А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 6
Текст из файла (страница 6)
5) Пусть ̄— наименьшее общее кратное чисел 1, ..., и. Доказать, что существует постоянная с>0 такая, что М„<с". 6) Пусть п1) 2, а д„— наименьшее общее кратное чисел (ма)1 (ь!) оа Доказать, что существует постоянная с=с(т)>0 такая, что д„(с', п=1, 2, „.. 7) Доказать, что если 2") (1+и)', то среди чисел 1, 2, 3, ... ...,2" существует по крайней мере 1+1 простое число. Тем самым будет получено новое доказательство бесконечности множества простых чисел. 8) Доказать, что среди, чисел 1, 2,...,Ж существует не более 3 — У чисел, делящихся на квадрат простого числа, и, значит,. 4 1 не менее — й( чисел, не делящихся на квадрат простого числа. 4 Получить из этого утверждцния еще одно доказательство бесконечности множества простых чисел. 9) Доказать, что — = 1пп + 0(!).
~ей Р Р~Л !0) Установить неравенство Х вЂ” С 1п!пл+ с, !п р Р Р!а где с>0 — постоянная. 1!) Функция Эйлера ч~(и) определяется как количество чисел среди 1, 2, ...,и, взаимно простых с п. Пусть д1л и Аа — множество чисел а из совокупности 1, 2,...,и, удовлетворяющих условию (а, п) =Ы. Доказать, что ко.личество элементов в Аа равно ~р(и/с!), и вывести отсюда равенство <р (Й) — л, где суммирование ведется по всем натуральным числам а, де,лящим и. 12) Функция Мебиуса р(п) определяется следующим образом: 1х(1) =1, р(п) = ( — 1)", если п есть произведение г различных простых чисел, и р(п) =О, если л делится на квадрат простого числа. Доказать, что 1, если л.—...
1, р О, если л >!. 13) С помощью задач 11 и 12 доказать равенство ~р (п) = п ~~1 4м 14) С помощью задачи 13 установить равенство ц(п) = и П (! — — ) . РМ 15) Пусть а и Ь вЂ” взаимно простые натуральные числа. .Каждому числу г из совокупности 1, 2, З,...,аЬ поставлены в соответствие два остатка и и о от деления его со- ответственно на а и Ь. Доказать, что (г, аЬ) =1 тогда и только тогда, когда (и, а) = 1 и (о, Ь) = 1.
С помощью этого утверждения установить при (а, Ь) =1 равенство ф(аЬ) =«р(а)ср(Ь). 16) Доказать, что для простого числа р и натурального й выполняется равенство (р(рй) — рь ро†! 17) С помощью задач 15, 16 и основной теоремы арифметики доказать утверждение задачи !4. 18) Доказать, что т-~ее м ~ ~ а ~ ° Ф П<Лг з=1 19) Доказать, что существует постоянная с>0 такая, что между числами и и сп при любом п>1 содержится простое число.
гллвл г АСИМПТОТИЧЕСКИН ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ % 1. Дзета-функция Римана После работ Чебышева важнейшим стимулом для дальнейших исследований, связанных с распределением простых чисел, послужила работа Ь. Римана, опубликованная в 1859 г. Риман установил связь между распределением простых чисел и свойствами функции ~(з)- ~, —, » =! как функции комплексного переменного з, особенно с расположением ее нулей.
Функция ~(з) получила название дзета-функции Римана. Работа Римана и развитие теории целых функций Ж. Адамаром подготовили появление доказательства асимптотического закона распределения простых чисел. Те о р е м а (асимптотический закон распределения простых чисел). 1!гп я (х) =- 1. » )я» Эту теорему одновременно и независимо друг от друга доказали в !89б г. Ж. Адамар и Ш. Ж. де ла Валле-Пуссен. Для доказательства теоремы изучим некоторые свойства дзета-функции. Положим а=а+!1, где о=Лез н 1=1шз — действительная и мнимая части комплексной переменной в. Определим функцию х' для х>0 равенством х! = е'!»», Тогда и! пь пИ! пь еи!и'л ~ и! ! — пь Лен м а 1. Ряд (1) абсолютно сходится при о>1, определяемая им функция ~(з) является аналитической в области о>1, а равенство (1) можно почленно дифференцировать в атой области.
Д о к а з атель с т в о. Абсолютная сходи мость ряда (1) при в> 1 следует из равенства 1+1=-+ По признаку Вейерштрасса равномерной сходимости рядов прн 6>0 в области о>1+6 ряд (1) сходится равномерно. Поэтому по теореме Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области сумма ряда (1) является .аналитической, и равенство (1) можно почленно дифференцировать. Ввиду произвольности 6 последние утверждения справедливы в области о> !. Следствие.
