В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 29
Текст из файла (страница 29)
О п р е д е л е н и е. Внешним произведением оР /~ в~ /г-йбормы в~ еК" на 1-форму в' в К" иазывается й + (-форма в К", значение которой на й + 1 векторах 3„..., йа, $т г,..., Ра«с= К" равно (в /~в)(тг'''' ьз«) Х( 1) ва(в ''' 5%)в (Фгг ' ' ед) (1) 149 з ЗЗ. ВНЕШНЕЕ УМНОЖЕНИЕ где зт ( - < (в. )» < ° ° < (й ((» ..., (з, 1„..., у ) — перестановка номеров (1, 2, ..., й + 1), а ™ 1 1, если эта перестановка нечетка, О, если эта перестановка четна. Иными словами, каждое разбиение й + ( векторое сю... ..., сз» „на две группы (из й и из ) векторов) дает одно слагаемое в наисей с)~мме (1). Это слагаелве равно произведению значения й-формы ю на й векторах первой группы на знанение 1-формы те» на ( векторах второй группы, со знаком + или — в зависимости от того, как упорядочены векторы в группах.
Если они упорядочены ток, что написанньм подряд й вектпоров первой группы и 1 векторов второй образуют четную перестановку векторов Ью сз,..., Й» „то берется знак +, а если нечетную — знак —. П р и и е р. Коли й = 2, то разбиений всего два: с„сз и йз, $ы Поэтому (ют Р юз) (тт та) 6Ъ (тт) юз (тт) юз (тт) О» (в ) в согласии с определением умножения 1-форм из $32. 3 а д а ч а С Доказать, что приведенное выше определение действительно определяет некоторую у+ (-форму (т. е. что значение (ю /~ ы') (сч,..., а» ~) зависит ст векторов а полилииес1ио и ксссспиыатричко). Б. Свойства внешнего проиаведения. Т е о р е и а.
Определенное выше внешнее умножение форм косокоммутативно, дистрибутивно и ассоциативно. Д'ля одночленов оно совпадает с умножением, определенным в 5 32. Доказательство косокоммутатнвности основано на простейших свойствах четных и нечетных перестановок (см. задачу в конце $ 32) и предоставляется читателю. Дистрибутивность следует из того, что каждое слагаемое в (1) линейно относительно юв и ю'. Доказательство ассоциативности требует несколько больше комбинаторики; так как соответствующие рассуяо(ения уже проводились в курсе алгебры при докавательстве теоремы Лапласа о разложении определителя по минорам столбцов, можно воспольаоваться этой теоремой в). *) Прямое доказательство ассоциативлости (содержал»ез также доказательство теоремы Лапласа) состоит в проверке согласоваикости знаков в тождестве ((ю Лю)((ю ИЬ ..- ть+и )= =Х+ю (З;,, " Р»)ю ($), -" Зц)ю (з»;"" з»ю) ° гдз й ~...
с»», й с"... с Л, », ~... ~ »„;, (ьп ..., Ь ) — пеРеставовка чисел (С..., »+ ) + ж). 150 гл. ь днФФЕРннциальныи ФОРмы Начнем со следующего з а м е ч а н и я: Еови аовоциативностпь доливала длл вваатвмых, то опа верна и для суммы, т. е. (ез Лез«)Лез«= «Р (ю«Л"'з)( ~ влечет ((со, + шз) Лез«)Лозз = ( Л )Р з= Л(ш«ЛМ1 = (ш. + «ц)."Л (ц Л юз)- Ибо в силу дистрибутивности, которая уже доказана, имеем ((шз + ~) Л юз) Л шз = ((«ъ Л шз) Л М + (( ~ Л ъ ) Л шз), (езз+ ц) Л (езз Л озз) = (шз Л (езз Л «з))+ (озз Л ( ыз Л озз)). Но лнз уже знаем из $ 32 (задача 12), что всякая форма в К есть сумма одночленов. Позтому достаточно доказать ассоциативность умножения одночленов.
Так как пока не доказана зквивалентность определения умножения й 1-форм из $32 с общим определением (1), мы будем временно обозначать умножение й 1-форм символом Л, так что наши одночлены имеют вид ш= «Л. Лш«. ° = +Л" Л" « где езм..., н«ы — 1-формы.' Л е м м а. Внешнее произведение двух одпочленов есть одночлвп: (.Л".Л )Л( "Л'".Л ")= = ез«Л .
Лез«Лез««Л ° ° *Лш« ~ ° Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычислим значения левой и правой частей на й+ з векторах ~,..., $«+,. Значение правой части равно определителю бе$ ( ззз Я1) ( порядка й + й Значение левой части по формуле (1) равно сумме произведений ~ч„~ без ~ац(з; )( без (ь;(зз~ )( з(М««(4Ян4 миноров первых й столбцов определителя порядка й + з на дополнительные миноры. Теорема Лапласа о разложении по минорам первых й столбцов как раз и утверждает, что зта сумма с тем же правилом выбора знаков, что в определении (1), равна определителю йе$ ( вз (Ез) ) . Лемма доказана.
Из леммы вытекает, что операции Л и Л совпадают. Действительно, мы получаем последовательно «ьЛшз= ш«Л ыз юз Л шз Р, шз = (~>з Л М Л юз = (<~з Л М Л юз. ~, Л ыз Л . Л « = (. ((«ъ Л ~з) Л ыз) Л .. Л ш«). 1 зз. внешнее умнОжение Из очевидной ассоциативности /~-умножения й $-форм следует поэтому ассоциативность /~-умножения одночленов. Тем самым, в силу сделанного выше замечания, ассоциативность доказана и в общем случае. 3 а д а ч а 2.
