В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В частности, если начальные услонвя соответствуют плоскому днвжевию (у (О) = у (0) = О), то плоскость качаний будет поворачиваться с угловой скоростью — й, относительно вемной системы координат (рис. Ш). На полюсе влоскость качаний ва сутки совершает один оборот (и неводник|ив относительно не вращающейся с Землей скстемы координат). На широте Москвы (56') за сутки плоскость качаний повернется на 0,33 оборота, т. е. ва час — на 12,5'. 119 г гг.
'твердое тело 3 а д а ч а. Река течет со скоростью 3 км(ч. Нри каком радиусе кривизны излучины сила Ксрвовиса, нропсходящая ст вращения Земли, больше цевтробевшой сизы, определяемой поворотом реки? Ожзеж. Радиус кривизны должен быть ве меньше величины порядка 10 км для рек средних широт. Решение атой задачи зобъяспязтэ, почему большие реки Северного полу1пария (иапример, Волга в среднем течении) подмывают з основном правый берег, в то время как иа реках тапа Москвы-реки с вх крутыми излучинами малого радиуса кривизны подиывается попеременно то левый, то правый (внешний по излучине) берег.
й 28. Твердое тело В этом параграфе опредсзяются твердое тело и его тзизор инерции, эллипсоид инерции, мамевты икерцвв и оси ииерцяв. А. Конфигурационное многообразие твердого тела. О п р е д е л е н и е. Твердым телом называется система материальных точек, стесненных голономной связью, выражающейся в том, что расстояния между точками постоянны: (ш, — жг ( = гм = сопз1.
(1) Т е о р е м а. Конфигурационное многообразие твердого тела есть шестимерное многообразие, а именно Кз х ЯО(3) (прямое произведение трехмерного пространства Кз и еруппы БО(3) его вращений), если только в те- зг ле есть три точки не на одной, прямой. Доказательство. Пусть жы жг и шз — трн точки тела, не лежащие на прямой. и, г Рассмотрим правый ортонормированный репер, у которого первый вектор направлен как гсз— — зе а второй — в сторону ж в плоскости гст р"к "г кз"Ф 'урз- 'г» 3 пззззое мззгзоорз»»»г, х (рис. 112). Из условий ! жг — жг ! = г»ч» з зтззрв з (1 = 1, 2, 3) следует, что положение всех точек тела однозначно определено положением шг, гсз, ш„последнее же задано положением репера. Наконец, пространство реперов в Кз есть Кз Х оО(3), так как каждый репер получается из фиксированного вращением и сдвигом з). 3 а д з ч а.
Найти ковфвгурацвзипое пространство твердого тела, все точки которого лежат пз прямой. Оз»веш: Вз Х Юз. О п р е д е л е н и е. Твердое тело с неподвижной точкой О есть система материальных точек, стесненных, кроме связей (1), связью ж = О. Очевидно, его конфигурационное многообразие — трехмерная группа вращений ЯО(3). *) Строго говоря, конфигурационное пространство твердого тела есть Вз Х 0(3), з Вз Х ЯО(3) — лишь одна из двух связных компонент этого мвогообрззия, соответствующая определенное сриевтзции тела. 120 ГЛ. 6.
ТВЕРДОЕ ТЕЛО Б. Заковы сохранения. Рассмотрим задачу о движении свободного твердого тела по инерции, вие силовых полей. Примером (приближенно) может служить кувыркание космического аппарата. Система допускает все поступательные перемещения: они не меняют функцяги Лагранжа. По теореме Нетер существуют три первых интеграла: три компоненты вектора количества движения. Илн, иначе, доказана Т е о р е и а. При свободном движении твердого тела его центр инерции движется равномерно и прямолинейно.
Бо тогда мы можем рассмотреть инерцнальную систему координат, в которой центр инерции неподвижен. Итак, получено С л е д с т в и е. Свободное твердое тело вращается около центра ш ерции так, как если бы центр инерции бил закреплен в неподвижной пючке О. 'г'ем самым задача сведена к задаче с тремя степеняьп| свободы о движении твердого тела вокруг неподвижной точки О. Исследуем подробнее эту задачу (не обязательно предполагая, что О есть центр инерции тела). Функция Лагранжа выдерживает все вращения вокруг точки О.
По теореме Нетер существуют три соответствующих первых интеграла: три компоненты вектора нннетического момента. Сохраняется также полная энергия системы Е = Т (она сводится здесь к кинетической). Итаи, доказана Т е о р е м а. Е задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки О при отсутствии внешних сил имеется чепгмре первих интеграла: М„, М„, М,„Е.
Из этой теоремы можно без всяких вычислений получить качественные выводы о движении. Положение и скорость тела определяются точкой шестнмерного многообразия Т 80 (3) — касательного расслоения конфигурационного многообразия 80(3). Первые интегралы М, М„, М„ Е суть четыре функции на многообразии Т БО(3) размерности 6. Можно проверить, что в общем случае (если тело не обладает особой симметрией) эти четыре функции независимы. Поэтому четыре уравнения М„= С» М„= Сю М, = Сг, Е = С ) О определяют двумерное подмногообразие У, в шестимерном многообразии Т ЗО(З). Это многообразие инвариантно: если начальные условия движения задают точку на многообразии Р„то во все время движения точка Т ЯО(3), соответствующая положению н скорости тела, остается на У,.
