А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 8
Текст из файла (страница 8)
«-»-)-» 2л»,) «» а — 1« Тем самым равенство (37) в случае Ь ~ 1 доказано. Ряс. 2 )Рис. 1 В случае, когда Ь удовлетворяет неравенствам О ( Ь < 1, рассмотрим интеграл »» ь» У,(и) = — ~ — й, 2я» «« г, где контур Гг также состоит из отрезка с концами в точках а — 1п и а +ьп и дуги окружности С,:!! з ~ = р"'+ "' 1йез>а (рис.
2). Подынтегральная функция Ь»/з' является аналитической внутри контура Гв Поэтому по теореме Коши 1 г ь» — ~ — »2з = О 2я»' я« г, а+»« г ь' ~ ь' — — й = — — — дз. 2я» ~ ««2я» Р « — »« Если Ь таково, что О ( Ь < 1, то на контуре Сь выполняется неравенство 1Ьл~ — Ьке» „а Ь» Следовательно, »+!и у ь' „~ ~ ! ~ь'„'~ и, значит, » ь!» г ь' 1цп — ~ — дз = О. Это доказывает равенство (37) во втором случае. Лемма доказана. Пользуясь леммой 9, получим интегральное представление функции ы(х), определенной посредством (35). Л е м м а 10. При а > 1 и х ъ 2 выполняется равенство »е!:» (39) С и=! »=1 откуда следует, что интеграл (39) абсолютно сходится.
Положим в лсъ!ме 4 а»= 'т(п) и д(1) =1и (х/1). Тогда: А (1) = !р(1), и из равенства (10) находим » ~ Л(п)!п — =- !Р(х) 1п1 + 1 — Ж = в(х). (40) п ,! и<» ! По лемме 9 имеют место равенства — ~ » ) — де= ~ Р ' (41) 0 при и > х, а из леммы 2 следует, что ( — ' ) —.—..— ~~1~ ~Л(п) ~ — ") —. (42) л=! 49 где интегрирование ведется по прямой Вез = а. Интеграл (39) абсолютно сходится, Доказательство. Из леммы 2 получаем, что на прямой; Вез = а выполняется неравенство принимает модуль функции х'. Будем стремиться перенести контур интегрирования по возможности левее. Препятствием к этому будут служить особые точки подынтегральной функции.
Первой из них будет точка з = 1 — полюс функции ь(з), а следовательно, и функции ', Вычет в этой точке дает главный ь (т) член асим птотики для ьт (х) . Остальные особые точки лежат в нулях функции ь(з). Имеющаяся в нашем распоряжении информация о нулях, а именно то, что они отсутствуют на прямок Вез = 1, позволит получить асимптотическое равенство ьт(х) = х+ о(х). Улучшение остаточного члена о(х) связано с возможностью дальнейшего продвижения контура интегрирования влево, а значит, с получением информации о расположении нулей дзетафункции Римана левее прямой Вез = 1. Известно, что в критической полосе О «Вез «1 функция ~(з) имеет бесконечное множество нулей, а из функционального уравнения для ~(з) следует, что нули ее в критической полосе расположены симметрично относительно прямой Гтсз=1/2. Справедливость гипотезы Римана о том, что все нули дзета-функции в критической полосе лежат па прямой Вез=!12, дала бы возможность сдвинуть контур интегрирования достаточно близко к прямой Вез=1/2, что привело бы к наилучшей оценке остаточного члена (см.
дополнение 1). Обозначим Г(Т, т1), Т > О, О < т1 <1, ломануюлинию (рис.З), состоящую из отрезков прямых, соединяющих последовательно точки 1 — тоо, О, г, Е, П, 1+1(оо, т. е. точки 1 — тоо, 1 — (Т, т1 — тТ, т1 + тТ, 1 + (Т, 1+ тоо. Л е м м а 11, Пусть функция Ь(з) не обращается в нуль в замкнутом прямоугольнике т1 «о «1, — Т «1 «Т (О < т1 < 1,. Т > О) . Тогда выполняется равенство ьт(х) = х(1+ Й(х)), где (45) грт. 0 Доказательство. При П> Т обозначим Г(0, Т, т1) контур (рнс. 4), являющийся периметром многоугольника Р' с вершинами А, В, С, П, Е, т, 6, Н, т. е. вершинами 2 — 'Ы, 2+ тП„1+ тП, 1+ тТ, т1 + тТ, т1 — тТ, 1 — тТ, 1 — Ы, 2 — тП.
Как было доказано в $1, 2, функция Ь(з) не обращается в. нуль при о ) 1 и в полуплоскости а > О не имеет особых точек„ кроме простого полюса в точке з = 1 с вычетом 1. Поэтому где 1(з) — аналитическая функция при о > О, а ~' (з) 1 — (а — 1)3 Р (а) 1 Ь(з) 1+(з — 1)1(з) а — 1 Следовательно, функция — — в многоугольнике Р (5) Х~ ь (з) л2 имеет единственную особую точку з = 1 — полюс первого порядка с вычетом х, и по теореме Коши о вычетах — ( — — ) — Йз х. (46) г1 и,тж! 'Оценим интеграл (46) по отрезкам ВС и НЛ. По лемме 8 !+во — ~ — — ) — да~ с с — х'„ т+нт (47) 'Такая же оценка справедлива для интеграла по отрсзку НА.
