А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Из этих формул следует, что а„е=Х и а„~ О. Пусть теперь (41) и = гч!"'>, где (г, т) = 1. Так как (а, т) =1, то ввиду условия (39) имеем а„— и„, и...и,„ где и =: р!'... р!! (42) сходится к Е(з) в облисти Кев>0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства (33), в частности, на.ходим (43) Разложим функцию Е(в) в ряд Тейлора в точке в=2: Е(з) =- ~ (з — 2)ь. ъ ! Г! !(2) (44) — каноническое представление числа и. Из равенства (41) теперь получаем, что для каждого индекса ! показатель й! делится на !р(т) и, значит, Д„,)я!, что ввиду (37) дает и„,ч! > 1 и а > 1. Утверждение о почленной дифференцируемости ряда (32) в полуплоскости Кез>1+6, 6>О, следует по теореме Вейсрштрасса нз равномерной сходи- мости ряда (32) в этой области.
Ряд же сходится равномерно, поскольку в этой полуплоскости справедливо неравенство Ф1- — '-' и ряд (40) сходится при а=1+6. Так как число 6 можно взять произвольно малым, то равенство (ЗЗ) имеет место в об.ласти Кс в>1. Лемма 5 доказана полностью. Лемма 6. Если функция Е(з) (31) не имеет особых точек .в области Кез>0, то ряд Предположим, что Г(в) — аналитическая функция в области Кев>0.
Тогда радиус сходимости ряда (44) не меньше, чем 2. Пусть а — действительное число нз полуинтервала 0<п ( 1. Так как )о — 2~ <2, то, пользуясь разложениями (44) и (43), находим ЪГ1 (и — 2)ю, ю % ! )п„()па)" ~Р ~~ (2 — и) "()и и) "ап р(а) = у ью =! Члены последнего двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, н в нем можно поменять порядок суммирования. Имеем р( ) ~Ч пп т~ч (2 — п)~((пп)~ 'Д ап )и — анпп ппЮ пю Л ! м и=! Следовательно, функция с (в) прсдставнма рядом (42) в каждой точке действительной полупрямой з>0.
Для комплексных в из области Вез>6>0 имеем неравенство из которого ввиду сходимости ряда (40) при о=б по теореме Вейерштрасса следует, что сумма ряда (42) есть аналитическая функция в области Кез>6. Ввиду единственности аналитического продолжения заключаем, что равенство (32) имеет мссто в области Кев>6. Это доказывает лемму б, поскольку положительное число 6 может быть взято сколь угодно малым. Л е м м а 7. Если )( — неглавный характер, то Е(1, Х)ФО.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует неглавный характер )( такой, что Е(1, )() =О. В этом случае из замечания, сделанного перед леммой 5, следует, что функция У(в) является аналитической в полуплоскостн Кез>0. Поэтому ввиду леммы б ряд (42) сходится в области Кев>0 и сумма его равна г(в). Рассмотрим точку ею=1/Ч!(т), лежащую в области Рсев>0.
Из доказанного выше получаем, что ряд (45) сходится, причем из-за неравенства а,ъО, члены его иеотрицательиы. Пусть й — произвольное натуральное число и г=п2я+1. Тогда (г, п2) =1 и для п=гч( 1 по лемме 5 имеем а,> 1. Следовательно, для таких п а„1 1 1 1 л" л" гэ!»5155 г »5»+1' Отсюда и из сходимости ряда (45) следует, что должен схо- диться ряд 1 Х т/5+1 Но это утверждение неверно. Полученное противоречие завершает доказательство леммы 7. 1'(5, Х) По следствию 2 из леммы 4 функция ' является Ь(5 Х) аналитической в области Кез>1. Для дальнейшего необходимо вреде~веление этой функции в виде ряда, аналогнчногс ряду (42) (такие ряды называются рядами Днрихле).
Лемма 8. Для каждого характера Х(п) в области Кез>1 справедливо равенство Ь (5, Х) ~ Л(л]Х(л) (46)5 Ь(5 Х)»'и л' »=2 где 1пр, если п= р5, О, если плер", — функция, использовавшаяся в $1 гл. 2. Доказательство. Так как для в=о+И имеет место неравенство Л(л)Х(л) ( !и л ! (<— то ряд, стоящий в правой части равенства (46), абсолютно сходится в области а>1.
Умножим этот ряд на ряд, определяющий Ь(з, Х). Получим (2.( л(ь) х(ь) гч х( ) 2гч л(ь) х(ь) Э5 5Ь ! »5 э ,) Ь5 2=2 »=1 »=2 — (~~) Л (Я)) = ~ = — ь, (5, К). »=2 Ь!» »=2 Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства (5) из гл: 2, в последнее — ' по следствию из леммы 3.
Лемма 8 доказана. $5. Доказательство теоремы Дирихле Рассмотрим равенство (48), справедливое по лемме 8 в об.части Кез>1. Поскольку Л(п) =О для всех и, не являюшихся степенями простых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (46) имеют вид 1п р Х(ре) р21 аде р — простое и й — натуральное числа. Ряд (4б) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойного ряда*, н, значит, в области Кез>! й(2Х)«11пр7(Р)««)1пРХ(Р)(4 7.(., Х) С'.. р Р 2=2 Второе слагаемое в правой части равенства (47) равномер.но ограничено по з в области Кез)3/4, Действительно, если к=о+((, ос«3/4, то ~.(~1п р~~ — = ~~ ~"Р (1 р — о)-2( р 2=2 р 2=2 р (3~ — '"„' < 3'()'ф(3~~)' а=2 следовательно, при з — «1+О для каждого характера х имеет место равенство Х' (п Р х(р) 7-'(2, х) + О (1) (48) 7-(2 х) р Здесь и в дальнейшем з — «!+О обозначает, что з стремится к ! по действительной оси справа.
