А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Примеры алгебраических чисел. а«=зг2, «р«(х) =хь — 2, аз=)«3+1, «рз(х) =хе — 2х — 2, аз=(, «рз(х) =хе+1. 95 Любое рациональное число а является алгебраическим, как корень многочлена ~р(х) =х — а. Действительное или комплексное число а называется трансцендентным, если оно не является алгебраическим. Следовательно, трансцендентное число не может быть корнем никакого многочлена р(х) с рациональными коэффициентами, ср(х) чаО. Примеры трансцендентных чисел будут приведены гозднее.

Будет доказано также, что числа е и я являются трансцендентными числами. Если а — алгебраическое число, то по определению оно является корнем многочлена ~р(х) енЩх[. Среди делителей ~р(х) найдется неприводимый многочлен Г(х) яЩх) такой, что [(а) = =О. Итак, если а — алгебраическое число, то существует не- приводимый многочлен [(х)евЩх), корнем которого является а. Степенью алгебраического числа а называется степень не- приводимого многочлена ) (х) ~Щх), имеющего а своим корнем. Следствие из леммы 2 показывает, что данное определение степени корректно. Из леммы 1 следует, что степень алгебраического числа а есть наименьшая из степеней всех не равных тождественно нулю многочленов из Щх), имеющих а своим корнем.

Это свойство также можно было взять за определение степени алгебраического числа. Рациональные числа и только они являются алгебраическими числами первой степени. Действительно, если аенч1, то а есть корень многочлена 1(х) =х — а. Обратно, корень многочлена [(х) =Ьх+с, где Ь, се=0, ЬФО, является числом из ь). В приведенных выше примерах число а1 имеет степень 3, а числа из н аз — степень 2.

Непрнводимость соответствующих многочленов легко доказать. Нетрудно доказать, что при любом п~Х существует неприводимый многочлен [(х)~Щх) степени и. Например, [(х) = =х" — 2. Доказательство этого утверждения предоставляется читателю как упражнение. Построить примеры неприводимых многочленов любой степени и можно с помощью критериев неприводимости, имеющихся в алгебре, например критерия Эйзенштейна (см.

задачу 2 к гл. 4). Из существования нсприводимого многочлена степени п следует, что при любом п~й) существуют алгебраические числа степени п. Пусть а — алгебраическое число степени п. Существует не- приводимый многочлен из Щх] степени и, имеющий а своим корнем. Разделим все коэффициенты этого многочлена на его старший коэффициент. Получим неприводимый многочлен 1(х) степени и из Щх[ со старшим коэффициентом, равным 1, также имеющий а своим корнем. Многочлен !(х), удовлетворяющий указанным условиям, по следствию из леммы 2 единствен.

Минимальным многочленом алгебраического числа а называется неприводимый многочлен из Щх) со старшим коэффициентом 1, имеющий а своим корнем. Если а — алгебраическое число степени и, то корни аг, ... ..., а, его минимального многочлена !'(х) называются числами, сопряженными с а. Среди чисел, сопряженных с а, содержится и само число а. Поэтому всегда будем считать, что аг — — а. Числа а1, ..., а, — сопряженные с а — обладают следующими свойствами: 1) Все они являются алгебраическими чис гоми стеггени и и имеют один и тот же минимальный многочлен !"(х).

2) Числа аь ..., ал — сопряженные с любым из этих чисел (понятие сопряженности является взаимным). 3) Числа аг, ..., а, по лемме 3 различны, как корни одного неприводимого многочлена !('х). Если гл — алгебраическое число степени п и а1, ..., а,— числа, сопряженные с а, то будем обозначать (а~= гпах (а, !. г~гл.л Л е м м а 4. Если а — алгебраическое число степени и, аФО, то 1(а также алгебраическое число степени и. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию а является корнем не- приводимого многочлена из Щх) степени и: ((х) =а,х"+а„,х -1+ ...+аь. Поэтому а,а" +а„га'-'+ ...+аь=О.

Разделив обе части последнего равенства на а", получим а„,— ал 1 ( — ) + ... + а, ( — ) =- О. Обозначим гс (х) = аьх" + ... + а, х+ ал. Тогда гр(1!а) =О. Многочлен гр(х) неприводим, так как в противном случае !(х) был бы приводим. Тем самым утверждение леммы доказано. В дальнейшем будет необходима известная теорема о симметрических многочленах. Пусть К вЂ” коммутативное кольцо с единицей, К[аг, ..., ал] обозначает кольцо многочленов с коэффициентами из К от пе- ременных аь, а„. (2) 91 Многочлен Р(аь, а,)енК(аь ..., аь) (6) называется симметрическим многочленом от переменных (2), если он не изменяется при любой перестановке этих переменных.

Обозначим а ~ = а1+ ... + а„, аз=а~аз+ а~аз+ ... + а 1аь, (4) ап=а1 ° а. элементарные симметрические многочлены переменных (2). Они равны с точностью до знака соответствующим коэффициентам многочлена (х — а,) (х — а.). Теорема о симметрических многочлен ах. Любой многочлен (3), симметрический от переменных (2), единственным образом представляется в виде Р(аь ..., а,) =Н(аь, о„), где Н(оь ..., о„) а=К(оь ..., о,! многочленов — многочлен от элементарных симметрических (4) переменных (2). Рассмотрим несколько систем переменных аь ..., а„; ...; 6ь ..., 6„ (6) н пусть (б) аь ..., а„; ...; т)ь ..., и., — соответственно их элементарные симметрические много- члены.

