В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Е. Пример: граница многогранника. Пусть Р— ориентированный, выпуклый Й-мерный многогранник в гг-51ерном евклндовом пространстве К». Грипицсй Р называется Š— 1-мерная цепь дР в К", определенная следующим образом (рис. 152). Кусками аг цепи дР являются й — 1-мерные грани Р1 многогранника Р вместе с отображениями у1: Р, — 1- К» вложения граней в К» и ориентациями Ор1, определенными ниже; кратности же равны 1: дР = ~а» а, = (Р1, 1„0р1). Правило ориентации граней. Пусть ет,...
..., е» вЂ” ориентирующий репер К». Пусть Р1 — одна из граней Р. Выберем внутреюпою точку .Р1 и построим в ней вектор и / ///у~// Рг К дс, Рнс. 152. Ориентация границы Р . 155. гра ы пе внептней нормали к многограннику Р. Ориентирующим грань Рт репером будет такой репер Гг,..., Г» 1, з,01, для которого репер (т», у „..., Г» д) ориентирован правильно (т. е. как репер е,... ° 1 е») Граница цепи определяется аналогичным образом. Пусть а = = (Р, г, Ор) — й-мерный кусок з многообразии М.
Его границей да называется й' — 1-цепь да = ~а1, составленная из кусков а, = (Р» 1» Орг), где Р, — я — 1 мерные грани Р, Ор1 — ориентации, выбранные согласно приведенному выше правилу, 11— ограничение отображения 11 Р -н М на грань Р» Границей дс» (с-мерной цепи с» в М называется сумма границ кусков цепи с„с кратностями (рис.
153)1 дс„= д (т а, +... + т„а,) = тгда, +... + т,да„. 1 зз. интеГРиРОВАнне диввеРенцнальных ФОРМ 163 Очевидно, дск есть сс — 1-цепь на М е). 3 а д а ч а 10. Докааать, что граница границы любой цепи равна нулю: ддск = О. У к а з а н в е. Ввиду линеввости д достаточно доказать ддР = О для выпуклого многогранника Р. Остается проверить, что каждая к — 2-мерная грань Р входит в цепь ддР дважды с разными аяаками. Это достаточяо проверить для й = 2 (плоские сечения).
Ж. Интеграл формы по цепи. Пусть теперь вк есть сс-форьса на многообразии М, а ск — сс-цепь на М, ск — —,''г'.тспс. ХХнтсгралолс фоРмы вк по Цепи ск называетсЯ сУмма интегРалов по кУскам с учетом кратностей ск 3 а д а ч з 11. Докажите, по интеграл линейно аавксит от форыыс к+ ' ~ к+~ к ск с~ 12. Докажите, что интегрирование фиксированной формы определиет гомомарфивм группы цепей 1. Пусть М есть плоскость ((р, д)), с)б, цепь с состоит пв одного куска од с Задача вк по цепам с„ в прямую.
П ример форма вк есть р ссратностью 1: [О ц; с ц; 2п] — к (р = щв с, д = щп с). Тогда Рао. 555. Натсграа Формы риб ио гранаде области равен ало щади облаож Вообще, если цепь ск пРедставлЯет гРаниЦУ области С (Рис. 154), то )Р до С1 равен пласдади 6 со знаком + или — в аависвмости от того, ориентирована ли пара векторов (ввешнян нормаль, ориентирующий вектор границы) так же, как базисная пара (орт р, орт б), или наоборот. П р и и е р 2.
Пусп, М есть ориентированное трехмерное евклипово пространство Вз. Тогда каждая 1-форма в М соответствует некоторому векторному шипа А (вк = вк ), где кл(В) = ( 1, В). Интеграл формы вк по цепи ск, представляющей ориевтированиую кривую С, навываетсн циркуккцией полл А по кривой й ) вл д (А' дс) я с *) Мы считаем здесь Сс ) 1. Одномерные цепи включиотся в общую схему, если принять следуазцие определения: нульмерная цепь состоит из набора точек с кратностями„ .граница ориевтировавного отрезка АВ есть  — А (точка В с кратностью 1, А с кратностью — 1); граница точки пуста. гл. т.
диеекнпнпиальныи еормы Каждая 2-форма в М также соответствуег некоторому полю А (е» = ° = мал, где ел 1З,Ч) = (А,Ь,Ч)) ° Интеграл формы ева по ценя ст, представлвющей орневткрованвую поверхность 8, называется потакая поля А члреа палерякасть 81 ) Етг=')(А, оы). е 1 3 а д а ч а 13.