Докавште, что внешний квадрат 1-формы или вообще формы нечетного порядка равен нулю: оР Л юа = О, если а нечетно. П р и м е р 1. Рассмотрим в Кз» систему координат р„..., р„с„... ..., о» и 2-форму оР = ~ч~~ рг Л сг (Геометрически ата форма оР означает сумму площадей ориентированных проекций параллелограима на» координатных двумерных плоскостей (дм чг)' ° ° .; (р» з»). В дальнейшем мы увидим.
что 2.форма сР имеет основное значение для гамильтоновой механики. Можно показать, что всякая невырожденная *) 2-форыа в Кх» имеет вид оР в некоторой системе координат (рм ° ° . З») 1 3 а д а ч а 3. Найти внешний квадрат 2-формы аг. О ое . аРЛюз»» 2 ХРЗЛР ЛЗЗЛчу г>1 3 а д а ч а 4. Найти внешнюю 1-ю степень ю".
О " 'Л 'Л.-.Л '=~М Х рйЛ"-ЛР,.„ЛЗ„Л--.Лагг В частности, ~л-.л~ =х ~~л".л..л»л.-ль » есть, с точностью до множителя, объем 2»-мерного параллелепипеда в Кз»- 11 р и м е р 2. Рассмотрим теперь ориентированное евклпдово пространство Кз. Кикдому вектору А гн Кз сопоставим 1-форму югл, полагая юг 1З) = (А, й) (скалярное произведевие), н 2 форму оР, полагая еР~ гзг, $») = (А, $м зз) (смеша ное проиаведение). 3 а д а ч а 5. Доказать, что отображеииг А»» юг и А г-» еР устанавливают ивоморфизмы линейного пространств Кз векторов А с линейными пространствами 1-форм в Кз и 2-форм в Кз.
Если в Кз выбрана ортоиорыированная, ориентированная система иоординат (х, х, хз), то аР = Агхг+ Азхз+ Азха, юз = Агхз Л ха+ Азха Л хз + Ахтг Л .тз. 3 а и е ч а н и е. Итак, выписанные изоморфизмы ие зависят от выбора ортонормнрованиой и ориентированной системы координат (хм хз, хз). Но они аависят от выбора евклидовой структуры Кз, а изоморфизм А»» юззл также и от ориентапии (входящей неявно в определение смюпанного проиааедеиия) .
3 а д а ч а 6. Доказать, что в силу установленных изоморфизмов внешнее умножение 1-форм превращается в векторное умножение векторов Кз, т. е, что аРА Л юн — — ю(л н) для любых А, В см Кз. о) Билинейная форма «Р невырождена, если т$+ О, ЕЧ: оР(2, Ч) + О. 152 гл. 7. диФФнРвнцнальныж ФОРмы Таким обрааом, апета«е ума«теки« форм можно рассмотри«ать как к«реке« ка мка«омериий случай ««ктаркоео умножения е Кз. Только в многомерном случае произведение не есть вектор того же пространства: пространство 2-форм в К" и»аморфно Ки только при п = 3. 3 а д а ч а 7.
Доказать, что в силу установленных иаоморфизмов внешнее умножение 1-формы на 2-форму превращается в скатярное умножение векторов К'. ю' 1~ в=(».К)* Р Р В. Поведение при отображениях. Пусть (: Ит->-Ип — линейное отображение, и ша — внешняя )е-форма на Ки. Тогда на К возникает к-форма !аша, значение которой на й векторах $т..., 2» ~ К" равно значению ш» на их образах: У'ш')(зт> - - ' Ь) = ш' Ф., - . > Л») ° 3 а д а ч а 8. Проверить, что !««оа — внешняя форма. 3 а д а ч а 9.
Проверить, что !и — линейный оператор иа пространства й-форм на К" в пространство й-форы на Кт (звездочка с««рху указывает, что !* действует в сторону, против«палаткою !). 3 а д а ч а 10. Пусть ): К'" К", у: К" Кп. Проверить, что (у о !) = !и о у Задача 11. Проверить, что 1* сохраняет внешнее умножение )* (юа ««, т') = ()иша) Р, (!'ю'). ф 34. Дифференциальные формы Здесь дано определение дифференциальной формы иа дифференцируемом многообрааии.
А. Дифференциальные я-формы. Простейшим примером дифференциальной формы является дифференциал функции. П р и м е р. Рассмотрим функцкю у = ! (х) = хз. Ее дифференциал й! = 2хда зависит от точки х и от «приращения аргумента», т. е. от наса- тельного вектора й к оси х.
Зафиксируем точку х. Тогда дифференциал функции в точке х, й! )т зависит ст й лик«йио. Так, если х = 1 и координата касательного вектора й равна 1, то а! = 2, а есле координата з равна 10, то й! = 20 (рпс. 140). Рас. Ыо. Д»1 уе - Рт. 1«1. к е лач«1 Пусть !:М вЂ” »К — дифференцнруемая функция, заданная на многообразии М (можно представлять себе «функцию многих переменных» !: К" — ь К). Дифференциал с(! )„функции ! в точке х есть линейное отображение с)1„: ТМ,-~-К касательного пространства к М в точке х в вещественную пря- мую. Напомню определение этого отображения. 1 34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