Пусть о — некоторое натуральное число, удовлетворяюшее сравнению о(=1(шодпг). (49) Умножим обе части равенства (48) на Х(о) и просуммнруем получившиеся равенства по всем числовым характерам Х. Тогда получим ,, ~~~~ Х(п)Х(р)) = — ~) Х(о) 'Х +0(1), (50) ю Смл Привалов И. И. Ввелеике в теорию функций комплексного аеременкого.
Мл Наука, 1977, гл. 1. 88 Если простое число р — 1(щоб о!), то ро = 1 (глоб т) Х(о) Х(р) =- х Если же рчдр!(щоб т), то реме удовлетворяет сравнению и по теореме 3 Х(ро) ††- р(т), х Р— рочь1(пнх1т), и по той же тео- Х(о) Х(р) =- ~ Х(ро) =- О, х х Таким образом, равенство (50) можно переписать в виде — — — ~~) Х(о) 'х +О(1). (51) ч( ) ).(5 х) х р )С«од 51) (53) — — — + 0(1). 1П р Хо(о) 1 р' Ч(т) 5 — 1 р р —. По«од о«) Так как число о удовлетворяет сравнению (49), то (о, т) '=1 и Хо(о) =1. Итак, при з — «1+О Х '"'=- ' — — — + О(1). (54~ р ц>(ж) 5 — 1 р р — -Ко«од рп Правая часть равенства (54) при з- 1+О имеет бесконечный предел.
Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечное множество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел, удовлетворяющих сравнению р= — 1(щоб т). Теорема Дирихле доказана. По леммам 3 и 7 для неглавного характера Х функция )-' ( 5 Х ) является аналитической в точке з = 1 .
Поэтому для, )( х) таких характеров при з — «-1+О имеем ( 'х) -- 0(1) (52) Х(5, )') По следствию 1 леммы 4 функция Е(з, Х,) имеет в точке 5=1 полюс первого порядка. Значит, при 5-«-1+О б'(, хо) - — — + 0(1). Х(5, ",(о] 5 — 1 Ввиду равенств (52) и (53) из равенства (51) получаем, что ЗАМЕЧАНИЯ В 1775 г. Л.
Эйлер опубликовал аналитическое доказательство бесконечности множества простых чисел в прогрессиях вида 4п~1 (Ец!ег 1.. Орега огпп1а, зег. 1, ч. 4, 146 — 162). Точнее, он доказал расходимость двух рядов 1 1 1 1 1 1 — + — + — +, — + — + — + ..., (55) 3 13 17 3 7 11 члены которых имеют вид 1/р, где в первом случае простые числа р берутся из прогрессии 4п+1, а во втором — из прогрессии 4п — 1. Осознавая справедливость общего утверждения для прогрессий вида тл+1, он утверждал, что расходится ряд с членами 1/р, где р пробегает простые числа из прогрессии 100п+ 1. Во втором параграфе этой главы по существу излагаются рассуждения Эйлера. Необходимо только отметить, что Эйлер оперировал не функциями, а рядами, соответствующими значениям Л-функций в точке з — 1.
Вместо функции Ео(з) он рассматривал гармонический ряд и, не доказывая, что 7.!(1)ФО,. пользовался точным значением суммы ряда 7.,(1) =1 3 3 7 9 равным и/4. Это равенство установил еще Г. В. Лейбниц (1646 †!6). Доказательство утверждения о рядах (55) имеет много общего с эйлеровским доказательством бесконечности множества простых чисел. А доказательство, предложенное Дирихле в общем случае, является естественным развитием этих рассуждений Эйлера. Нужно отметить, что Дирихле, по-видимому, не знал указанной выше работы Эйлера и в своей статье ссылался на доказательство бесконечности множества простых чисел, содержавшееся в знаменитой кни~е Эйлера «Введение в анализ бесконечных» (т. 1, гл. ХУ).
В 1837 г. вышли две работы Дирнхле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Ови содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство проводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые замечания о том, как можно доказать утверждение 7.(1, 7)~0 для неглавных характеров т в общем случае (именно это место в рассуждениях представило наибольшие трудности для обобщения). В 1839 г. Дирихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. Изложение содержания работ Дирихле можно найти в книге Г. П. Лежен-Дирихле «Лекции по теории чисел» (М.: ОНТИ, 1936) или, на более современном языке, в книгах Г. Хассе (13) и 3.
И. Боревича и И. Р. Шафаревича [1]. Заметим, что Дирихле проводил все рассуждения с рядами, определяющими Ь-функции, считая а действительным переменным. Его доказательство в части, связанной с установлением того, что Ь(1, х)ФО, принципиально отличается от использованного в этои главе. Основываясь на классической теории квадратичных форм, развитой Лагранжем и Гауссом, Дирихле установил в случае денствительного неглавного характера у (это наиболее сложный случай) явные формулы для Е(1, т), выражающие это число в конечном виде через некоторые характеристики совокупности всех бинарных квадратичных форм фиксированного дискрнминанта, связанного с характером т, Из этих формул и следовало, что ~(1, т) ~=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
