А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Многие выдающиеся математики проявляли к ним большой интерес. Существенный прогресс в исследовании этих проблем был достигнут только в середине Х1Х в. русским ученым П. Л. Чебы- шевым (1821 — !894). Изучая поведение функции п(х) — количества простых чисел, не превосходящих х, он, в частности, с помощью элементарных методов оценил порядок роста этой функции, показав, что при некоторых положительных постоянных а и 6 для всех х) 2 выполняются неравенства а ~я(х)(Ь— !пх !пх В конце Х1Х в.
Ж. Адамар (1865 — 1963) и Ш. Ж. де ла Валле-Пуссен (1866 — !962) доказали асимптотический закон распределения простых чисел, утверждающий, что х +ю х!!пх В их доказательствах существенное значение имело изучение свойств дзета-функции Римана — аналитической функции комплексного переменного з, которая при Вез>! задается рядом а затем аналитически продолжается в область мех~!. Как функцию комплексного переменного эту функцию первым стал рассматривать Б. Риман (1826 — 1866), обнаруживший глубокую связь ее аналитических свойств с вопросами распределения простых чисел. В !837 г.
Г. П. Лежен-Днрнхле (1805 — 1859) доказал, что в любой арифметической прогрессии, разность и первый член которой взаимно простые числа, содержится бесконечное множество простых чисел. Методы комплексного анализа позволили позднее найти более простое доказательство этой важной теоремы. К настоящему времени получено много глубоких результатов о простых числах. Однако имеется и целый ряд нерешенных проблем. В трудах Евклида и особенно Диофанта (1П в. н. э.) излагаются методы решения в целых числах некоторых уравнений. Эти труды положили начало большому разделу теории чисел, носящему название «теория диофантовых уравнений». В теории диофаитовых уравнений исследуются вопросы, связанные с решением уравнений в целых числах, в частности вопросы о существовании решений, конечности или бесконечности множества решений, о числе решений в случае их конечности, о способах нахождения решений. В теории диофантовых приближений изучаются задачи о решении неравенств в целых, рациональных и алгебраических числах, в частности вопросы о приближении чисел рациональными и алгебраическими числами.
В глубокой древности возникла проблема квадратуры круга — проблема построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого кругу. Первое упоминание о ней содержится в папирусе Ринда, составленном около двух тысяч лет до н. э. Эта проблема оказалась связанной с арифметическими свойствами числа и.
Она была решена в отрицательном смысле только в 1882 г. Ф, Линдеманом (1852 — 1939), который доказал трансцендентность числа л. Этот результат был получен им с помощью аналитического метода, созданного в 1873 г. Ш. Эрмитом (1822 — 1901) для доказательства трансцендентности числа е. С давних пор в теории чисел сложилось направление, называемое аддитивиой теорией чисел.
В этой теории рассматриваются задачи о представлении целых чисел в виде суммы слагаемых определенного вида, например в виде суммы степеней целых чисел, суммы нескольких простых чисел. Замечательным достижением в теории чисел явилось полученное в 1937 г. И. М. Виноградовым (1891 — 1983) доказательство теоремы, утверждающей, что каждое достаточно большое нечетное натуральное число представимо в виде суммы трех простых чисел. Эта задача, известная как проблема Гольдбаха, не поддавалась решению около двухсот лет. Ее решение стало возможным в результате создания И. М.
Виноградовым нового аналитического метода оценки тригонометрических сумм. Метод тригонометрических сумм оказался очень эффективным при решении многих проблем теории чисел. Выше отмечены только некоторые разделы теории чисел, в основном связанные с содержанием предлагаемой вниманию читателя книги. Имеются и другие важные направления исследований со своей тематикой и методами. В теории чисел много задач, которые просто формулируются, но решения которых очень трудны. Некоторые из них не решены до сих пор. Например, не доказано и не опровергнуто утверждение о том, что всякое четное число, начиная с 4, представимо в виде суммы двух простых чисел.
Это предположение является усилением упомянутой выше проблемы Гольдбаха. Рассмотрение таблиц показывает, что имеется много пар простых чисел, разность между которыми равна 2 (11 и 13, 41 и 43 и т. д.). Такие числа называются простыми числами-близнецами. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество пар близнецов. Известно, что числа е, и и е" трансцендентны. Но неизвестно даже, являются ли числа е+и и еп иррациональными.
