А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда А(х) = [х1 и при а>1 1пп А (х) д (х) = О, Поэтому из равенства (11) следует, что при йез>1 — = з ~ [х1 (х + М)-' — ' Их =- +» +» = з ~ [х) (х+Ф)- 'дх= з ~ [х — Л!]х — '-'дх= +» х — л! — (л) х3+! и Таким образом, М + л ъч !, х!! ' с (х) с(з) =- э — + — ей! дх, л 5 ! х'л' (12) В частности, прн Л!= 1 получаем +Ф ~ (з) = 1 + — э ~ — дх.
! . (х) л — ! х'+' ! (13) Перепишем равенство (13) следующим образом: л-!-! Г (э) = 1 + — в ~~1~~ ~ ах. (14) л,»1 л Из неравенства 40 л следует, что ряд в правой части равенства (14) сходится равномерно в области о> 6>0. Каждый из интегралов в равенстве (14) является аналитической функцией от э в той же области. Поэтому по теореме Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций правая часть равенства (14) есть аналитическая функция в области о>б, э~1, а ввиду произвольности б и в области о>0, в~1.
В точке э=! она имеет простой пол!ос с вычетом 1. Напомним, что до снх пор функция Г(в) была определена только прн о>! рядом (!). Из доказанного следует, что эту функцию можно аналитически продолжить в полосу 0<о(1, вчем!, полагая, что ~(в) в этой полосе равна правой части равенства (13). Итак, доказано следующее утверждение. Теор е м а 1. Правая часть равенства (13) является аналитическим продолжением у!унщии ~(э), определенной равенством (1), в область о>0. В этой области ь(в) имеет единственную особую точку э=1, являющуюся полюсом первого порядка с вычетом 1. 3 а м е ч а н и е.
Риман в 1859 г. нашел аналитическое продолжение дзета-функции:на всю комплексную плоскость. При этом значения дзета-функции, расположенные слева и справа Так как все точки области (15) удалены стояние, не меньшее, чем 3, то (в — 1() 3 и Далее, так как У( (1(<У+1, то ~з ~ с(х <((г!+ о) ~ — ~( !!1-!- 2 1 3 !!! — 1 1!! — ! от точки 1 на рас- (17) !1!+ 2 (18) С помощью оценок (16) †(18) из равенства (12) получаем не- равенство (~(е) ( <2 !п)1(+4<6 1п(1!.
Дифференцируя равенство (12), будем иметь Л 1пв 1у! ! и' (е — 1)' ! — ! л=! +!а +(Ю Л!! ! 1П1У (19) от прямой Кее=!/м оказались связанными функциональным уравнением ~(! — з) = 2' 'н 'сов — Г(з) ~(з), 2 где Г(з) — гамма-функция Эйлера. Из сказанного выше и единственности аналитического про- должения следует, что равенство (12) выполняется в области Вез>0 для каждого натурального У. Л е м м а 5. В области комплексной плоскости в=о+!1, !1(>3, 1~о~2 (15) выполняются неравенства !" (з) ! ~6 1п !Ь'(з) ! <8 !п' /1!. Заметим, что величины постоянных, стоящих перед лога- рифмами, для дальнейшего несущественны.
Доказательство. Положим в равенстве (12) !У=((1(1. Тогда по лемме 10 гл. 1 выполняется неравенство $2. Нули дзета-функции Важнейшую роль в изучении распределения простых чисел играет информация о расположении нулей дзета-функции в области О» о» 1. Область О» о» 1 называется критической полосой дзета-функции.
В !839 г. Риман выдвинул предположение, что все нули дзета-функции, расположенные в критической полосе, лежат на прямой о = 1!2. Гипотеза Римана к настоящему времени не доказана и не опровергнута, Ее доказательство привело бы к существенному прогрессу в задачах, связанных с распределением простых чисел. Для доказательства асимптотического закона распределения простых чисел, которое будет изложено ниже, требуется установить, что ь(в) не обращается в нуль на прямой о = 1. Для этого докажем вспомогательное утверждение. Л е м м а 6. Пусть О < г < 1, а ф — действительное число, тогда вьтолняетсн неравенство г)з(! г !л)л(! г 1лг)(-! >1 (24) Доказательство.
