. Пусть А, . — векторные поля на многообразии М. Т е о р е м а. Два патока А', Йм коммутируют тогда и только тогда, когда скобка Пуассона соответствующих вскторных полгй !А, .В1 розка кулю. «) Вс многих кингах принимается другой гиви. Нгш гиак согласован со аксиом коммутатора и теории групп Ли (см.
и. Е). 1 39. АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ НОЛЕЙ 185 Доказательство. Если А'В'=В*А', топо лемме 1А, .В! = О. Если [А, Вс = О, то по лемме х для любой функции «р в любой точке х «р (А'В'х) — «р (В'А'х) = о (ээ + Сэ), э- О, с- О. Мы покаском, что отсюда вытекает «р (А'В'х) = «р(В'А'х) прп достаточно малых э и С. Пршкеняя вто соотношение к локальным координатам («р = кд, ... ..., «р = эо), получим А«В': — В'Ас. РассмотРин пРЯмоУгольник 0 ч, С ~( Се, 0 Ч; л ~( ле (Рис.
170) на плоскости (с, л). каждомУ пУти, ведУпгемУ иэ (О, О) в (с, ло) и ссстоащемУ иэ конечного числа отреэков коорС)внатиых направлений, сопоставим произведение преобраэоваэий высоков А и В'. Каждому отреэку 11 ~ с Ч; с сопоставим А *, отрезку л« ~ л ~ ле— се.«* — Вь ч; применять преобраэованяя будем в порядке, в капом идут отреаки от (О, 0). Рке. 170. К. Локаеетелоогог коыкгглткнноогк потоков Рке. 111. Криволинейный че«ырех- т«елышк 1 тее«о 'Рак, например, сторонам (О ~( с ~(с„л = О) и (с = со, 0 ч,.л ~(ло) отвечает произведение В"Ас', а сторонам (с = О, 0 ~ с ч, «е) и (л = ле, 0 ~( с е~ ч; с ) — проиэведение АЛВь. Кроме того, мы сопоставим каждому такому пути на плоскости (с, л) путь на многообраэии М, выходящий иа точки к, составленный иэ траекторий потоков Ас и В' (рис.
171). Если пути на плоскости (с, в) соответствует преобс « раэованае А "В"... А "В ", то на многообразии М соответствующий путь с аэкавчкваетса в точке А«'В"...А "В "э. Наша цель — доканать, что все эти пути в действительности эаканчивасстся в одной точке А«В"к = В"Ас'к. Раэобьем отреэки (О «~ с ~( се) и (О <; л Ч; ло) на ««" равных частей так, что весь прямоугольник раэделится на «тэ маленьких прямоугольников. Переход от сторон (О, 0) — (О, с,) — (л, се) к сторонам (О, 0) — (л, 0) — (ле, се) можно совершить в Ф' пмгов, в каждом иэ которых пара соседних сторон маленыюго прямоугольника аэменяется другой парой (рнс.
172). На многообраэии М атому маленькому прямоугольнику соответствует, вообще говоря, неэамкнуп«й криволинейный четырехугольник ()убэа (рис. 171). Рассмотрим расстояние е) между его вершинами а, р, соответствую- е) В какой-нибудь рииановой метрике М. ГЛ 8. СИМПЛЕКТИЧЕСК<<Е МНОГООБРАЗИЯ щннн наибольшим значениям г и «. Нан мы видели выше (стр. 185), р (а, (3) ~ ~ С,Л< «(где постоянная С, ) О не зависит ст Л').
Используя теорему днфференцнруемостн решеннй дифференциальных урзнненнй пс начальным данным, отсюда нетрудно вывестн сценку расстояния между новцзнн а', р' путей хбу(<р' н хбзаа' на многообразии Лг< Л< у р (с<', ()') ч.. ѫ «, где постоянная С«) О снова нв зависит от Л<. Но весь переход ст В"А<'х к А'В"х мы разбнлв на у Л'«танах шагов. Итак, р (АЬВьх, В"Аих) ~ Л'«С Л' ~«Л'. Следовательно, А< В"х = В'А' х. Е.
Добавление. Алгебра Ли группы Ли. Груп*сл оюна «- пой Ли называется группа б, являющаяся дифпы ~~<~в" л»т ференцируемым многообрааием, причем операции (умножение и обращение) — дифференцируемые «<тображения С )< С-~-С, С-ь С. Касательное пространство к группе Ли 6 в единице Тб, имеет естественную структуру алгебры Ли; она определяется следующим образом. Каждому касательному вектору А С ТС, отвечает однопара- а) метрическая подгруппаА'С Сс вектором скорости А =. — 1 А ° <и ~<=« Степень некоммутативностн двух подгрупп А', В' измеряется произведением А'В'А-'В- . Оказывается, существует одна-единственная подгруппа С', для которой р (А'В'А-'В-', Сп) = о (л» + (») прн г, 8 -+. О.
Соответствующий вектор С = — ~ С называется коммутатором д (Ь' сс з Ли С = (А, В) векторов А и .В. Моя<но проверить, что введенная таким образом в касательное пространство ТС, операция коммутнрования превращает его в алгебру Лн (т. е.
операция билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби). Эта алгебра называется алгеброй Ли группы Ли С. 3 а д а ч а. Вычислить операцию номпутнрсзання в алгебре Лн группы ВО(3) вращений трехмерного сзнлндова пространства. Лемма 1 показывает, что скобку Пуассона векторных полей можно определи<па как какмутатор Ли б<«л «бееконечномерной группы Ли» есех диффеоморфиамое многообразия «) М. С другой стороны, коммутатор Ли моя<но определять с помощью скобок Пуассона векторных полей на группе Лн б. Пусть у б= С. Правым сдвигом В, называется отображение Ве б-+. С, Лей = Ьу. Дифференциал Ве в точке у отображает ТС, в ТСц.
Таким образом, каждому вектору А ~ ТС, соответствует целое векторное поле на группе: оно составлено из всех правых «) Знак в спрсделеннн скобки пуассона векторных полей выбран исхо- дя нз »того соображения. $40. АлГеБРА ли Функций ГАмильтОНА 187 сдвигов (Пг) Я и называется правоинвариантным полем. Очевидно, правоинвариантное поле на группе однозначно определяется своим значением в едвнице. 3 а д а ч а. Докаяопе, что скобка Пуассона провоикварииитиых ввккюркых полой кк вр уппв Ли й есть провоиквирикктков поле, и значение взо в вдинизав группы равно коммутатору Ли значений исходных полой в вдикизв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
