А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В дальнейшем потребуется понятие группового характера. Характером группы 6 называется комплекснозначная функция х, определенная на 6, не равная тождественно нулю и такая, что для любых элементов а, Ь ен 6 выполняется равенство х(ау) = х(а)х(у). Это опрсделение означает, что характер Х есть гомоморфизм группы 6 в мультипликативную группу поля комплексных чисел.

Отметим некоторые свойства характеров. ! Функция уь(а), равная 1 для каждого элемента а ~ 6, является характером и называется главным характером. Остальные характеры называются неглавными. 2, Если е — единица группы, то для каждого характера Х Х(е) = 1. (20) Действительно, из равенства х(и) = х(ае) = х(а)х(е), справедливого для каждого элемента а ен 6, имеем, что х(е) Ф Ф=О. Теперь из равенства х(е) = х(ее) = х(е)х(е) следует равенство (20).

3. Из равенства 1=Х(е) =Х(аа-') =Х(а)Х(а-') получаем, что для каждого элемента аз=6 выполнено неравенство Х(а) ФО и х(а-') = (х(а) )-'. ва 4. Если й — порядок группы 6 (количество ее элементов), то для каждого элемента а е= 6 значение т(а) есть некоторый корень иэ 1 степени й. Действительно, по теореме Лагранжа а"=е и 1 = х.(е) = т,(а') = (Х(а))". Особенно просто построить характеры для циклической группы. П р н м е р. Пусть Н вЂ” циклическая группа порядка г и а — ее образуя>щяй элемент. Обозначим через ь произвольный корень степени г из 1 и, воспользовавшись тем, что каждый элемент группы Н равен некоторой степени а, определим функцию ф па Н, положив ф (аь) = $". Это определение корректно. Действительно, если а" = а'— два представления одного и того же элемента группы Н, то 1=й+гу,де=Хи ф(а') -- ~" "' ..

"-" — ф(а'). Легко видеть, что функция ф мультппликативна и, следовательно, является характером группы Н. Существует ровно г корней из 1 степени г: ',ь ..., а., Зна шт, таким способом можно построить г различных характеров фь ..., Чь, ф,-(а"). ь', 1::-1,...,г. Других характеров группа Н не имеет. Действительно, по свойству 4 характеров для каждого характера ф значение ф(а) равно одному из чисел ',-,. Из равенства 4(а) = ~;(а), ввиду того, что а — образующий элемент группы Н, и мультипликативности характеров, следует совпадение ф н ф; на всей группе Н.

Для каждой конечной группы 6 будем обозначать в дальнейшем символом /6/ количество элементов в 6. Т е о р е м а 1. Пусть 6 — конечная абелева группа, Н— подгруппа 6 и ф — некоторый характер группы Н. Существует в точности )6)/)Н) характеров группы 6, совпадающих с ф на подгруппе Н. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Можно считать, что Н вЂ” наибольшая по количеству элементов подгруппа группы 6 и ф = ф(х) — соответствующий характер, для которых утверждение теоремы не выполняется, Тогда Н Ф 6. Выберем элемент а еп 6, не содержащийся в подгруппе Н.

Существуют натуральные числа й такие, что а" епН. Например, а"=ее=Н, где й — порядок группы 6. Обозначим через г наименьшее натуральное число такое, что а" епН и через Н~ подгруппу 6, состоящую из элементов вида а"Ь, где Ь пробегает все элементы подгруппы Н, а й — любое число из Х. Так как по теореме о делении с остатком (см. гл. 1) существуют целые числа и, о такие, что й=иг+а, 0<о<г, и а'ен Н, то каждый элемент х группы Н, представим в виде х=а"Ь, О~а<г, ЬенН. . (21) Это представление единственно.

Действительно, из равенства. а' Ь, =- а'* Ь„О < о» < о» < г, Ь» ен Н, (22) следовало бы, что а" —" = Ь,Ь вЂ” '~ Н. 2 Целые числа а, и оа удовлетворяют неравенствам 0 ~ па ( о» < <г и из определения г следует равенство о,=он Теперь из равенств (22) находим, что Ь» = Ь,, Из единственности представления (21) следует, что подгруппа Н» ~ 6 содержит ровно г (Н! элементов, т. е. (Н1! = г!Н!. Поскольку а'ен Н, то»р(а") = а — некоторый корень из. 1 (свойство 4).

Обозначим через й какой-либо корень степени г из»» и определим функцию д(х) на группе Нь положив для элемента х вида (21) д (х) = к"»р(Ь). Докажем, что функпия д(х) является характером Нь Пусть х»=а~ Ьь х»=а» Ьм 0(Ф;<г, Ь,е=Н, группы н х»х» = а Ь, 0 < й < г, Ь ен Н. Тогда й» + А, = А + г)', / ен Х, и Ь = (а') »Ь»Ьв Имеем а (х»х,) = р»»р (Ь) = ~» (»р ( ')) ' »р (Ь»)»р (о,) = = еь~ь»»»гг' (Ь»)»Р (Ь») .— -- ~» "»Р (Ь»)»Р (Ь») =- д (х») д (х») . д» Итак, я(х) — характер группы Нь совпадающий, как легко проверить, на подгруппе Н с характером»р(х).

