А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Эти улучшения достигаются за счет нахождения более широкой области, лежащей левее прямой а = 1, где функция ~(з) не обращается в нуль. И. М, Виноградов и Н. М. Коробов (р. 1917) доказали, что при а > 2/3 существует постоянная Ь = Ь(а) > О, такая, что э(з) не обращается в нуль в области а ь 1~" (!(!+ 2) и вывели из этого асимптотическую формулу п(х) = 1(х+ 0(хе — «" мз) при любой постоянной р < 0,6.
Однако если справедлива гипотеза Римана, то п(х) =11х+ 0(хпх!пх) (53) (см. дополнение 1). В пределах имеющихся к настоящему времени таблиц простых чисел п(х) <1)х. Например, при х = 10', х = 10' и х = 10' отношения п(х)/11х приблизительно равны 0,9994; 0,99986; 0,99996. Предполагалось, что вообще при всех достаточно большихх п(х) <!1х. Это предположение оказалось неверным. Д. Литтлвуд (1885 — 1957) в 1914 г.
доказал, что разность п(х) — 1(х бесконечное число раз меняет знак. Более того, было доказано, что при любом,е>0 эта разность принимает бесконечное число раз значения как большие хьа ', так и меньшие — хив — '. Доказательство этой теоремы можно найти в книге [7]. Из этого утверждения следует, что в асимптотическом равенстве (53) постоянную 1/2 в показателе в остаточном члене нельзя заменить на меньшую постоянную. Большое внимание в теории чисел уделяется решению так называемых аддитивных задач, Постановки этих задач связаны с возможностью представления натуральных чисел в виде сумм чисел заданного аида.
Наиболее известная из этих задач — проблема Гольдбаха. В 1742 г, Х. Гольдбах (1690 — 1?64) в письме к Л. Эйлеру высказал предположение, что всякое нечетное число, большее 6, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Эйлер высказал более сильную гипотезу о том, что всякое четное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Первым результатом, связанным с проблемой Гольдбаха, была теорема Л. Г. Шнирельмана (1905 — 1938), утверждающая, что существует постоянная й такая, что каждое натуральное число, большее 1, есть сумма не более чем й простых чисел. Большим достижением в теории чисел стала доказанная И. М.
Виноградовым теорема, утверждающая, что всякое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел. Доказательство этой теоремы основывалось на разработанном И. М. Виноградовым новом методе оценок тригонометрических сумм [3). О развитии метода тригонометрических сумм, его приложениях, а также о некоторых других методах в теории чисел можно прочитать в кинге [!5). Утверждение о представлении четных чисел в виде суммы двух простых к настоящему времени не доказано.
Однако при помощи метода решета установлено, что всякое достаточно большое четное число можно представить в виде суммы простого числа и числа, имеющего не более двух простых делителей. О решении аддитнвных проблем, саязанных с простымн числами, можно прочитать в книгах Л. Л. Карацубы [8) и К. Прахара [9'!. ЗАДАЧИ 1) Доказать, что ~'(з) =- ~ ™, йе з "- 1, где т(п) — число делителей числа н. 2) Установить тождество 1 из н(а) ;-(з) 2 л=-1 где 9(п) — функция Мебиуса, которая была определена в задаче 12 гл.
1. 3) Доказать равенство -к ~а — ~"' = з (' "й('),(х,)1 к(й 3 о 4() Вывести из него, что если существует !пп, то этот прех дел равен 1. 57 4) Установить равенство +ба Г (з) ~ (а) =-- 1 йх, о > 1. ек 1 о 5) Доказать, что дзета-функцию можно аналитически продолжить в область 0 = а < 1 посредством равенства (! — 2' ') ь(з) = 1 — — +— 95 з5 Вывести отсюда, что при действительном а, 0 < з < 1, Ь(з) чь О. 6) Доказать, что при любом е>0 и л>л,(е) между числами п и (1+ е)л содержится простое число. 7) Проверить, что в области о>1 —, (1)>3 1п)г) справедливы оценки ,".(.) =О(1п~(~), Ц (.) =О(1п'~Г~).
8) Установить, что существует постоянная с > О, такая, что в области о>1 —, 11)>3 м~~г) ' имеет место оценка — = О (1п' ( г' ~ ). ь (з) 9) Доказать формулу (44). 10) Из тождества (44) вывести, что ф(х) — х при х-~ + оо (не вводя функцию ы(х) ). 11) Доказать, что прн а > 1 и нецелом х > 1 а+1ев як а — 1ю Указание: использовать задачу 2. 12) Из равенства, полученного в предыдущей задаче, вывести, что р(п) = о(х).
ГЛАВА 3 ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ й 1. Простейшие частные случаи теоремы Дирихле Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно. Тем не менее в их распределении можно усмотреть определенные закономерности. Некоторые из них были рассмотрены выше. Целью этой главы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. Т е о р е м а Лири х ле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел. Пусть та+1, и =1, 2,... прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.
