А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516)
Текст из файла
А.ИГалочкин, Ю.В.Нестеренко, А.Б.Шидловский Под оби1. ред. А. Б. Шидловского ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ М.:Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 152 с. Содержание книги составляет применение методов анализа и теории функций комплексного переменного к некоторым задачам теории чисел. В книге рассматриваются три основных вопроса: 1) асимптотический закон распределения простых чисел; 2) теорема о бесконечности множества простых чисел в арифметических прогрессиях; 3) приближение действительных и алгебраических чисел рациональными числами и трансцендентность чисел е и к.
СОДЕРЖАНИЕ Обозначения Предисловие Введение Глава 1. Элементарные теоремы о простых числах 8 1. Делимость целых чисел 8 2. Простые числа 8 3. Теоремы Евклида и Эйлера 8 4. Оценки Чебышева для функции к(х) Замечания Задачи Глава 2. Асимптотический закон распределении простых чисел 8 1. Дзета-функция Римана 8 2. Нули дзета-функции 8 3. Доказательство асимптотического закона распределения простых чисел Замечания Задачи Глава 3.
Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии 8 1. Простейшие частные случаи теоремы Дирихле 8 2. Другое доказательство бесконечности множества простых чисел в прогрессиях вида 4н+ 1 8 3. Характеры 8 4. Л-функции Дирихле 8 5. Доказательство теоремы Дирихле Замечания Задачи Глава 4. Алгебраические и трансцендентные числа. Трансцендентность чисел е и к 8 1. Алгебраические числа 8 2.
Приближение действительных чисел рациональными числами 8 3. Приближение алгебраических чисел рациональными числами. Существование трансцендентных чисел 4 5 7 11 11 13 16 23 30 31 34 34 43 45 54 57 59 68 76 85 87 89 94 94 103 108 8 4. Трансцендентность числа е 8 5. Трансцендентность числа л Замечания Задачи Дополнение 1. Об остаточном члене в асимптотпческом законе распределении простых чисел Задачи Дополнение 2. Оценки многочленов с целыми коэффициентами от числа е Литература 118 118 128 130 133 140 141 ОБОЗНАЧЕНИЯ К вЂ” множество натуральныя чисел. 2 — нольцо целых рациональных чисел. б) — поле рациональных чисел.
С вЂ” поле комплексных чисел. А — поле всех алгебраических чисел над О. Е л — кольцо целых алгебраических чисел поля А. (а, Ь) — общий наибольший делитель целых чисел а и Ь. (пь, ач) — общий наибольший делитель чисел аь ..., а . Ь|а — целое числа Ь делит целое число а. Ы и — целое число Ь пе делит целое число а. ( ~а ) — числа сочетаний из гп элементов по А х) — дробная часть числа х. х) — целая часть числа к.
[а( — максимум модулей соприженных для алгебраического числа а. К[х) — кольцо многочленов от х с коэффициентами из поля или кольца К. К[хо ..., х ) — кольцо многочленов от хь ..., х с коэффициентами из поля илн кольца К. ~~ [(Р) — сумма по всем простым числам Р, не превосходящим х. э<я ~~~~[(Р) — сумма по всем простым числам Р. Р П [(р) — произведение по всем простым числам Р, не превосходящим х. рцх П)(Р) — произведение по всем простым числам Р. У Квадратные скобки употребляются в двух случаях: при обозначении целой части числа и при обозначении символа кольца многочленов над каким- либо полем или кольцом.
Фигурные скобки употребляются только для обозначении дробной доли числа. ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга подготонлена н нздается в связи с включением в новый учебный план механико-математического факультета Московского университета курса теории чисел н должна служить пособием по этому курсу. Она включает в себя материал, соответствующий программе, подготовленной кафедрой теории чисел. Эта программа составлека с учетом того, что куре будет читаться студентам на 9-и семестре.