Поэтому многообразие У, допускает касательное векторное поле (а именно, поле скоростей движения на Т БО(З)); при Се ) О это поле не может иметь особых точек. Далее, легко проверить, 121 1 22.'твердое тело что у", компактно (использовать К) и ориентируемо (так как Т БО(З) ориентируемо) ").
В топологии доказывается, что все связные ориеитпруемые компактные двумерные многообразия суть сферы с в ручками, п>~0 (рис. ИЗ). Рвс. 112, Двумерные комзавтные связные ормеятерусмме мзоссооразяв Из ннх только тор (и =- 1) допускает касательное векторное поле без особых точек. Итак, инвариантное многообразие у"с есть двумерный тор (или несколько торов). Мы увидим в дальнейшем, что на этом торе можно так выбрать угловые координаты ~рт, <рг (шой 2я), что движение каображающей точки по У, будет задаваться уравнениями 'Ф1 ю1 (с) Ф2 озз (с). Иными словами, вращение твердого тела представляет собой наложение двух периодических движений с равными, вообще говоря, периодами: если частоты ю» н сот несоизмеримы, то тело никогда не возвращается к прогщенному состоянию вижения.
Величины частот ю и ю зависят от д г 0 начальных условий с. В. Оператор инерции. Перейдем теперь к количественной теории и нведем следующие обоз- ваа с р м квествчссвма Наисяия. Пуетв 1С вЂ” НЕПОдВИжНая, К вЂ” ВращаЮ- м~~ж точен тзщаяся вместе с телом вокруг точки О системакоординат: в ней тело покоится. Каждый вектор в пространстве К переводится в пространство (с операторол~ В. Соответствующие векторы пространств К и й мы будем обозначать одинаковыми буквами: прописными для К, строчными для 1с. Так, например (рис. И4): ") Легко доказываются следующие утверждения. 1 Пусть 6, -, (»: М К вЂ” функции на ориентированном многообРазии ЗУ.
РассмотРим ыножество У, заданное УРавнениамп ) = со ° - .,!» = с». предположим, что градиенты й,..., 1» в каждой точгсе У линейно независимы. Тогда У ориентируемо. 2. Прямое пронаведенпе ориентируемых многообразвй ориентируемо. 3. Касательное расслоение Т БО(З) есть прямое произведение Кз Х Х 80(3). Многообразие, касательное расслоение которого является прямым произведением, называется яараллслилрамсьз. Группа ЗО(З) (как и всякая группа Ли) параллелнзуема. 4. Параллелизуемое многообразие орвептнруемо. Из 1 — 4 вытеъьет ориентируемость ЗО(З), ТЯО(3) и ус. 122 Гл. г.
твиедое телО а ~ й — радиус-вектор точки в пространстве, Д 1== к — ее же радиус-вектор в теле, о = В(у. н = 1) 1= й — веитор скорости точки в пространстве, Г ~ К вЂ” тот же вектор в теле, и =- ВР, е 1== й — угловая скорость в пространстве, Я е= К вЂ” угловая скорость в теле, е = ВЯ, гп ~= Ь вЂ” кинетический момент в пространстве, М ~= К вЂ” кинетический момент в теле, пг = ВМ. Так как оператор В: К вЂ” й сохраняет петрину и ориентацию, он сохраняет скалярные и векторные произведения.
По определению угловой скорости ($26) и=[е, о]. По определению кинетического момента точки массы т отно- сительно О, гп = (д, то) = т (д, [е, д) ) . Итак, М= а, [Я, ОП. Возникает линейный оператор, переводящий Я в М: А: К -+ К, АЯ = М. Этот оператор зависит еще от точки тела (9) и ее массы (т). Л е м м а. Оператор А си метрический. Доказательство. При любых Х1==К,Ъ ~Кввиду соотношения ((а, Ь), с) = ((с, а), Ь) имеем (АХ, Х)=т([0, [Х, ОЦ, Ъ')=т([1', Щ (.Х, К), а последнее выражение симметрично относительно Х и Р, ч. т.
д Подставляя вместо .Х и л" вектор угловой скорости Я и замечая, что (Я, 1г)г = Угг = иг, получаем С л е д с т в и е. Кинетическая энергия точки тела есть квадратичная форма относительно вектора угловой скорости Я, а именно: т = — (АЯ, Я) = — (М, Я). 1 1 Симметрический оператор А называется оператором (или тензором) инерции точки (г. Если тело состоит из многих точек (г; с массами т;, то, суммируя, получаем: Т е о р е м а Кинетический момент М твердого тела отнош тельно неподвиэгпой точки О линейно зависит от угловой скорости Я, т. е. существует линейный оператор А: К- К, АЯ = М. Оператор А симметричен. 123 8 38.
ТВЕРДОЕ ТЕЛО Кинетическая энергия тела есть квадратичная форма относительно умовой скорости Я, Т= е (Атг, 82)= — (М* Щ. Д о и а з а т е л ь с т в о. По определеиию, кияетичесяий момент тела равен сумме момеятов его точек: М=~Мг=~А,.Й=АЯ, где А =~~~~~АО Тая как оператор инерции каждой точки А, по лемме симметрический, оператор А также симметрический.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
