А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Оценки Чебышева для функции л(х) Простые числа являются простейшими объектами, из которых с помощью умножения строятся все натуральные числа, большие единицы. Поэтому проблема распределения простых чисел всегда представляла большой интерес. Все попытки после Евклида установить какие-либо новые утверждения о распределении простых чисел долгое время не приводили к успеху. А. Лежандр, пользуясь таблицами простых чисел, указал формулу, которая приближенно выражала функцию л(х) с некоторой точностью в пределах существовавших таблиц простых чисел. Эта формула имела вид л(х) ", В= 1 08366 !пх — В (22) 23 Выбирая в качестве $ функцию от х, такую, что $ -+ оо и 2Ь+1 — „— 0 при х- +ао, получаем, что л(х)/х- 0 прн х- +по.
3 а меч ание. Если выбрать 5=у 1пх, 0<у<1/1п2, то из неравенства (2Ц получаем более точное утверждение К. Ф. Гаусс утверждал, что более точной является формула л (х) =~ —, С В1 (23), 2 Заметим, что при х- +оо правые части соотношений (22) и (23) эквивалентны (т. е. предел их отношения равен 1). Первым существенного успеха в изучении распределения простых чисел добился П. Л. Чебышев, который в 1850 г. элементарным методом строго установил истинный порядок роста функции л(х) при х-~-+оо. Т е о р е м а Ч е б ы ш е в а. Существуют положительные постоянные а и Ь такие, что при всех х~2 выполняются неравен- ства а — .
л(х)(Ь— 1п» 1пх (24) Для доказательства теоремы докажем вспомогательные предложения. Рассмотрим следующие функции, введенные впервые Чебышевым: В (х) =- ~," !п р, х ) О, (25у »к» ф(х) -- ~ 1пр, х)0, (267 где в сумме, определяющей функцию ф(х), суммирование распространяется на все пары простых р и натуральных т, удовлетворяющих неравенству р'"(х. При фиксированном р все значения т такие, что р"'~х 1пх удовлетворяют также неравенству т ~( —, и поэтому число 1и р их равно [!пх/!пр).
Отсюда следует, что функцию ф(х) (26) можно представить следующим образом: ф(х) = ~~1~ [ — 1 1пр, х) О. (27) Р С» 24 Функции О(х) и ф(х) имеют большое значение при решении задач, связанных с распределением простых чисел. Это объясняется тем, что асимптотическое поведение функций В(х), ф(х) и л(х) тесно связано. Если известно асимптотическое поведение одной из этих функций, то определено и асимптотическое поведение двух других функций. Это утверждение содержится в доказываемой ниже лемме. Л е м м а 11. Пусть Л, Ль Л и )кь )кк, )кк обозначают соответственно нижние и верхние пределы лри х- +оп функций В (х) х (к) л (к) (28) к х х 1пк 'Тогда Л~ = Лк = Лз, (к ~ = )кк = )кз.
Доказательство. Из равенств (25) и (27), опуская знак целой части, находим 0 (х) < ~р(х) = ~~)~ ~ и к ~ 1п р < 1и р пкк < У вЂ” 1пр = 1пх~~)~ ~1 =- л(х) 1пх с4 1пр 0(х) ф(х) л (х) — С < к х х 1п х Из последних неравенств следует, что Л~ (Лк~~Лк. (29) С другой стороны, при любом а, О<а<1, и любом х)! :имеем 0(х) ) 2, 1пр) 1п(х") ')~ 1 =- а!пх(л(х) — л(х )). кч«пкк к'"(К~к Но л(хп) <х", поэтому (30) При а<1 имеем 1пп 1пх/х'-'=О, а тогда из неравенства (30) .к +а получаем, что Л~>аЛк.
Но ввиду произвольности а, 0<а<1, его можно взять сколь угодно близким к 1. Поэтому Л~~ Лз. (31) Из неравенств (29) и (31) находим, что Л~=Лк— - Лм Аналогично доказываются равенства )к~ =)кк=(кз В дальнейшем будет показано, что символы Ль Ль Лм рь )км )кк являются конечными и положительными. Из леммы 11 следует, что если при х- +по одна из трех крункций (28) имеет конечный предел, то и две другие из них при х-ь+оо имеют тот же предел.