В теории чисел широко используются методы теории функций, алгебры, геометрии, теории вероятностей. Особенно большое значение имеют аналитические методы, основанные иа применении к задачам теории чисел теории функций комплексного переменного. Решение теоретико-числовых задач стимулировало развитие других разделов математики.
Например, развитие методов, связанных с изучением распределения простых чисел, в значительной мере способствовало развитию теории целых и мероморфных функций. Проблемы теории диофантовых уравнений привели к развитию теории алгебраических чисел и некоторых разделов современной алгебры. Теория чисел в основном является наукой теоретической. Однако ее результаты и методы успешно применяются в других разделах математики, многих других науках, а также прн решении ряда практических задач. В развитие теории чисел внесли свой вклад такие выдающиеся математики, как П. Ферма (1601 — 1665), Л.
Эйлер, Ж. Лагранж (1736 — 1813), А. Лежандр (1752 — 1833), К. Гаусс (!777 — 1855), Г. П. Лежен-Дирихле, Б. Риман, Ш. Эрмит, Д. Гнльберт (1862 — 1943). Большое значение имели работы русских математиков петербургской школы теории чисел, основанной П. Л. Чебышевым: А. Н. Коркина (1837 — 1908), Е. И. Золотарева (1847— 1878), Г. Ф. Вороного (1868 — 1908), А. А. Маркова (1856— 1922). Замечательные достижения в теории чисел связаны с именами советских математиков. Среди них в первую очередь следует отметить И. М. Виноградова, Ю. В.
Линника (1915— 1972)', А. Я. Хинчина (1894 — 1959), А. О. Гельфонда (1906— 1968). ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ й 1. Делимость целых чисел Рассмотрим множество целых чисел. Оно образует кольцо относительно операций сложения и умножения, обозначаемое л.. В этом параграфе будут рассматриваться только числа из Х. Операция деления, обратная умножению, выполняется не для всех пар чисел из кольца Х. Число а делится на число Ь4:О, если существует число д такое, что а=Ьд. В этом случае говорят также, что число Ь делит число а.
Если а делится на Ь, то Ь называется делителем числа а, а число а кратным числа Ь. Число о называется частным от деления а на Ь. Число 0 делится на любое целое ЬФО. Если ау'=О, то очевидно, что множество всех делителей а конечно. Утверждение о том, что Ь делит а, принято обозначать символом Ь|а (читается «Ь делит а»).
Если же Ь не делит а, то этот факт обозначают символом Ь1а (читается «Ь не делит а») . Простейшие свойства делимости целых чисел известны читателю. Докажем те из них, которые будут использоваться в дальнейшем. Л е м м а 1. Если с(Ь и Ь|а, то с(а. Д о к а з а т с л ь ст в о.
По определению из с~ Ь и Ь | а имеем, что Ь=д~с и а=дзЬ, откуда а=с)га1с=ас и снова, по определе. нню с)а. Л е м м а 2. Если т=а+Ь, а а(т и д~а, то д(Ь. До к аз а тельство. По определению т=а1д н а=азд. Поэтому из равенства т=а+Ь получаем Ь= (о1 — аз)д=дд, откуда следует, что д ~ Ь. Аналогично доказывается, что если т=а,+...+а„,+а„н д делит числа >п, аь ...,а„ь то д(а„.
Общим делителем двух или нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого из этих чисел. Пусть аь ..., а„числа из л., из которых хотя бы одно отлично от нуля. Тогда множество их общих делителей конечно, и поэтому среди ннх существует наибольшее число. Наиболыиим общим делителем чисел аь...,а„называется наибольший нз их общих делителей. Он обозначается (аь... ..., а„).
Если (аь...,а„) =1, то числа аь...,а„называются взаимно простыми. П р и м е р ы: (258, 42) = 6, (60, 210, 360) = 30, (! О, 21) = 1. Л ем и а 3. Если а, Ь и с — целые числа, (а, Ь) =! и Ь(ас, то Ь(с. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что достаточно доказать утверждение леммы для случая, когда а, Ь н с — натуральные числа. Сначала докажем более общее утверждение: если а, Ь, и, о — натуральные числа и аи=Ьо, (а, Ь) =1, то а)о и Ь(и. Доказательство проведем, пользуясь индукцией по величине суммы а+Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
