А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 18
Текст из файла (страница 18)
о=а (38) пг Р (х) = аох+ ао, аь ао~Х, и Н вЂ” высота многочлена Р(х), то из неравенства (36) сле- дует, что если Р(а) 4=0, то выполняется неравенство (Р(а)() ) )сч 1" — 1 Лналогичное утверждение выполняется и для многочлена Р(х) любой степени )г. Т е о р е м а 10. Пусть а — алгебраическое число степени п, пав!. Тогда существует постоянная с>0, зависящая только от числа а, такая, что для любого многочлена Р(х) степени (г, )о~1, с целыми рациональными коэффициентами и высоты Н либо Р(а) =О, либо выполняется неравенство ( Р (а) ( )~— (36) Ввиду равенства (37) получаем оценки: (Р(а) )~< Н(! + (аг! + ... + )а! !») < ~Н(1+ !а,!)» Н(1 + ~а!)", ! = 2,...,и.
Из неравенств (38) и (39) находим, что (г" (1+ ~а~)" !)»Н )Р(а)) ) 1. (39) Полагая г» (! 1 ! и !)л-» $4. Трансцендентность числа е Покажем сначала, что число е иррационально, т. е. не является алгебраическим числом первой степени. Это доказательство весьма просто. Оно было приведено еще в опубликованном в 1815 г. курсе анализа Ш. Фурье (1768 †18). Теорем а 11.
Число е иррационально. Доказательство. Из представления числа е в виде ряда М счедует, что для каждого натурального и выполняется равенство и! е=- А„+ (40) л+! где Ал=.— и! ~' еиУ, г„— -- (и+1)! ~ — >О. яъ ! ъ.п ! ы " » ы » —.о »=ле! (41) Оценивая величину г„, получим г„=! 1- + ! ! + п+ 2 (и+ 2) (и+ 3) ...<1+ — + — + ...=2. ! ! 2 2» (42) Предположим, что число е рационально.
Положим п равным знаменАтелю числа е. Тогда и!е — целое число. Но это 1!а получаем неравенство (36). Теорема доказана. Теорема Лиувилля была существенно усилена. Она положила начало развитию большого и очень важного раздела теории чисел — теории приближения алгебраических чисел. противоречит равенству (40), поскольку из условий (4Ц и неравенства (42) следует, что А„ — целое число, а 0< тл < <1, л-!-1 л+1 Полученное противоречие доказывает теорему 1!. Докажем теперь более общее утверждение, установленное и 1840 г. Ж.
Лпувиллем. Т е о р е и а 12. Число е не является квадратичной иррациональностью. До к аз а тел ьство. Допустим противное. Тогда имеет место равенство ае'+Ье+с=О, а, Ь, сенХ, (43) где не все числа а, Ь, и с равны нулю. Ввиду теоремы 11 должгы выполняться условия ачьО, с~О. Можно считать, что а>0. Из равенства (43) следует, что ае+Ь+се-'=О, а>0, счьО. (44~ Так как е — ' — — ч' а! с=о то В ( ) Рп п. е в+1 где ( !)ь-л-т В„ = л! '~ ' ' еи У„ р„ = (и + 1)! я=с+1 Число р„есть сумма знакочередующего ряда: р„1 — ' + +2 ( +г)(+З) 1 л+2 (л+2) (л+3) / л+2 Итак, выполняются неравенства О<р„< 1.
(46) Умножив равенство (44) на н! и воспользовавшись равенствами (45) н (40), получим 0 = н! (ае + Ь + се — ') = ст„ + ( — 1)ли с сл = аА„ + Ьп! + сВ„ + (47) т14 с монотонно убывающими по абсолютной величине членами. Следовательно, по прнзнаку. сходимостн Лейбница имеем, что рл<1 и Выберем число п удовлетворяющим условиям п>2а+ (с(, ( — 1)"+'с>0. (48) Тогда из неравенств (41), (42), (46) и (48) находим, что аг,+ ( — 1) "-"'ср,>О (49) аг„+ ( — !)"+'с а„йа+ ! с ) и+1 и+1 (50) Поскольку аА„+ Ьп(+ сВ„ Повторяя эту операцию последовательно т+! раз, из равснст- ва (5!) получим, что к ~ ?(1) е — 'й = — г'(0) — г'(х) е — ', о (52) где многочлен й'(х) имеет вид Е(х) =)(х) +!'(х) + ...
+)гл(х). Равенство (52) называется тождеством Эрмита. (53) !!Ь есть целое число, то пз неравенств (49) п (50) следует, что правая часть равенства (47) не является целым числом, Но это противоречит тому, что опа равна нулю. Таким образом, получено противоречие, доказывающее теорему 12. За м е ч а н ие. Доказательство теоремы 1! осяовано на том, что число е допускает приближение рациональными числами р/7 более высокого порядка ~р(д), чем 11д, т.
е. тако~о, что р(д)Ч- 0 при д -сс, Для доказательства трансцендеитносги числа е необходимо показать, что е не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами любой степени. Попытки доказать это элементарнымн рассуждениями, подобнымп приведенным выше, к успеху не привели. Проблема была решена в !8?3 г. Ш. Эрмитом с помощью созданного им аналитического метода. Доказательство трансцендентности числа е основывается на одном интегральном равенстве, называемом тождеством Эрмпта.
Пусть )(х) — некоторый многочлен с действительными коэффициентами степени ъ. Интегрируя по частям, приходим к ра- венству Из равенства (52) следует, что для каждого целогр числа й, (о~ О, выполняется равенство ~ 7(1) е — с(1 = Е(О) — 'Е(й), о или равенство Р(0) е« вЂ” Р('и) = е«) 7(~)е 'Ж. о (54) Докажем одно простое вспомогательное предложение.