Найти поток поля л( ~ еа через поверхность сферы ет+ ут+ ят = 1, орнентярованвую векгорамк е„, еа в тачке я 1. Найтв поток того жа поля через поверхвос»ь эллвпсовда я»1ет+ га/»а+ я» = 1, орвевткроваввую так жа. Укааанке. Ск.стр.171. 3 а д а ч а 14. Пусть в 2»-мерном простраястве Ка» = ((рм..., р»; р,..., а»)) дана 2-цепь с, представляющая орвевтвраванную двумерную поверхность 8 с краем С Йайтн ~ лртЛЗ11+ ° "+ер„Лйрв и )ртеч1+".+р„еч ° ы Ответ. Сумма орвевтвроваввых площадей проекций 8 на коордвнатвые двумерные плоскости рь йь ф 36. Внешнее дифференцирование Здесь определяется внешнее дкфферавцврававве Ьформ и доказывается формула Стокса: интеграл пров»водной формы по цепи равен ннтеграву самой формы по граввце в»он цепи.
А. Пример: дивергенция векторного поля. Внешняя производная й-формы са на многообразии М есть )с + 1-форма с(ю на том же многообразии. Переход от формы к ее внешней производной аналогичен образованию дифференциала функции или дивергенцин векторного поля. Напомню определение дивергенции. П Пусть А — векторное поле в евклидовом ориентированном трехмерном пространстве Ка н Я вЂ” граница параллелепипеда П с ребрами йт, йт, $я пРи веРшине х: Ю = дП (Рис. 155). Рассмотрим поток поля А через поверхность Б (анаружу»): гвс. 1»»у к авюааааат»а ляьарумщав всктартва ваяя Коли параллелепипед П очень мал, то поток г* приблизительно пропорцнонален произведению объема параллелепипеда, У = = (й„$»1 йа), на аплотность источников» в точке х. Иными словами, существует предел Пш— Г(аП) 165 $ ЗЗ.
ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ где еП вЂ” параллелепипед с ребрами ам е$„ е4«. Этот предел не аависит от выбора параллелепипеда П, но лишь от точки х, и называется дивергенцией поля .4 в х, Йгт г«. Чтобы перейти к многомерному случаю, ааметим,что «поток .4 через элемент поверхностиз есть 2-форма, которую мы обозначили юл. Дивергенция же есть плотность в выражении 3-формы ер = «(1т .г1 <Ь Л «Ь Л «)з, <>' %, $«, $«) = 61ч .1 Р (эп ез~ ьз).
характеризующей «источники в элементарном параллелепипедез Внешняя производная е)юз й-формы юз на п-мерном многообразии М определяется как главная полилинейная часть интеграла ег" по границе )е + 1-мерного параллелепипеда. Б. Определение внешней производной. Определим значение фоРмы дег на й + 1 вектоРе з„..., фз+„касающемсЯ М в х. Рассмотрим для этого какую-нибудь систему координат в окрестности г„„ АЫ АЫ Рзе. «З«.
КР е газне зрз е езззеа П точки х на М, т.е. диффеоморфное отображение ~ окрестности точки О в евклидовом пространстве К" на окрестность точки ю в М (рис. 156). Прообразы векторов эп..., Вз+з с= ТМ„при дифференциале ~ лезкат в касательном пространстве к К" в О. Это касательное пространство естественно отождествляется с К", поэтому можно считать прообразы векторами Натянем на эти векторы в К" параллелепипед П* (строго говоря, надо рассмотреть стандартный ориентированный куб в Кз+з и его линейное отобразкенне на П*, переводящее ребра е„ .. ° ..., езы в $т,..., ««ы, как й+ 1-мерный кусок в К"). Отображение ~ переводит параллелепипед П* в )е + 1-мернь|й кусок П на М («криволинейный параллелепипеде). Граница куска П есть к-мерная цепь, дП.
Рассмотрим интеграл формы юз по границе дП параллелешшеда П." ряп--.,Вз«з) = ~ ю". дп Рл. т. ДиФФеренштальные Формы П р и и е р. Будем называть О-формой на М гладкую фувтщню ф: М к. интегралом О-форыы Ф по О-цепи со = хтзАз (где вн — целые, Аз— точки М) назовем ) т = ~~» ю«Ф(А«). и Тогда предыдущее определение дает «приращениее г (Э,) = Ф (я ) — Ф(я) (рис. 157) функции Ф, а главная линейная часть РЯ«) в О есть просто дифференциал функции <р.
вю. тат. Ее«огрел по 3 а д а ч а 1. Докажите, что г" Яы..., фзы) косоеревице олвоиереого симметрична по Э. пар еллолоеееоаа-ою Оказывается, главная й + 1-линейная часть «приращения» г' ($м..., $з г) есть внешняя й + 1-форма на касательном пространстве ТМ к М в ш. Эта форма не зависит от системы координат, с помощью которой определялся криволинейный параллелепипед П. Она называется енгсиней производной формы ю" (в точке ж) и обозначается с(юа.
В. Теорема о внешней производной. Т е о р е м а. На ТМ существует и единстпвгнна й+ 1-форма И, которая является главной й + 1-лингйной частью в О интеграла по границе криволинейного параллелепипеда Р ($ы..., $зы): т. г. Р (е$м..., ельм) = ее+ай (эы..., 5«м) + о (г"+') (е -ь 0), (1) Форма ь«нг зависит от выбора системы координат, уч ствуюз((ей в определении Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