Условие (т, 1) = 1, наложенное на числа гп и 1 в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда й = (т, 1) > 1, все члены прогрессии (1) делятся на а и поэтому не являются простыми числами. Количественный аналог теоремы, который может быть получен с помощью развития методов, излагаемых в этой и предыдущей главах, показывает, что при фиксированном т простые числа распределяются между различными прогрессиями (1) с (т, 1) = 1 примерно поровну. Сформулированная теорема была впервые высказана Л. Эйлером в !783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных т, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.
Полностью доказал теорему в 1837 — 1839 гг. Г. П. ЛеженДирнхле. С тех пор она носит его имя. Следуя доказательству Евклида теоремы о бесконечности множества простых чисел, нетрудно показать, что существует бесконечное множество простых чисел вида 4п+ 3. Предположим противное, что множество таких чисел конечно, Перенумеруем их в порядке возрастания: рг=3, рг=7, рг=11 -.,р (2) и рассмотрим целое число )ч = 4рг - рг — 1. Это число иечетио, и поэтому все его простые делители нечетны.
Произведение любых двух чисел вида 4п+ 1 имеет, как легко проверить, такой же вид. Отсюда, ввиду того что ЛГ имеет вид 4п + 3, следует, что у ЛГ есть простой делитель вида 4п+ 3. Обозначим его буквой р. Так как М не делится ии на одно из чисел Рь ..., Р„то р отлично от всех чисел (2). Это приводит к противоречию с тем, что в совокупности (2) содержатся все простые числа вида 4п+ 3. Тем самым доказано, что множество простых чисел вида 4п+ 3 бесконечно.
Столь же просто доказывается бесконечность множества простых чисел вида бп + 5. Элементарное доказательство того, что сушествует бесконечное множество простых чисел вида 4п + 1, несколько сложнее и требует привлечення новой идеи. Предшествующее рассуждение основывалось на утверждении: а) натуральное число вида 4п 1-3 имеет простой делитель того же вида. Теперь нужно использовать другое утверждение: б) пусть а и Ь вЂ” взаимно простые целые числа. Тогда калсдый простой нечетный делитель числа аз+ Ье имеет вид 4п+ 1. Этот факт будет доказан ниже.
Но пока воспользуемся им без доказательства. Предположим, что простые числа вида 4п+1 образуют конечное множество. Обозначим их Р~=о, Рз=13, Рз=)Т,...,Рт (3) и рассмотрим число Л1 = (2Р1. Р,)'+1. Если Р— простой делитель Л', то очевидно, что р — нечетное число и отлично от р„ ...,Р„. В то же время из утверждения б) следует, что простое число р имеет вид 4п + 1. Это противоречит тому„ что совокупность (3) содержит все простые числа вида 4п + 1.
Полученное противоречие доказывает бесконечность множества простых чисел вида 4п + 1. Утверждения того же типа, что и а) н б), можно использовать совместно и получить еще ряд результатов, аналогичных уже доказанным. Предположим, например, что множество простых чисел вида 8п + 5 конечно. Пусть оно состоит из чисел р1 = 5, рг = 13, рз =- 29, ..., р,. (4) Рассмотрим число Л' = (Рг Р ....
Р„)'+ 2'. Квадрат нечетного числа при делении на 8 дает, как легко проверить, в остатке 1. Поэтому число Л1 при делении на 8 дает в остатке 5. Так как произведение нескольких чисел вида 8п + 1 есть снова число того же вида, то существует простой делитель числа ггг, не содержащийся в прогрессии 8п+1. Ввиду утверждения б) число р имеет вид 4п + 1 и, значит, содержится в прогрессии вида 8п+ 5.
Итак, число гУ имеет простой делитель р вида 8п+ 5 и ие делится ни на одно из чисел совокупности (4). Поэтому р отлично от всех чисел (4). 11о это противоречит тому, что совокупность (4) содержит все простые числа вида 8п+ 5. Тем самым доказано, что в прогрессии 8п+ 5 содержится бесконечное множество простых чисел. Пользуясь аналогичными рассуждениями, нетрудно доказать, что в каждой из прогрессий 8п-г-!, 8п-~-З, 12п~1, 12п -~ 5 содержится бесконечное множество простых чисел.
11есколько сложнее доказывается бесконечность множеств простых чисел вида пгп + 1 и тп — 1 для любого натурального т. В настоящее время пе известно доказательство теоремы о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии произвольного вида с помощью элементарных рассуждений, обобщающих идею Евклида. Метод, с помощью которого Дирихле доказал эту теорему, сугцественно использует аналитические средства. Простейшей вариант этого метода будет изложен в э 2, где снова будут рассмотрены прогрессии нида 4п + 1 и 4п — 1. Прежде чем приступить к доказательству теоремы Днрихле, приведем некоторые сведения о сравнениях, необходимые в дальнейшем, а также докажем утверждение б) о простых делителях чисел аида а'+ Ьг.
Пусть гн и !1. Целые числа а и Ь называются сравнимыми по модулю т, если разность а — Ь делится на т. Сравнимость чисел а и Ь по модулю т обозначают символом а =— Ь(гподт), называемым сравнением по модулю т. Числа а и Ь еравнилгы по модулю т тогда и только тогда, когда а=Ь+т1,1яХ, а также тогда и только тогда, когда они имеют одинаковьге остатки при делении на т (см. э 1 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