Для всех г из круга !г~ <! имеет место разложение — 1п(1 — г) =- л' —, л л=1 Так как !и(1) =йе1п 1, то, обозначая М(г, ф) левую часть неравенства (24), получим !пМ(г, ф) = — 31п(1 — г) — 4!п(1 — ге1т! — 1п! ! — ге"л! = == — 3 1п (1 — г) — 4 Йе1п (1 — ге1т) — Ке !п (1 — гене) = — йе(3+ 4е!лч+ еи"'1) =- T — '(3+ 4совпф+ соа2п!р) = Х" л с ! л л=! л=! Ю вЂ” (1 + сов пф)') О. л л=-1 Следовательно, М(г, !с) >1. Лемма доказана. Л е м м а 7, Функция Ь(з) не имеет нулей на прямой 1(ез = 1.
Доказательство. Пусть о) 1. Из тождества Эйлера (8) следует, что ! ьа(о) ьл(о+ Н) ь(о+ 2Н) ! = П !(1 р — л)л(! р — 'л — и)! (! р — л — ен) ! — 1 (28) Р Полагая в лемме б т р и е1ч р-н, ввиду неравенства (24) получим, что каждый сомножитель в произведении (25) не меньше, чем 1. Поэтому !~з(а)~е(а+ И)ь(а+ 2И) ~ з 1. (26) Предположим, вопреки утверждению леммы, что ь(1+ Ие) = О, Ге Ф О. Ввиду того, что Ь (з) является аналитической функцией в точке е = 1+ Ие будем иметь (27) ~(а+ Ио) = 0(а — 1), а-+!.
Из неравенства (9) следует, что при 1 < о к: 2 выполняется неравенство ! ь (о') 1 ~< (28) Из неравенства (27) и неравенства (28) получаем оценку ~'(а);;4(а+Ие) =0(о — 1), а-~1. (29) Но функция ь(а+ 2Ие) непрерывна и, следовательно, ограничена иа отрезке 1 ~ а ч.' 2. Поэтому неравенство (26) и оценка (29) при а-~-1+ О противоречивы. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы. Неравенство (26) было основным в доказательствелеммы7. С его помошью, поскольку известны оценки сверху для 1ь(а) ~ и 1ь(а+ 2И) ~, можно оценить снизу !Ца+ И) ~, а также доказать следующую лемму.
Лемма 8. 8 области комплексной плоскости в = о-1-И, !(()3, 1 ко~2, выполняется неравенство ~ ~ (~) ~ <с 1и' (Г(, где с =2м Заметим, что величина постоянной с не существенна для доказательства асимптотического закона. Доказательство. Для действительных а и 1, удовлетворяющих неравенствам 2 ) а )~ ! + = а„)1! ) 3, с == 2", е 1п' ( е ! ввиду оценки (28) выполняется неравенство ! 9 (а)! < — < 2с 1п' ! ! !, (зо) а по лемме 5 — неравенство !~(а+2И) ! ~6 1п(2(!!) <!6 !п1!! (31) Из неравенств (26), (30) и (31) получаем, что з 1 ) ь (о + И) ! > ! ь (и) ! з ) ь(о+ 2М) ! з > — (2с) ' 1п — '!У/= 16с — '1и — ')г!. 2 (32) Для о из области 1 < а < оь пользуясь леммой 5, находим и, ) ь" (и + (() — ~ (о, + Н) ! = ~ ~ ь' (и + (() Йи ~ ~( й < 8 (о, — о) !п' ! ( ! < 8с — ' 1п — ' ! г' !.
(33) Из неравенства (33) и оценки (32), в которой положено о = оь следует, что ! ~ (а + 1'г') / > ! ~ (о, + (г) ! — / Ц (о, + (г) — ~ (о + (г) ! > > 16с-' !п-г ) Г ! — 8с-' !п-г ! 1 ! =- 8с-' !и-' ! ( !. Вместе с оценкой (32) это означает, что для всех а и 1 из области 1 <а-с 2, )г) > 3 выполняется неравенство )~(о + 1() ) > 8с — '!п-т)Ц. Из неравенства (34) и леммы 5 имеем =сп (О+И) 81п !11 1 9)1! ~(п+П) ! 8с з1п 7)Г! Лемма доказана. (34) 2 3.
