В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для кияетичесяой энергии, по определению, получаем Т = ~~ Т~ = ~~~ — (Мо 88) = — (М, ٠— — (Ай, й), ч т. д 1 1 Г. Оси инерции. Как всякий симметрический оператор, А имеет три взаимно ортогояальяых собственных яаправлеяия. Пусть е,„ез, е, ~= К вЂ” их орты, Х„1м 18 — собствеяяые числа.
В базисе е;- оператор инерции и кияетичесяая зяергия имеют особенно простой вид: М; =1;йи 2(г г+ г г+ Оси е~ яазываются осями инерции тела в точке О. Конечно, если яе все числа 1„1м Х различяы, то оси инерции е; определены неоднозначно. Выясним подробнее смысл собствеяных чисел 1» 18, 18. Т е о р е м а. 11ри вращении твердого тела, закрепленного в точке О, с угловой скоростью 0 = 8ге (ьг = ~ 9 ~) вокруг оси е кинетическая энергия равна Т= — 1,08, где 1,= ~ т;г,', и т'~ означает расстояние гчй точки до оси е (рис.
И5). $ %"1 Доя азат ельство. По определению, Т= — тр4, ио ~ и, ( = Г)гн позтому Т = —. (~ т,г;)Пг, ч. т. д. Число 1, зависит от направления е оси вращения ьг в теле. О п р е д е л е я и е. 1, называется моментом инерции тела относительно оси е: 1, = ~ч~~ т,г;. Сравнивая два получеяяых выражения для Т, получаем Гл. б. ТВВРдое телО Е л е д с т в и е. Собственные числа 11 оператора инерции А суть моменты инерции тела относительно осей инерции ее.
Д. Эллипсоид инерции. Чтобы изучить зависимость момента инерции 1, от направления осн е в теле, рассмотрим векторы е/~ГТ„где орт е пробегает единичную сферу. Рле. 11б. Зллнгеолп лнесцю~ Ряс. Мб. Кннегнчееная анергня гела, нраеныон~егоея аонгуг оен Т е о р ем а. Векторы еl)~1, образуют эллипсоид в К. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если 11 =- е))~Т„, то квадратичная 1 форма Т= — (АП, 1)) равна 1/2. Поэтому (П) есть множество уровня положительно определенной квадратичной формы, т. е. эллипсоид, ч. т. д. й1ожно сказать, что эллипсоид этот составлен из векторов угловой скорости Й, для которых кинетическая энергия равна 1/2. О п р е дел ен и е. Эллипсоид (11: (А(аы П) = 1) называется эллипсоидом инерции тела в точке О (рис.
116). В осях инерции ее его уравнение имеет вид Щ+ Ха(гаа+ Щ= 1. Итак, главныс оси эллипсвида инерции направлены по осям инерции, а их длины обратно пропорциональны У'ее. 3 а м е ч а н и е. Если тело вытянуто вдоль какой-нибудь оси, то момент инерции относительно этой оси мал, следовательно, эллипсоид инерции тоже вытянут вдоль атой оси, так что эллипсоид инерции повторяет некоторые черты тела. Если тело имеет проходящую через О ось сим~о метрии порядка 1с (так что оно совмещается с собой при повороте вокруг нее на 2п%), то н аллипсоид инерции имеет такую же симметрию Рне.
117. Эллапеолянневплл Раа- ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОН ОСН. НО у ТЕЕХОСНЫХ ЗЛЛИПСОН- '1 „,"„""„'члг дов не бывает осей симметрии порядка й г 2. Поэтому всякая ось симметрии тела порядка й г 2 есть ось вращения эллипсоида инерции н, следовательно, его главная ось. П р в м е р. Эллвпсовд инерции трех точек массы ш л вершинах рааяостороввего треугольяпка отвосвтельно центра О есть зчлппсовл нрашеавя вокруг нормали к плоскости треугольввка (ряс.
