В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Эти и 1-форм линейно независимы. Поэтому каждая 1-форма до имеет вид Ш =адХд+... +а„Х«, ад~К. Значение ш на векторе $ равно ш($) = адхЯ) +... + а„х„(б), где хд(Е),..., х„($) — компоненты вектора $ в выбранной систе- ме координат. П р и и е р. Если в евкандовом м«дано однородное силовое поле Х', во его работа л на перемедпеиии 4 есть 1-форма от й (рис. 135). Б.
2-формы. О п р е д е л е н и е. Внешней формой степени 2 (или, короче, 2-формой) называется функция от пары векторов, влд К" ~ х К"-«.К, которая билинейна и кососимметрнчпа: ш' (ЛД + ЛДМ Е,) = Л~дот ($м $ ) + Л оР фм Е ), ш 61,2,) = — "6в,Ь), уЛт,3 Е— : К,вд,с с=К". «) Существенно отметать, что мы не фиксируем в и" никакой специальной евклидовой структуры. В некоторыт врем«рах такая структура исповьвуется; тогда его скециааьно оговорено — («евкиидово Кол).
РЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ П р им ер 1. Пусть Ю (3„$») — ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах Во Эз оркевтированной евклидовой плоскости Кз, т. е. )»эм еэ»з | Э» = эмез+ $мез, о(з».зз)=~~ кь ~» где чз э +~ где с,, с — базис, задающий ориентацию Кэ. Легко видеть, что Ю (3о еэ) есть 2-форма (рис. 136). П р и м е р 2, Пусть о — однородное поле скоростеи жидкости в трехмерном ор»»жпированиоз» евклпдовом пространстве (рпс, 137). Тогда поток Рпс. 137.
Поток жпдкоста через площадку — 2-Фора а Рас 133. Ораззтлрозаккаа площааь — 2-Форма жидкости через площадь параллелограмма во е есть билинейная кососимметрнческая функция от $„$е, т. е. 2-форма Фз (е», $ ) =- (е, э» э ). П р имер 3. Ориентяроэапная площадь проекции параллелограмма со сторонами Э», эз в евклпдовом К" на плоскость хм хз есть 2-форма.
3 а д а ч а 1. Докажите, что для всякой 2-формы ю' в К" имеем сот(б, с) = О, зУб<=К". Р е п1 е и и е. Ввиду кососиммегричности еоз(6, Ь) = — юз (ч, 3). Мяожество всех 2-форм в К" превращается в вещественное линейное пространство, если определить сложение форл1 формулой ( 1+ юз) 61, $3) = юз (ээ $И + юз (й 32), а умножение иа число — формулой 3 а д а ч а 2. Докажите, что это пространство конечиомерно, к вай дите его размерность. и (л — 1) Ответ.
2 , .базис указан ниже. В. гс-формы. О п р е д е л е н и е. Внешней формой слжнени (с, или А-формой, называется функция от й векторов, которая й лииейиа и $32. ВНЕШНИН ФОРМЫ кососимметрична: ге(1Л,+)Л„$„,Ь) =Х, (Ф„Р„.--,Ь)+й,со(йт,7„".,Рг), О, если перестановка гм..., ~г четная ыбй,...,й; ) = ( — 1) ге(йп..., йг), где и = 1, если перестановка зм...,вт не четная. П р и м е р П Ориентированный объем параллелепипеда с ребрами фо ..., ь„ е ориентировавном евклидовом пространстве К" есть к-форма (рис.
!ЗБ) $м ". $„, Е%'.- й)= 3, ." $е где $; = йв,е1+... + алые„п е„..., е„— базис К". П р и и е р 2. Пусть К" — й-мернаи оркентироваинаи плоскость в в-мерном евклпдовом пространстве К". Тогда й-мериьш ориентированный объем проекции параллелеп1шеда с ребрами йо $„ ..., йт ~в К" на Ка есть й-форма на К". Множество всех вс-форм в К" становится вещественным ли- нейным пространством, если ввести в нем операции сложения $ ( + э) 6) =ы,(й)+ ьэ(Р, $ = (йп ..., 3,), й,- ~ К", и умножения на число Рис.