В главе 2 будет доказан асимптотический закон распределения простых чисел, который утверждает, что 1пп () = 1. +ю )ах Из леммы 11 следует, что этому результату эквивалентнв каждое из двух следующих утверждений: 1пп — = 1, 1пп — = 1. Е (х) . Р (х) т-~+ аа л +~а Х Л е м м а 12. При любом действительном х разность (2х)— — 2[х) равна либо О, либо 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как (х] = х — (х), то (2х) =2х — (2х), 2(х) =2х — 2(х). Вычитая, получим (2х) — 2 (х] = 2(х) — (2х). (32) Поскольку 0.<(х)<1, то выполняются неравенства — 1<2(х) — (2х)<2.
(ЗЗ) ( 2п ') (я+ () ... (2я) и/ л( Число Ж~Х как биномиальный коэффициент, причем У вЂ” наи- больший из 2п+1 биномиальных коэффициентов ( '" ), й=О 1, ...,2п. Поэтому из равенства ~~ч ~~ 2п) (1 + 1)ил рл (Збд следует, что выполняются неравенства У<2эя< (2п+1) У. (36) В числитель дроби (34) входят все простые числа р такие.
что п<ра2п, и эти числа не входят в знаменатель той же дро- С другой стороны, левая часть равенства (32) есть целое. число. Поэтому из неравенств (33) следует, что разность 2(х) — (2х) может принимать только одно из двух значений 0 или 1, что ввиду равенства (32) доказывает утверждение леммы. Перейдем к доказательству теоремы Чебышева. По лемме 11 три функции (28) имеют общие нижние и верхние пределы. Обозначим их ).
и р. 1) Оценка сверху. Рассмотрим число .Логарифмируя последнее неравенство, получим 2п!п2) ~, 1пр= 0(2п) — 0(п), и с рС 2л Положим в неравенстве (38) последовательно =1, ...,К и сложим все полученные неравенства. В замечая, что 9(1) =О, приходим к неравенствам 0 (22) < ~" 2'1п 2 < 2'+' 1п 2. 2=1 (38) п=2' ', результате, (39) Пусть х>1. Выберем натуральное число й, удовлетворяющим неравенствам 22 — '<х<22. Тогда неравенства (39) позволяют получить следующую оценку: 0(х) <0(22) <2~+'1п 2 (4х1п 2, х> 1, из которой находим, что )2, 4 1п 2.
(40) определенное равенством (34), 2) Оценка снизу. Число У, можно представить в виде (2л)! (л!)2 и поэтому, пользуясь леммой 8, жение на простые сомножители (2л)! (л!)р найти его каноническое разло- (41) р' 2л — 2 (~ — ~+ ~ — 1+ ...). (42) Так как (а)=0 при 0<а<1, то в каждой из двух сумм в скобках в равенстве (42) все слагаемые после тр-го, где тр —— би. Поэтому число М делится на все такие простые числа и, значит, делится на их произведение.
Отсюда следует, что й(> Пр (37) л<р С2л .Из неравенств (36) и (37) имеем 2'л> П =(!п(2п)/1пр), будут равны нулю. Поэтому, пользуясь леммой 12, находим Ш рр —— ) ( ~ — „1 — 2 ~ — ~) < Ойр. (43) Из равенства (27) имеем, что еэ1Х„>= П р-,, р~ы откуда ввиду равенства (41) и оценки (43) получаем, что )((< <еч'1х"1.
Логарифмируя неравенство 2'"<(2п+1)Ю (см. (36)), находим неравенства (44~ 1 Пусть х»2. Положим в неравенствах (44) и = 1 — х~. [ 2 Тогда х — 2<2п-ч:х. Получим, что ф(х) > ~р(2п) ) (х — 2)1п2 — !п(х+1), или ф (х) 2 1п2 !и (х+ 1) х х х откуда следует неравенство ).> 1п2. (45) Объединяя неравенства (40) и (45), приходим к неравен- ствам !п2~Х~(х~41п2. Поскольку ). и и общие нижние ций (28), то 1п2 ( 1пп и (х) ч.
и верхние пределы трех функ- и (х) 1(т ~< 4 1п2. х !пх х х ~-1" 1пх где р„— и-е простое число. Уменьшая и увеличивая постоянные в этих оценках, если это необходимо, получим неравенства (24), справедливые прн всех х> 2. Теорем а 2. Суи(ествуют положительнь1е постоянные и и р такие, что при всех и> 2 выполняются неравенства ап1п п<р„< рп!п и (46) Доказательство. Положим в теореме Чебышева в неравенствах (24) х=р„. Тогда — < п(р„) < Ь вЂ”. !и р„ !и р„ Но и (р„) = и. Поэтому а ~" <п<Ь !" Ри !и Рп Логарифмируя неравенство (47) и перемножая почленно получившееся неравенство и неравенство (47), находим а ~" (1па+ 1пр,— 1п1пр.)< !и Рк (47) < и 1п п < Ь ~" (1п Ь + 1и р, — 1и 1и р„).