В области Кеэь ц>1 выполняется равенство г()- — ~' '",". (2) Обозначим ! 1пр п н==р', Л(п) = ~ 0 при п~ р", где р — простое число. Функцию Чебышева ф(х), рассмотренную в гл. 1, можно представить в виде ф(х) =- ') Л(п). лил Л е м м а 2. Дзета-функция не имеет нулей в области Вез>1, и в этой области выполняется равенство 35 (5) ъз Л (н! (4) ь (э) н' лг а Доказательство. Так как ~Л(н) ~~1пп, то ряд (4) равномерно сходится в области Кез>1+6, 6>0, и по теореме Вейерштрасса представляет в этой области аналитическую функцию. Отсюда следует ввиду произвольности 6, что правая часть равенства (4) аналитична в области Кез>1. Поскольку ~+() )<ф то ряд (4) абсолютно сходится в области,о- 1.
Умножим ряд (4) на ряд (1). Это допустимо, так как оба ряда абсолютно сходятся в области о>1. Тогда получим, что ~Х 1) (Хлл(ь! ) Е ! (Х Л(я)) где в правой части во внутренней сумме суммирование распространяется на все натуральные значения я и 1, произведение которых равно п. Действительно, после перемножения рядов в левой части равенства будем иметь сумму всевозможных слагаемых вида л (ь) д (ь1 р ЬБ пп слагаемые с одинаковым значением (я=и и сумполучим правую часть рассматриваемого равен- Собирая все мируя по и, ства. Функция есть степень что Л(я) отлична от нуля только в случае, когда й простого числа. Поэтому для и= р ...
р;! имеем,. А(н) =: ~ ')' Л(р!) --= ~ т, !пр, ==- !пи. и=п Следовательно, !=! 2=! 2=! Пг-2 5 =- ~' 1'(п) и =1 абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство (7) и равенство (4) имеет место во всех точках области Еев>1„ где ь(в) тьО. Ввиду единственности аналитического продолжения получаем, что функция ~'(в)Д(в) аналитична в области Кев>!. Отсюда следует, что ~(в)ФО в области Кев>1, так как нулям функции ~(з) соответству!от полюсы функции ~'(в)/~(з). Лемма доказана.
Теперь представим функцию ~(в) в области о>1 в виде бесконечного произведения по простым числам. Для этого докажем вспомогательное предложение. Комплекснозначная функция Г(и) натурального аргумента п называется вполне мультипликативной, если 1(п) ч220 и г(ти) =)(т)1(и) при любых натуральных и! и и. Из равенства 1" (п.1) =1(п)1(1) следует, что 1(1) =1. Л е м и а 3. Пусть функция 1(п) вполне мультипликативна и ряд Д оказ а тельство.
Заметим прежде всего, что !)(и) (<1 при любом натуральном п>1. В противном случае при каждом гпеЫ (7(п'") ~ = )7(п) ~"'~1, что противоречит сходимости ряда (6). Поэтому при каждом простом р ряд ~ йр ) =- '~ 1 (р) абсолютно сходится, н его сумма как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна (1 — !(р)) — '. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что 7(п) есть вполне мультипликативная функция, получим 5(х) =- П (1 — 7(р)) ' — П ~~~ Г'(ро) — ') 7" (п!), р<р рср ! =о 1=1 где в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые 7(п!), что все простые делители п! не превосходят х.
Следовательно, в разности 5 — 5 (х) =- ), 7 (т!) !=! остаются те и только те слагаемые )(и!), для которых у числа и! имеется хотя бы один простой делитель р>х. Тогда !5 — 5(х)! < У |1(п)!, л>р и из абсолютной сходимости ряда (6) следует, что !!гп 5(х) = 5. р + Ф Это доказывает, что бесконечное произведение (7) сходится и выполняется утверждение леммы. ! Если в лемме 3 положить 7'(и) =- —,то получим тождеств' во, устанавливающее связь функции ",(в) с простыми числами.
Т о ж д е с т в о Э й л е р а. В области Ке з>1 справедливо следующее представление функции ~(з) в виде бесконечного произведения по всем простым числам: ь(з) = П(1 Р ) (8) р Отметим, что утверждение леммы 2 можно получить также, вычисляя логарифмическую производную от обеих частей тождества Эйлера. и — 1 = А (М) у (М) — ~~ А (п) (а(п + 1) — д (и)), так как А(0) =О. Далее, В(М)=А(М)д(М) — '~' А(п) ~ д'(1)Й= и=! И = А (М) д (М) — [ А (1) и' Я й, 1 поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале п~1<п+1. Следовательно, равенство (10) доказано при целых значениях х. Пусть теперь х)1 — произвольное число.
Положим М=[х); значит, М<.:х(М+1. Тогда А(х) =А (М), В(х) =В(М), а Л ) А(1)д'(1)Ф = А(М) (п(х) — д(М)) = =- А(х) п(х) — А(М) п(М). Следовательно, В (х) = В (М) = А (М) д (М) ~ А (1) и' (1) Ф + 1 + А (х) д(х) — А(М) д(М) = А(х) п(х) — ~ А(1) д'(1) й„ 1 Тем самым доказано, что равенство (10) верно и для нецелых значений х. Равенство (11) получается из равенства (10) переходом к пределу прн х- +оо. Лемма доказана. Пусть М вЂ” натуральное число. Положим в лемме 4 а„=1, и=1, 2, ..., д(х) =(х+М) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