117). $28. ТВЕРДОЕ ТЕЛО 125 Если же имеется несколько таких осей, то эллипсоид инерции— шар, и любая ось — главная. 3 а д а ч а. Провести через центр куба прв»сую тап, чтобы сумма квадратов ее расстояний от вершин куба была: а) наибольшей, б) наименьшей. Заметим теперь, что эллипсоид инерции (или оператор инерции, или моменты инерции Тю 12, Тэ) полностью определяет вращательные свойства нашего тела: если мы рассмотрим два тела с одинаковыми эллипсоидами инерции, то при одинаковых начальных условипх они будут двига- Ар с ться одинаково (так как у них одинаковые фун- «1 иции Лагран»с«а Т = Т). Итак, про странпиво всех твердых тел с точки зрения динамики вращения вокруг О трехмерно, из скольких бы точек тела ни состояли.
й(ы можем даже рассматривать «сплошное твердое тело плотности р®)», имея в виду предел при Л(г — О последовательности тел из конечного числа точек 9« с массами р(9«)Л9« (рис. 118) или что сводится к тому же, любое тело с моментами инерции Т.=Яра)г«Е) Е, где г — расстояние от 9 до оси е. П р и и е р. Найти сев в мсмевп«инерции однородной плоской пластвнкв ) х ) ~~ а, ) у ) ~( Ь, » = О ствссвтельно О. Р е ш е в в е. Так кав ил»ставка имеет трв плоскости симметрии, эллипсоид внерцвп имеет те же плоскоств симметрии в, эпачпт, сев внерцвк х, у, э. Далее, а Ь пса» 1 = х«р эх Ву = —.
х— 3 точно так же шЬ« 1 э 3 очевидно, 1, =- 1„+ 1э. 3 а д э ч а. Доказать, что моменты инерции любого тела удовлетворяют вераьенстзам треугольника 1» «ь 1«+ 1м 1« ~ 1« + 1« 1« ~ 1«+ 1» причем равенство может иметь место только двя плоского тела. 3 а д в ч а.
Найти ссп в моменты инерция одвородвогс эллвпсоидэ кассы ж с полуосямн а, Ь, с относительно центра О. У к а э ан в е. Рассмотрите сначала шар. 3 а д а ч а. Доказать теорему Штейнера: Моменты инерции любого твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр инерции, связаны соотношением « =«»+т" ~ 126 ГЛ. Е.
ТВЕРДОЕ ТЕЛО -где т — масса тела, г — расстояние между осями, 1 — момент инерции относиглсльно оси, проходящей через центр инерции. Таким образом, момент инерции относительно оси, проходящей перев центр инерции, меньше момента инерции относительно любой параллельной оси. 3 а д а ч а. Найти оси и момент инерции однородного тетраэдра относительно его вершины. 3 а д а ч а. Нарисовать веитор кинетического момента ЕЕ для тела с заданным элливсоидом инерции, вршцэющегося с данной угловой скоростью 1).
Ответ. М имеет направление нормали к эллипсоиду инерции в точке ,на оси () (рис. 119). Рве. Сзо. ПсвелсВВЕ КОМЕВтов инЕР- ввв пря умеэъшеввв тела Рвс. МЭ. Угловая свс рость, эллипсоид авариии в вивстическса ковент 3 а д а ч а. От твердого тела, эанреплевиого в неподвижной точке О, отрезали кусок (рис. 120). Как изменятся главные моменты инерциит Оювевг.
Все три главных момента уменьшится. Укавание. Ср. 4 24. 3 а д а ч а. К твердому телу с моментами инерции 1 ) 1 ) Еэ добавили малую массу е в точке () = *,е1+ х е + хэе . Найти изменение 1 и е, с погрешностью О (е'). р еще ни е. центр инерции сместится на расстояние порядка е. Следоватваьно, моменты инерции старого тела относительно параллельных осей, проходищнх черев старый и новый центры инерции, различаются на величину порядка ег.