Поскольку существует г различных корней степени г из е», то таким образом можно построить г различных характеров дь ...д, группы Нь совпадающих с»р(х) на подгруппе Н. Так как аЯН, то г > 1 и (Н»! = г(Н! > (Н!. Следовательно, по первоначальному предположению, для каждого из характеров д» группы Н, существует ровно т= (6(/(Н1! характеров ти, -,т», группы 6, совпадающих с д; на подгруппе Н, ш, значит, с ф(х) на подгруппе Н.

Следовательно, приведенная .конструкция позволяет построить различных характеров группы 6, совпадающих с ф(х) на под.группе Н. Других характеров с этим свойством не существует. Действительно, пусть 11(х) характер группы 6, совпадающий с ф(х) на подгруппе Н. Так как а"е:— Н, то (Х(а))"=у,(а") =ф(а') =ы, и, значит, 11(а) есть некоторый корень степени г нз ы. Следовательно, найдется индекс 1, для которого Х(а) =д;(а). Поскольку для подгруппы Н, утверждение теоремы верно, то с некоторым индексом й, 1<й«т, имеем 2=11м на 6. Итак, утвсрждсние теоремы выполняется для подгруппы Н, что противоречит ее выбору.

Это противоречие означает, что первоначальное предположение неверно, и поэтому теорема справедлива. Доказательство теоремы конструктивно и позволяет фактически строить характеры. Ниже это будет показано на примере мультипликативной группы (л/тХ)* классов вычетов по модулю т, взаимно простых с пь. Следствие 1. Пусть 6 — конечнан абелева группа. Существует ровно ~ 6~ характеров группы 6. Выше этот факт был установлен для циклических групп прямым построением всех характеров.

Для доказательства достатючно применить теорему 1 с Н= = (е) подгруппой, состоящей из одного элемента е и единственным характером ф этой подгруппы, равным 1. С л е д с т в и е 2. Пусть а — некоторый элемент группы 6, г — наименьшее натуральное число такое, что а'=е. Тогда множество чисел т(а), где т пробегает характеры группсч 6, состоит из всех корней степени г из 1. При этом каждый корень .повторяется ~ 6~/г раз.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Н циклическую труппу, порожденную элементом а, (Н( =г. Из примера, разобранного перед теоремой 1, следует, что существует ровно г характеров ф1(х),..., ф„(х) группы Н. При этом числа ф;(а), 1=1, ..., г, составляют множество всех корней степени г из 1. По теореме 1 для каждого 1 существует ровно (6(/1Н( = (61/г характеров д(х) группы 6, совпадающих с ан(х) на Н, т.

е. таких, что у(а) =ф~(а). Значит, во множестве чисел у,(а), где 71 пробегает все характеры группы 6, встречается каждый корень степени г из 1, причем не менее (61/г раз. Так как по следствию 1 это множество состоит из ~ 6( чисел, го следствие 2 доказано. Т е ар ем а 2. Имеют место равенства ~ )а1, - х=Х. д, Х(а) = О, если Х ~ Х,; ! /6(, если а =- е, ~. Х(а) —. ( ( О, если аде, Х(Ь) ~' Х(а) = ~'Х(Ьа) =-~ Х(а).

(23) Последнее равенство выполняется ввиду того, что произведение Ьа пробегает всю группу 6, если а пробегает 6. Из равенства (23) получаем, что (Х(Ь) — 1) ') Х(а) =- О, а откуда, ввиду того что Х(Ь) чь1, следует доказываемое равенство. 2) Теперь докажем второе равенство. Если а=е, то утверждение имеет место ввиду следствия 1 из теоремы 1 и равенства (20). Пусть теперь аде и г — наименьшее натуральное число такое, что а"=е.

Тогда г) 2, и по следствию 2 из теоремы 1 где ~ь...,з,— все корни из 1 степени г. Числа зь...,5, составляют полный набор корней уравнения х" — 1=0, По теореме Виета з1+ ... +ь. = О. Теорема 2 доказана. Пусть т~ 1 — целое число. Определим числовые характеры по модулю т. Комплекснозначная функция Х(п), определенная для всех целых чисел и, называется числовым харак~срам по модулю т, если она удовлетворяет условиям: а) Х(п) =0 тогда и только тогда, когда (и, т)Ф1; б) Х(п) псриодична с периодом т; в) для любых целых чисел и и о х(ио) =х(и) х(о). где в первой сумме суммирование ведется по всем элементам а группы 6, а во второй — по всем характерам Х=Х(х) группы 6.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Докажем сначала первое равенство. Если Х=Х,, то первое утверждение очевидно. Пусть ХФХм Тогда найдется элемент Ье=6 такой, что Х(Ь)Ф!. Имеем Функция О, если (п,и) ~1, 1, если (и, пт) = 1 является, как легко проверить, числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю т называются неглавными. Имеет место следующее утверждение о числовых характерах. Т е о р е м а 3.

Существует ровно ф(т) числовых характеров по модулю гп. Если Х=Х(п) — числовой характер по модулю т, то: 1) Для и, взаимно простых с модулем т, значение Х(п) есть корень из 1 степени ф(т). 2) Для всех и выполняется неравенство !Х(п) ~ (1. 3) Имеет место равенство ф(гп), если К = Х, Х(п) == л=! О, если Х ч Х,. 4) Для каждого целого числа и Е ( ) = ~ 1 ф(т), если и= — 1 (шаги), Х(п) = х ~ О, если и ~ь 1 (пик(т), где суммирование проводится по всем числовым характерам по модулю пт. До к аз а тельство. Пусть Х(п) — некоторый числовой ха- рактер по модулю т.

Характеристики

Список файлов книги