Доказательство асимптотического закона распределения простых чисел По лемме 11 из гл. 1 для установления асимптотнческого соотношения х п(х) — —, х-~-+оо, 1пх гп(х) = 3 — г(1, " Ф(1) (35) достаточно доказать, что зр(х) — х при х-+. + ао. По причинам, которые выяснятся несколько позднее, удобнее вместо зр(х) рассматривать функцию Для доказательства асимптотического закона достаточно доказать асимптотическое равенство п)(х) = х+ о(х), х-~+ пп. (зе) Действительно, допустим, что зто равенство доказано, Пусть е произвольное число, такое, что О ( е < 1.
Тогда ввиду монотонности функции )()(е) находим О+е)х П+е)» п)((1 — ' е)х) — п)(х) = ~ — Й > (() (х) ) (б г и( Е = ()) (х) 1п (1 —; з), откуда, пользуясь равенством (Зб), получаем 1' ~ ( ) 1' х +» х )п (! ! Е) х -!.ее Х 1п (1 + е) Так как это неравенство верно при любом положительном а„ то, переходя к пределу при е-е-+ О, будем иметь, что е() (х) 1(ш — < 1. х-е.)-» Х Аналогично получается оценка и для нижнего предела. Имеем и) (х) — е) ((1 — ) х) = ~ ( ((( < 4' () (б П вЂ” е)е Х < ())(х) ~ — = е))(х)!п ( 1 — е П вЂ” е)х откуда следует, что 1 Ф (х) > 1 1 е) (х) — и ((1 — е) х) е !гп > 1ип + х — 1п (1 — е) х-++а Х вЂ” 1и (1 — е) а после перехода к пределу при е-э+ О 1пп — )~ 1.
е) (Х) — Х Х +ее Из неравенств 1< 1пп — < 1пп — < 1 (1) (х) . е() (х) Х е»+» Х следует, что предел отношения е))(х)/х при х-)-+ оп существует и равен 1. В следующих двух леммах будет найдено интегральное представление функции ю(х), связывающее эту функцию с дзета-функцией Римана. Дальнейшее исследование полученного интеграла приведет к установлению асимптотики для ы(х). Л е м м а 9. )Три положительных а и Ь справедливы ра- венства а+! 1 (' ь' й ( 1пЬ при Ь)1, ы,) ~в ( О при О~Ь( 1, (37) где интеграл вычисляется по вертикальной прямой нее = а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства ! )= ел~ ь з — -- а+ 11, в~ ~ ач+ и следует, что интеграл (37) абсолютно сходится. Рассмотрим при Ь > 1 интеграл г ь 1„(и) =- — ~ — йз, и >О, 2ги . 5~ г, Отсюда по теореме Коши о вычетах 1~(и) = 1пЬ. :Следовательно, ьл ь1 — — Ж = 1пь — — ~ — йх.
2я!,~ М 2я~,~ Ф (38) с, Так как при Ь ъ 1 иа кривой С, выполняется неравенство '~ Ьз! — Ьвез ~ Ьа н то е ь' ~ —, 1 ь. — ~ — йх~ ц;Уа'+ и' Ь' '< —. 2ж " Р а~+ич и с, 47 где Г1 — замкнутый контур, состоящий нз отрезка с концами в точках а — 7и и а + (и, параллельного мнимой оси, и дуги окружности с,:1 ~')= ~ "+" ( Кех~(а (рис. 1). Подынтегральная функция имеет полюс порядка 2 в точке в=О с вычетом 1пь, поскольку Ьз — еиыь 1 з)пь .~ 1п* Ь 21 Поэтому г ь Вгп — ~ — Ь= О, «-в.»га» 2я»,) «« с, и в соответствии с равенством (38) «+»« »«ь» 1пп —, ~ — г)з= 1пЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