В то же время добавление массы меняет момент инерции относительно любой фиксированной оси на величину порядна е. Поэтому при вычислениях с погрешностью О (ее) мы можем пренебрегать смещением центра инерции. Итак, кинетическая энергия после добавления малой массы принимает вид 1 Т = Тэ+ 2 в(12, ())э+О (еэ), 1 где Т (ЕЯ ( 14)ат ( Еэ()~) — кинетическаЯ энеРгиЯ исхоДного тела. Ищем собственное число Е, (е) и собственный вектор е1 (е) оператора инерции в виде рядов Тейлора по е. Приравнивая коэффициенты при е в соотношении А (е) е1 (а) = 1 (е) е (е), находим с погрешностью О (е'): / Х1Х1 Х1ХЯ 11 (е) 11 + е (ха -(- хээ), ег (е) е1 + е ~~— Е ее + — еэ) . Иэ формулы для 11 (е) вгщно, что изменение главных моментов инерцив (в первом приближении по е) такое же, как если бы нн центр, ни оси инерции не менялись.
Формула для е1(е) показывает, как меняется направление 'д2У а за. углвнкния вилквл главных осей: блвжшппая болыоая полуось эллвпсовда инерции првбляжастся к добавляемой точке, а малая — удаляется от пэс. Далее, добавление малой массы ва одной вз главвых плоскостей эллппсовда инерции поворачввзет дзо осп, льчващвэ в этой плоскостп, в кс мепяег направление. третьей оси. Появлеввэ раавостей моментов инерции в знаменателе связано с тем, что у элляпсопда вращения главяыс оск ве определены.
Если эллппсоид впэрцвп блпзок к эллвпсодщу вращения (скажом, 1 = 1,), то добавлсквэ. малой массы может сильно повернуть главные осв е в с, в йзтявутой иа ввх плоскости. й 29. Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо Здесь исследуется двкжсввс твердого тела вокруг кеподвпжпой точки в отсутствие впэшяпх свл в том самым дввжеввс свободного твердого тела. Движение оказывается дэухчзстотяым. А. Уравнение Эйлера. Рассьдотриьд движение твердого теле вокруг неподвижной точки О. Пусть М вЂ” вектор кинетического момента тела относительно О в теле, »1 — вектор угловой скорости в теле, А — оператор инерции (АЯ = М); векторы П, М принадлежат подвижной системе координат К (5 26).
Вектор кинетического момента тела относительно О в пространстве ап = = ВЛХ сохраняется при движении (5 28, Б). Значит, вектор ЛХ в теле (ЗХ б= К) должен двигаться так, чтобы вектор зн = ВдЗХ(д) при изменении д не менялся. Т е о р е и а. Имеет место соотношение — =(М, зг]. Доказательство. Применим формулу (5) 5 26 для скорости движения относительно неподвижного пространства дс «точки» М (1) б= К. Получаем ам =ВЗХ+(ы, ан]=В(ЗХ+ (зг, М]). Но так как момент относительно пространства т сохраняется (ам=О), то М+]з«,ЛХ] =О, ч.т.д. Соотнопдение (1) иавывается уравнением Эйлера. Так как М = = АЯ, (1) можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно М (или относительно й). Если й=йдед+ Изез+ йзез ЗХ=Мдед+ М,ез+ Мзе»1 разложения й и М по осям инерции вО, то ЛХд =- Хдйд и (д) при- нимает вид системы трех уравнений бМ, дДМ» НМ» и =адМ»М" —,д =а.М.М' —,д =а»МдМ» (2) 1з — 1» 1» 1д 1д 1з где а = —, а = —, а = — илиже видсистемы трех 1»1» ' з 1»1д ' з 1д1» ГЛ.
З. ТВЕРДОЕ ТЕЛО уравнений для трех компонент угловой скорости Вг ва1 1а Вг = (1З 11) ~абазе сеее сзез 1,— =(1, — 1з) азиз. Вг 3 а м е ч а н и е. Если на тело действуют внешние силы, сумма моментов которых относительно О равна н в неподвижной системе координат н Л" в подвижной (ы = ВХ), то ы уравнение Эйлера принимает вид — =(М, Й]+ Х. Б. Исследоваиве решений уравнения Эйлера. Л е м м а. Уравнение Эйлера (2) имеет два квадратичных лзервмх интеграла 2Е= —,+ —,+ Л1 =М,'+И,+М',. и,' и,' и', з 1а Д о к а з а т е л ь с т в о. Е сохраннется по закону сохранения энергии, а Л1з — по закону сохранения момента т, так как тз = Мз = Л1з. Лемма доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