Лемма 7. Если д(х)е=У1х1, то есе коэффициенты гнногочлена д<«'(х), й~ 1, делятся на н1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду линейности операции дифференцирования утверждение леммы достаточно доказать для много- членов х', з~О.
В этом случае оно следует из равенств О, если й)з, (х')~«) =- ь1 ( е ) х'-", если 1 (/г<а, так как ( 1 — целое число. (й) Теорема 13. Число е трансцендентно. Доказательство. Допустим противное, что е — алгебраическое число степени т. Тогда выполняется равенство а е +...+а,е+ао=О, аоФО, . (55) где ао, аь ..., а„— целые рациональные числа.
Положим в тождестве Эрмпта ((х) = 1 х" ' ((х — 1) (х — т))", (и — ~1~ где н — достаточно большое натуральное число. Сложим равенства (54) для значений я=О, 1,...,т, умножив их соответственно на а,. Так как выполняется равенство (55], то в результате получаем, что Ж ш « (56) — а«Р (й) = ~" а«е" ~ 7' (1) е — ' д(. «=о «=о о (57) ыв Покажем, что при некотором достаточно большом п левая часть равенства (57) будет отличным от нуля целым числом, а его правая часть по абсолютной величине меньше 1.
Тогда это равенство будет противоречиво, и теорема будет доказана. Так как многочлен 1'(х) (56) имеет число 0 корнем кратности и — 1, а числа 1, ..., т — корнями кратности п, то )'")(0) =О, 1»»0, 1, ...,п — 2, ~(л ')(О) = ( — 1)тл(т()» (58) (59)( 1(!)(й) =О, 1=0, 1, ...,и — 1, 7(=1,...,(п. (60) Пс лемме 7 коэффициенты производной порядка 1 много- члена хл-'((х — 1)" (х — т))л есть целые числа, делящиеся на 11. Следовательно, все производные )(1)(х) при 1~п имеют целые коэффициенты, делящиеся на число п. Поэтому нз равенств (53), (58) и (59) находим, что (т+1)л — 1 Р(0) = — ), 7(!)(О) == ( — 1) л(т1)л+ пА,АенУ, (61) !.=л — ! 1=» Пусть теперь число и удовлетворяет условиям (п, т!) =1, п>)ао!. (63) Тогда из равенств (61) п (62) имеем, что все слагаемые в левой части равенства (57) являются целыми числами, причем аоЕ(0) не делится на п, а все остальные слагаемые а»Р(й) делятся на п.
Отсюда следует, что левая часть равенства (57) есть отличное от нуля целое число и, значит, ~ ) а» Р ())) ~ > 1. »=о (64). Оценим теперь правую часть равенства (57). На отрезке 0<х<т каждый сомножитель х — 1(, 0<й<т, входящий в произведение (56), не превып)ает по модулю числа т. Следовательно, справедлива оценка т(т+1)л 1 (~(х))( т, 0». х<т, а тогда (» -', 1) л ~~ а е» ~~(1) е-1 Л ~ < э ) а») е» ~ е — ! Ш ( (л — 1)1 л' (( »=о о »=о о (т+1) л е У !а»)=со (л — 1)1 Л ) ' ' (л — ))1 »=о (65г где постоянные со и с не зависят от числа п.
111 а из равенств (60) аналогично имеем, что (т+1)л-1 Р(й) = ~,' )(л(й) =- пВ», В»ен Х, й=-1, ..., т. (62), Из равенства (57), условий (63) н неравенств (64) и (65) получаем, что 1<~~;Р'(й)~<; (66) м=а Правая часть неравенства (66) стремится к нулю при и- оо. Выберем число и так, чтобы выполнялись условия (63) и неравенство Тогда неравенство (66) будет противоречиво, н теорема доказана. Существует много доказательств трансцендентности числа е. Большинство нз них основывается на методе Эрмита, а друг от дрчга они отличаются лишь в деталях.
3 а м е ч а и и е. Рассмотрим равенство (54). Из равенств (61) и (62) имеем, что г'(х), Й=О, 1, ..., т, — являются целыми числами. Оценивая правую часть равенства (54) аналогично тому, как была оценена правая часть равенства (57), получим, что она стремится к нулю при и- со. Отсюда следует, что дроби Г (ь) д (о) ' при каждом и являются совместными приближениями к степеням ех, я=1, ..., пг. Так называют рациональные приближения к нескольким числам, имеющие одинаковые знаменатели.
Это показывает, по основой рассматриваемого метода является построение с помоьцью тождества Эрмпта последовательности совместных приближений к степеням числа е. 5 5. Трансцендентность числа и Попытки решить проблему квадратуры коуга привлекали внимание к исследованию арифметической природы числа и очень давно. Важным шагом в этом направлении был результат И. Ламберта (1728 — 1777), который в !766 г. доказал иррациональность числа и с помощью разложения в цепную дробь функции 1дх.
Он доказал иррациональность чисел 1дх при любом рациональном х~О, откуда и следовало, что и есть иррациональное число. Ниже приводится доказательство Эрмита иррациональности числа и, построенное на идее, с помощью которой им была доказана трансцендентность числа е. Теорем а 14. Число л иррационально. Доказательство. Пусть 1(х) — произвольный много- член с действвтельнымн коэффициентами. Положим Р(х) =1(х) — (»(х)+~и>(х) — ~м>(х) + ..., Очевидно, что Р(х) — многочлен, так как рь>(х) =О, начиная с. некоторого и, Имеем — (Р'(х) в1пх — Р(х)соах) =- (Р" (х) + Р(х)) в1пх = 7'(х) в)пх й: Интегрируя, получаем равенство ( 7(х) в1пх>(х.= Р(л) + Р (0), о (67)*. представляющее собой аналог тождества Эрмита.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