Ее содержание — применение методов анализа и теории функций компленсного переменного к некоторым задачам теории чисел. Для читатели, владеющего основными понятиями анализа и теории функций комплексного переменного, книга может служить введением в теорию чисел, знакомя его сразу с некоторымн звдвчамн теории чнсел, решаемыми аналитическнмн методами, без детального рассмотренна ее основ.
Кннга также может быть использована прн чтении специальных курсов н в работе семинаров по теории чисел н университетах н педагогических ннститутах. В кинге рассматриваются три оснонных нопроса: 1) асимптотнческий закон распределения простых чисел; 2) теорема о беснонечности множестна простых чисел в арифметических прогрессиях; 3) приближение действительных н алгебраических чисел рациональными числами н трансцендентность чисел а н и. Изложению этих вопросов посвящены соответственно вторая, третьи и четвертая главы.
Первая глава содержит простейшие сведения о простых числах и некоторые теоремы о распределении простых чисел, доказываемые элементарными методами. В конце каждой главы приводятся замечания, связанные с ее содержанием, н спнсок задач различной степенн трудности. За основным текстом следует два дополнення. В первом рассматриваетси задача об оценке остаточного члена в асимптотическом законе. Цель этого дополнения — показать идеи, на которых основынается такая оценка, а также зависимость точности оценки от имеющихся сведений о расположении нулей дзета-функцин Римана. Для упрощения рассужденнй рассматривается случай условной оценки.
Ознакомившись с дополнением, читатель сможет детально нзучнть вопрос об оценке остаточного члена по спецнальным монографиям о распределении простых чнсел. Во втором дополнении показывается, как качестненный факт трансцендентности какого-либо чмсла может получить количественную характеристику. С помощью метода Эрмита в теории трансцендентных чисел устанавливаетсн оценка снизу модуля многочлеиа с целыми козффицнентами от числа е заввсящая от степени многочлена н величины его коэффициентов. В список литературы включен ряд книг на русском языке, по которым читатель может самостоятельно продолжить дальнейшее изучение проблем теории чисел, рассмотренных в этой книге.
Каждая глава имеет сваю нумерацию формул, лемм и теорем. Авторы выражают благодарность Н. И. Фельдману, прочитавшему рукопись, А. В. Мальииеар и В. И. Нечаеау, взявшим на себя труд по ее рецензированию, а также коллективу кафедры теории чисел Московского государ. ствеиного педагогического института им. В. И. Ленина за ее обсуждение. Их ценные замечании способствоволи улучшению книги.
Авторы благодарят П. В. Труяашоау за большую помощь прн оформлении рукописи. ВВЕДЕИИЕ Теория чисел является одним из древнейших разделов математики. Она возникла как наука, изучающая свойства натуральных чисел. Понятия натурального числа и арифметических действий над числами являются одними из первых математических абстракций, имеющими важнейшее значение для математики, других наук и всей практической деятельности человечества. В дальнейшем круг рассматриваемых в теории чисел вопросов значительно расширился.
В ней изучаются свойства различных классов чисел: целых, рациональных, алгебраических, трансцендентных. Но и в настоящее время целые числа являются важнейшим объектом исследований. По основной теореме арифметики каждое натуральное число, начиная с 2, единственным способом представляется в виде произведения простых чисел. Таким образом, простые числа— это те элементы, из которых при помощи умножения строятся натуральные числа. Поэтому одной из важнейших задач теории чисел является изучение свойств простых чисел.
Некоторые результаты о простых числах были получены еще в Древней Греции. В книге Евклида «Начала» (1Ч вЂ” 1П вв. до н. э.) содержится доказательство бесконечности множества простых чисел. Древнегреческий ученый Эратосфен (276— 194 гг. до н. э.) нашел способ составления таблиц простых чисел, названный позднее «решетом Эратосфена».
На его идее разработаны некоторые современные методы решения задач, связанных с простыми числами (методы решета). Ряд важных результатов о простых числах получил Л. Эйлер (1707 — !783). В его рассуждениях впервые использовалось тождество где произведение распространяется на все простые числа. Проблемы, связанные с распределением простых чисел в натуральном ряде, обычно являются очень трудными.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