!и и„ Из этих неравенств получаем, что при некоторых положительных а и р выполняются неравенства — р„п1пп< — р„, п)2, ! ! а из которых следуют неравенства (46). Из доказанной теоремы легко получается новое доказательство утверждения о том, что ряд чисел, обратных простым числам, расходится. Чебышев установил более точные границы для отношения рл (к) к !ик (48) к чем в приведенном доказательстве неравенства (24). Более того, в статье, опубликованной в 1848 г., он доказал, что если существует предел отношения (48) при х- +си, то этот предел должен быть равен 1.
Но доказать существования предела он не смог. В той же работе Чебышев показал, что при условии существования предела отношения (48) в формуле Лежандра (22) лучшим значением для постоянной В должно быть В=1, а не. указанное Лежандром значение В=1,08366.
Он также установил, что функция 2 рассмотренная им независимо от Гаусса, приближает п(х) лучше, чем функция х/1пх. Своими работами П. Л. Чебышев внес самый существенный вклад со времен Евклида в изучение распределения простых чисел. Его работы были очень высоко оценены математиками во всем мире.
Асимптотнческий закон распределения простых чисел (существование предела отношения (48) при х-~-+со) был уста:новлен с помощью аналитических методов только почти через полвека после работ Чебышева. ЗАМЕЧАНИЯ С вопросами делимости чисел можно ознакомиться по книтам И. М. Виноградова [2[, Г. Хассе [13) и К.
Чандрасекхарана [16). С элементарными результатами о распределении простых чисел — по книгам К. Прахара [9), А. Е. Ингама [7), Э. Троста [10) и К. Чандрасекхарана [16). Работы П. Л. Чебызпева о простых числах содержатся в т. 1 его собрания сочинений [!9]. Метод решета, которым в $3 была доказана теорема Эйлера, в работах В. Бруна (1885 — 1981), А. А. Бухштаба (р. 1905), А. Сельберга (р. 1917), Ю. В.
Линника и других математиков получил существенное развитие и обобщение. С его помощью установлено много результатов о распределении простых чисел, часто не окончательных, но пока не получаемых с помощью аналитических методов. Отметим лишь некоторые из этих результатов, связанные с проблемой близнецов. В. Брун в 1919 г. доказал, что ряд чисел, обратных простым .числам-близнецам, либо конечен, либо сходится. Он также показал, что существует бесконечное множество пар чисел п и л+2, каждое из которых состоит не более чем из 9 простых множителей.
А. А. Бухштаб в 1940 г. заменил число 9 на 4. А. Реньн (1921 — 1970) в 1948 г, доказал, что существуют постоянная й и бесконечное множество пар р и Я+2, где р— простое число, а р+2 состоит не более чем из й простых мно.жителей. А. А. Бухштаб в 1965 г. показал, что в результате Реньи можно положить А=3, а Ван-Юань в 1973 г. снизил это число до 2. В своей работе о простых числах (1850 г.) П. Л. Чебышев доказал постулат Бертрана, в котором утверждается, что при п>3 между числами п н 2п — 2 имеется простое число.
Это предположение было высказано И. Бертраном (1822 — 1900), которому оно потребовалось в связи с его исследованиями по теории групп. Чебышев также доказал, что начиная с некоторого х вы;полняется неравенство 0,92129 < " (~) ~ 1,! 0555. хдпх Многие авторы уточняли постоянные в этом неравенстве. Но .доказать методом Чебышева существование предела п(х) l — при х- +оо они не смогли.
Эта проблема была / 1пх решена другими методами, использующими функции комплексного переменного. ЗАДАЧИ 1) Пусть а, Ь~Х, (а, Ь) =1. Доказать по индукции, что уравнение ах-1-Ьу = 1 разрешимо в целых числах. 2) С помощью результата задачи 1 дать другое доказательство леммы 3. 3) Пусть а, Ье-=Х, 1а(+1Ь)ФО, а с(=ах0+Ьу0 — наименьшее- положительное число вида ах+Ьу, где х, уе=Х. Доказать, что д= (а, Ь). 4) Общим кратным нескольких целых чисел называется целое число, являющееся кратным каждого из этих чисел. Наименьшим общим кратным нескольких целых чисел называется наименьшее из их положительных общих кратных. Доказать, что если натуральные числа аь...,аь попарно взаимно просты, то их общее наименьшее кратное равно их произведению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