! 38. Орвеитврсэавэма оаъ- ек — 3-4вриа ()ио) (".) = 1со (а). 3 а д а ча 3. Доказать, что это линейное пространство конечиомерно, и найти еш размерность. Ответ. С„; базис укааан ниже. в. Г. Внешнее пронвведение двух 1-форм. Введем теперь еще одну операцию: внешнее умножение форм. Если шг — /с-форма и ы' — в-форма в К", то нх внешнее произведение ыг /~ оз' будет й + 1-формой. Вначале определим внешнее произведение 1-форм, сопоставляя каждой паре 1-форм том о~э в К" некоторую 2-форму оз,/, со в К".
Пусть й — вектор К". Имея две 1-формы ыд и ы„можно определить отображение К" на плоскость К х К, сопоставляя и б:— : К" вектор Й (--) с компонентами ыт (й), ыэ (й) на плоскости с координатами со„соэ (рис. 139). О п р е д е л е н и е. Значение еяешпеге произведения ыт /' соэ на паре векторов сд, се ~=- К" есть ориентированная площадь об- ГЛ. 7. ДНФФЕРЕНЦИАЬНЬШ ФОРМЫ разе параллелограмма со сторонами ст, $з на плоскости «от, о1з: ~ Ф1 В1) Фз($1)! ( 1Л з)(с1 31) = ~ Задача 4. Доказать, что вг/~ ю действительно есть 2-форма. 3 а д а ч а 5.
Доказать, что отображение (Ф1 Фе) Ф1 /~ юе бплинейно и кососпмметричио: Ф1 А юз = — ые /~ ю «11 и/11) е (Х'юг+ Х"сй) Л ю, =Х'юг /~ ю, + Х"ой /~ Фз. У к а з а н и е. Определитель билинеен и косо- .Л;" ' ю/«1) симметричен не только по строкам, но и по столбцам. «Ь Пусть теперь в К" выбрана система линейРес. 1ЗЕ. Опреаеее- НЫХ КООРДИНат, т.
Е. ВаДаНЫ П НЕЗаВИСИМЫХ 1- еее ввеешн~то ерове- ф ЭГ ф вать базиснеьми. Внешние проивведения базисных форм суть 2-формы хз /~ х . Ввиду кососимметрнчностн, х, Д х, = О, х1 /', х1 = — х) /~, х,. Геометрический смысл формы х, /', хт очень прост: ее значение на паре векторов 41, $з равно ориентированной площади проекции параллелограмма 5„$1 на координатную плоскость хз, х параллельно остальным координатным направлениям. а (е — 1) 3 а дача 6.
Докажите, что Ст — 2 форм хт /, х/ (1(В линейно независимы. В частности, в трехмерном пространстве (х„ хз, хз) площадь проекции на плоскость (х„хз) есть х1 /~ х„на плоскость (хз, хз)— — хз Л ха на плоскость (хз, х1) — ха /~ хт. 3 а д а ча 7. Докажите, что все 2-формы в тре1,мерном пространстве (х1, хз, хз) исчерпываются формами Рх, /~ хз + ()хз /,, х1 + Яхт /~ хе. 3 а д а ч а 8. Докажите, что каждая 2 форма в в-мерном пространстве с координатами хы..., х„оДнозначио представлаетсЯ в виде - Х а«~1/ 1<1 у к а з а ни е. пусть е« вЂ” 1-й базисный вектоР, т. в. х« (ез) = 1, х« (е;) = О, / ~ 1.
Рассмотрим аначевия формы юз ва паре е«, еп Тогда а11 = Юз (Ео Е)). Д. Внешние одночлены. Пусть теперь даны й 1-форм а1, . ° ., Фа. Определим их внешнее произведение а /~... /~ «ов. а зт. Внешние ФОРмы гг и р е д е л е н и е. Положим 1 г(9) ва(9) (вгЛ''*Лва)6 '' йа)=~ (вв ) (ть ) ° Иными словами, значение произведения 1-форм на пара.