Правая часть неравенства (47) стремится к нулю при У-~+ со. Для завершения доказательства леммы осталось в Рис. 3 'Рж. 4 равенстве (46) перейти к пределу при У-~+ со и для интеграла по прямой 2 — !оо, 2+ сао воспользоваться равенством (39), Перейдем непосредственно к доказательству асимптотического закона. В начале параграфа было выяснено, что для дох казательства аснмптотического соотношения и (х) — — до!и х статочно установить, что м(х) -х. Для этого же достаточно доказать, что в лемме 11 )г(х) = о(1). Поэтому оценим сверху ()((х) (. Путь интегрирования в интеграле (45) изображен на рис. 3. Пусть е>0 — произвольное число. Из оценки ~~< „и ( п)пе!11 с(1+и) (1+и)* ( !+н справедливой при 11(~3, следует, что можно выбрать число Т = Т(е), Т) 3, не зависящее от х, так, чтобы выполнялись неравенства 1-ь! а + в У, =- ~ — ~ ( — — ) — г)з~< — ~ ' " г(г'< — ', (48) ь+!т т ! — ст + О ! — 1а т и+ ~т уз.=~ .
~ ~ ) гь~т ! 1 М ! хп †!!(о < ' ! хо †!!(о 2я 2а — а ч — гт ~Ю и+тт и — !т 2л )п х х" — 'Нп = 2я!пх г(1 = — Мхп — '. Т вЂ” т Из полученных неравенств следует, что существует хп = = хп(М, Т, т)) такое, что для х хп выполняются неравенства 53 По лемме? функция ь(з) не имеет нулей на отрезке с концами в точках 1 — 1Т, 1+ 1Т. Поэтому можно выбрать число т) = т)(Т), 0<т) <1, так, чтобы в замкнутом прямоугольнике т)<о<1, — Т ~.:1~Т функция ~(з) не обращалась в нуль. функция непрерывна на ломаной Т)ЕЕгт (см, рис.
4). Следовательно, существует постоянная М=М(Т, т)), такая, что в каждой точке этой ломаной справедливо неравенство Поэтому получаем неравенства 7в ( 7в( 7в( 5 5 5 ' (50'в Из неравенств (48) — (50) имеем, что для х ) хв 1)7 (х) 1 ('71 + + '(в ( е х и поэтому !пп — =- 1, и (х) что завершает доказательство асимптотического закона распределения простых чисел. Асимптотический закон позволяет получить асимптотическую формулу и-то простого числа. Теорема2.
При и — со р„— п1п п, и=и(р)— 1и Рп или п = ~" (1+а„), 1п р„ где а -+-0 при и — ~- со. Следовательно, при п-+. сю п 1п п = —" (1 + а„) (1п р„— 1п1п р„+ 1п (1 + а,)) — р„. и рв Теорема доказана. Этот результат усиливает теорему, доказанную в $ 4 гл.
1 Точнее, чем функцией х7!пх, величина п(х) приближается функцией х Ж 1!х= ~ —, 1и! 2 (51) которая при х — 1-+ со эквивалентна х/1п х. Изложенный в этой главе метод позволяет оценить величину остаточного члена в аснмптотическом законе, т. е. п(х) — !!х. ЗА МЕЧА НИЯ Различные варианты доказательства асимптотического закона распределения простых чисел можно найти в книгах Г Да венпорта [51, А, Е. Ингама [71, А. А. Карацубы [81, К.
Прахара [9), К. Чандрасекхарана [16! и [171. где р„— и-е простое число. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из асимптотического закона следует, что при и оо Долгое время ие удавалось найти элементарное доказательство асимптотического закона (не использующее теорию функций комплексного переменного). В 1949 г. А. Сельберг и П. Эрдеш (р. 1913) получили такое доказательство. Элементарное доказательство асимптотического закона можно найти в книгах К. Прахара [9], Э. Траста [1О) и К. Чандрасекхарана [171. В классической работе Римана 1859 г. (единственной его работе по теории чисел) функция ь(з) была аналитически продолжена на всю комплексную плоскость и было выведено ее функциональное уравнение.
Оказалось при этом, что дзетафункция имеет единственную особую точку з = 1 — полюс первого порядка с вычетом 1. Риман показал, что распределение простых чисел тесно связано со свойствами дзета-функции как функции комплексного переменного з, особенно с распределением ее нулей в критической полосе О ~ а ~ 1. В той же работе Римам выдвинул ряд гипотез о нулях дзета-функции и среди них знаменитую гипотезу о том, что все нули ~(з), расположенные в критической полосе, лежат на прямой а = 1/2. К настоящему времени эта гипотеза не доказана.
Получены, однако, результаты, в некоторой степени подтверждающие ее справедливость. Доказано, что по крайней мере одна треть нулей ~(з) лежит на критической прямой а = 1/2. Кроме того, с использованием вычислений на ЭВМ было доказано, что первые два миллиона нулей дзета-функции расположены в точности на прямой а = 1/2.
Из аснмптотического закона распределения простых чисел следует, что п(х) = В х+ )г(х), )!(х) = о ( — ), х- + оо, ,1пх/ где функция !!х определена равенством (51). Функция 17(х) называется остаточным членом в асимптотическом законе. Следующей задачей после доказательства асимптотического закона является получение оценки сверху для !к'(х)~. Основным моментом при решении этой задачи является доказательство того, что дзета-функция не обращается в нуль на некотором множестве, лежащем левее прямой а = 1.
В 1899 г. Валле-Пуссен доказал, что ь(з) не обращается в нуль в области с~ 1п ( !11+ 2) с некоторой постоянной с~ > О и, исходя из этого, показал. что Я(х) =0(хе — '*«1 *), х-+ -~ оо. (52) зз Функция вида ев" >~ при 0 < 8 < 1 возрастает быстрее любой постоянной степени 1п х и медленнее любой степенной функции Поэтому из равенства (52) следует, что для любой постоянной а > 0 Р(х) — 0( ~, х-.+ оо. ~ (!пх)" / Результат Валле-Пуссена впоследствии неоднократно улучшался.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