Многочлен Р(аь ..., а„; ...; 6ь ..., 6,)еиК(аь ..., ал, '.-', 6ь .-, 6] (7) называется с мметрическим многочленом от нескольких систем переменных (5), если он не изменяется при любой перестановке переменных в каждой из этих систем. П р н м е р. Многочлен Р(а„а„а„а,; р„р„рь) = а, + а, + аз + а4 + р1рь + р1рь+ рхрг является симметрическим многочленом от двух систем величин ан а2, ам а4 и фь р2, нз. Теорема о симметрических многочленах легко обобщается иа случай нескольких систем переменных.

Теорема. Любой многочлен (7), симметрический от нескольких систел» переменных (5), единственным образом представляется в виде Р(аь ..., ал', - ' бь ", 6») =Н(о», ..., аи', -, 'Чь - Ч.) где Н(о», ..., оч, .-~ Чь -., Ча) ~К[а! - ол~ ..л Ч! - Чы) — многочлен от элементарных сил»метрических многочленов (6) систел! переменных (5). Л е м м а 5. Пусть а, ..., б — алгебраические числа, а (5) соответственно сопряженные с а, ..., 6. Далее, Р=Р(х; а», ..., а„; ...; 6», -, 6»)«=0[х; а», ..., а; ...; 6», ..., 6), и Р как многочлен от величин (5) с коэффициентами из О[х) является симметрическим многочленом ог нескольких сис- тем величин (5).

Тогда Р=Р(х) «=О[х), а если Р не зависит от х, то Р~О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим Р как многочлен от величин (5) с коэффициентами из О[х). Поскольку Р является симметрическим многочленом от нескольких систем величии (5), а элементарные симметрические многочлены (6) величин (5) равны с точностью до знака соответствующим коэффициентам минимальных многочлснов чисел а, ..., б, являющихся числами из О, то по теореме о симметрических многочленах от нескольких систем переменных Р есть многочлен из О[х), а если Р не зависит от х, то Р«нО. Теорема 1. Если а и р — алгебраические числа, то числа ач 6, а — р, ар, а в случае если [~ч«0, то и а»»5 являются алгебраическими числами, т.

е. множество всех алгебраических чисел образует поле. Доказательство. Пусть а», ..., а — числа, сопряженные с а, а [т„..., р, — числа, сопряженные с р. Рассмотрим многочлены Р,(х) = П П (х (!"! ~ р!)) »=! »=! В 5 Р.(х)= П П( — аД) »=1 т=! Как многочлены от а», ..., а, р», ..., р, с коэффициентами— многочленами из У[х) они являются симметрическими много- членами по двум системам величин.

Поэтому по лемме 5 Р! (х), Рг(х) «=О[к]. Но многочлены Р,(х) и Рг(х) имеют своими корнями соответственно числа а-~-р и ар и отличны от нуля. Значит, числа а~[» и ар являются алгебраическими числами. Так как и/[)=а 1/5, то соответствующее утверждение для частного следует из доказанного для произведения и леммы 4. Из доказательства теоремы 1 следует также, что степень суммы, разности, произведения и частного двух алгебраических чисел не превосходит произведения их степеней. Обозначим через А поле всех алгебраических чисел.

Поле 0 рациональных чисел можно расширить до поля А всех алгебраических чисел путем присоединения к О корней всех многочленов из 0[к[. Естественно возникает следующая проблема. Можно ли расширить подобным образом поле А, если к нему присоединить корни всех многочленов с коэффициентами из А? Докажем, что образованное таким способом поле будет совпадать с полем А. Теорема 2. Если число ', — корень многочлена (8) $ (х) = хы+ ахм+1+ „.

+ б, коэффициенты которого а, ., б — алгебраические числа, та е также есть алгебраическое число. Доказательство. Пусть величины (5) обозначают соответственно сопряженные для а, ..., б. Рассмотрим многочлен Р(х) = П ... П (х. + а, "-' р ... + б,). г ~ г=1 Как многочлен от величин (5) с коэффициентами нз У[к[ он является симметрическим многочленом от гп систем величин (5). Поэтому по лемме 5 получаем, что Р(х)е-:Щх[. Но Р(х) делится на ф(х).

Отсюда следует, что Р($) =О. Это доказывает, что к — алгебраическое число. Из этой теоремы следует, что поле А является алгебраически замкнутым. Напомним, что поле К называется алгебраически замкнутым, если в кольце К[х[ любой многочлен разлагается на линейные множители. Изучая арифметические свойства чисел поля А и его подполей, целесообразно обобщить понятие целого числа на алгебраические числа. Алгебраическое число а называется целым алгебраическим, если его минимальный многочлеи [(х) имеет целые коэффициенты.

Характеристики

Список файлов книги