мелепипеде сы..., са равно ориентированному объему образа параалелепипеда в ориентированном евклидовом координатном простпранстве Ка при отображении 9 (вг Я),..., ва (с)). 3 ада ч а 9. Доквките, что вг Л ... Л ва есть а-форма. 3 а д а ч а й Докажите, что операция внешнего умиожевия 1-форм задает полилкнейное кососимметрическое отображение ( „...,,)-,Л ... Л Иными словами, (М+ь«гг)ЛваЛ." Лют =ьвгЛвеЛ". Лва+ХФ,Лв Л"-Лв„, Ф„Л." Л;,=( — т)'«Л." Л,.
т— О, если керестаиовиа Ь...., ~„четная, о"" а г, если перестановка Г„..., га нечетная. Рассмотрим теперь в К" систему координат, задавнуго базис- ными формами х„..., т„. Внешнее произведение й базисных форм х„Л...Лх„,(~~с.~~п, есть ориентированный объем проекции й-параллелепипедов на Й-плоскость (х;,,..., х;„) параллельно остальным координатным направлениям. 3 а д а ч а тт. Докажите, что если среди индексов й,..., 1а есть два одинаковых, то форма х; Л ... Л х;„равна нулю. ч 3 а д а ч а $2.
Докажите, что формы х,,Л ... Лата, де 4<'г< .. ° Сгг<я, линейно независимы. Число таких форм, очевидно, С„. Мы будем называть их Ваеиснмаа т а-4ормааи. 3 а д а ч а гЗ. Докажите, что каждан а-форма в П" однозначно преаставляется в виде линейной комбинации базисных: в~= ~~~~ а.;х~ Л...Лх, ми с- чиано указание. аг; =ва(е,,,ег„). Из результата этой задачи следует, что размерность линейного пространства й-форм в К" равна Са. В частности, при й = и, С„= 1, откуда вытекает т Гл. 7.
диввегенциальные Фовмы С л е д с т в и е. Всякая палерма в К" есгпь либо ориенгпиро.еанный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы .объема, либо нуль: "= ',л."л .. 3 а д а ч а (4. Доказать, что всякая й-форма в и" при й > в равна пулю. Переходим теперь к умножению )г-формы в" на 1-форму со'. .Пусть вначале даньг два одночлена «о" =, Л... Л в„в = ж„А .. Л, т«, с где в,..., вт« — 1-формы. Их произведение в" /, в' мы определим как одночлен (вт Л .. Л ва) I'~(вв.г Л- ..Л ве«) = = вг Л ° ° ° Л вз Л вв г /'г . ° Л вв+с ° 3 а дача (5.
Докажите, что умяожение одиочлеиов ассоциативно: (ю" Лю')Лыж=в Л(ю Л в™) ы косокоммутатввпо:,' в Лв=( — )) юЛв. а с акк а У к а з а я и е. Чтобы переставить каящый из ( ыиожителей вг вперед, ыужио й инверсий с й множителями юе. 3 а м е ч а к и е. Иолезио запомиить, что косокоммутатпвкость озяачает коммутативвосттч если хотя бы одна из степеней я, ( четная, и аитпкоммутативиость, если обе степекп й, ( иечетиые.
й 33. Внешнее умножение Здесь определяется операция внешнего умиожевия форм и доказывается, что оиа косокоммутативиа, дистрпбутивиа и ассоциативна. А. Определение внешнего произведения. Мы определим теперь внешнее умножение произвольной /г-формы оР на произвольную 1-форму в'. Результат оР,Л, в' будет й+ (-формой. Операция умножения окажется; 1) косокоммутативной: оР /~ го' = ( — 1)" в' /', со", 2) дистрибутивной: ()г,вг' + Хввз) /~, го' = Х, в",/~ в' + авве,/', в', 3) ассоциативной: (оР /, в') /~ в™ = в" /~, (в' /~, в ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
