А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Построение характеров, осуществленное в 9 3, отличается от проведенного Дирихле. Дирихле выписывал характеры в явном виде, используя доказанные Гауссом результаты о существовании так называемых первообразных корней. После знаменитой работы Римана о дзета-функции Ь-функции стали изучаться как функции комплексного переменного. Привлечение новых методов исследования позволило сделать намного короче первоначальное доказательство Днрихле и, более того, получить ряд новых количественных результатов. Для произвольного характера т функция Е(з, у) аналитически продолжается на всю комплексную плоскость. При этом для так называемых примитивных характеров ее значения оказываются связанными функциональным уравнением, подобным функциональному уравнению для дзета-функции.
Так же, как и дзета-функция, Ь-функции Дирихле имеют в критической полосе 0<Вез(! бесконечное число нулей, и информация о их расположении оказывается весьма важной при научении вопросов распределения простых чисел в прогрессиях. В 1899 г. Валле-Пуссен установил асимптотическую формулу для я(х, т, 1) — количества простых чисел в прогрессии (1), не превосходящих некоторой величины х. Оказалось, что независимо от числа 1, (т, () =1, 1 х я (х, и, () — при х-+. -;- оо, ~р(т) 1и х т. е. простые числа распределяются примерно поровну между всеми арифметическими прогрессиями (1). Валле-Пуссен установил в действительности более сильный результат.
Он, как н в асимптотпческом законе распределения простых чисел, получил оценку остаточного пена в асимптотической формуле для количества простых чисел в прогрессии. Существует предположение, так называемая расширенная гипотеза Римана, что не только у дзста-функции, но и у всех А-функций Дирихле нули в критической полосе лежат на прямой Кез=1/2.
В настоящее время доказаны намного более слабые результаты. Важную роль при исследовании теоретикочисловых задач играют утверждения об отсутствии нулей 7.-функций в некоторых областях, а также верхние оценки числа нулей одной или многих 7.-функций в прямоугольных областях критической полосы — так называемые плотностные теоремы. Из теоремы Дирихле следует, что в каждой арифметической прогрессии (1) существуют простые числа.
Сколь большим может быть наименьшее из ннхй В 1944 г., используя идею плотности нулей, Ю. В. Линник доказал, что существует абсолютная постоянная с такая, что в каждой прогрессии вида (1) есть простое число, не превосходящее и'. Со свойствами 1,-функций Дирихле и пх применениями прн исследовании различных задач теории чисел можно познакомиться, например, по книгам Л. А. Карацубы [8), К. Прахара [9[, К. Чандрасекхарана [16) и [17) и Н.
Г. Чудакова [!8). Существует элементарное доказательство теоремы Дирнхле (см., например, [9[). В настоящее время мало что известно о распределении простых чисел в последовательностях, растущих быстрее арифметических прогрессий. В частности, ни для одного многочлена с целыми коэффициентами степени, большей 1, не доказано, что среди его значений при натура,тьных значениях аргумента содержится бесконечное множество простых чпссл. Например, неизвестно, конечно плп бесконечно множество простых чисел в последовательности и'+ 1, и = 1, 2, .... Неизвестно также, конечное или бесконечное множество простых чисел содержится в последовательности 2" — 1, и=- =1, 2, .... В то жс время самые большие пз найденных к настоящему времени простых чисел имеют как раз такой внд (см.
ф 3 гл. 1). ЗА 1!А Чо 1) Пусть р — простое число, р)3. Доказать, что если сравнение х'+х+! =0(гное р) разрешимо, то р имеет впд бп+1. Вывести отсюда, что множестао простых чисел вида бп+1 бесконечно. 2) Пусть р — простое число, р>5. Доказать, что если сравнение х'+х'+х'+х+ 1=0(гпоб р) разрешимо, то р имеет вид 5п+1. Вывсстп отсюда, что множество простых чисел вида 5п+1 бесконечно. 3) Пусть р — простое нечетное число. Доказать, что если сравнение хг.5 1 в = 0(гпог( р) разрешимо, то р имеет вид 8п+1. Вывести отсюда, что множе- ство простыд чисел вида 8п+ 1 бесконечно. Пусть р — простое нечетное число. Определим для каждого /а ! целого числа а так называемый символ Лежандра 1 — ), по- ~.
Р ложна — ==. О, если р(а; ~")=- Р / — ) .—. 1, если сравнение ха: — а(ппх1р) разрешимо; ('') =-, ,Р ~ )= — ) = — 1, если сравнение х'=а(шог(р) неразрешимо. а 1 Р 4) Доказать, что р--! — ) =— а (п!о!1 р). ~')= '-' Р/ 5) Доказать, что символ Лежандра ( — ) является харак- / а '! , Р тером по модулю р, т. е. а) для любого а б) для любых а, Ь !а0) /а)/ь) (использовать утверждение задачи 4); в) ~ — ) =-1.
6) С помощью задачи 4 доказать, что ('=') =-( — 1) 2 Р 7) Пусть р — простое нечетное число. Для двух комплексных чисел а+И, с+а!! из кольца Х[!) будем писать а+ Ы= с+!!! (шо!1 р), если сравнимы по модулю р их действительные и мнимые части. а) Доказать, что выполняется сравнение (1 — !) р=! — !р(п!о!1 р). (1— б) Пользуясь результатом пункта а) и равенством — !)2= — 2!, доказать, что р — 1 р †! ~2 1 — ! !2 ( 1!) 1 — !' в) Вывести из пункта б), пользуясь результатом задачи 4, что (-~=~~ в ) ] 1, если рю1, 7(пнх1 8), р l ] — 1, если рея 3, 5(шог( 8).
г) Проверить, используя пункт в), что 'р* — ! ~ — ')=-( — 1) ' . 8) Доказать с помощью задачи 7, что простых чисел вида Зп — 1 бесконечно много. 9) Доказать, что если сравнение х'+2==0(гпод р) разрешимо, то либо р имеет вид 8л+1, либо р имеет вид Эп+3. Вывести с помощью этого утверждения, что простых чисел вида 8п+3 бесконечно много.
10) Целью этого упражнения является доказательство так называемого квадратичного закона взаимности, позволяющего вместе с результатами задач 5 — 7 легко вычислять значение () а ! — для любого целого а. Р Пусть 'д — простое нечетное число н ~= — есипч — корень степени д нз 1. а) Пользуясь результатом задачи 3 гл. 4, доказать, что каждое число из кольца Х[Г] единственным способом представимо в виде из+а!~+,.+а, з",ч -, а,~Х. (56) Для любых двух чисел а, !1епХ["] будем писать при простом р ь=!1 (то![ Р), если в представлениях чисел 5, т1 в виде (56) попарно сравни- мы по модулю р соответствующие коэффициенты.
Проверить, что для сравнений по модулю р в кольце Х[;] выполнены свой- ства 1 — 3 пз 5 1. Обозначим '=Х( —,11' ХЯ м=а б) Доказать, что тл — ': — ( ~ ) (аппо!(р). в) Доказать, что )~=(-1)' ц. а) Доказать, что в области Вез)1 справедливо представ- ление 6(з) = ~~1~ — ",, и=! (57) где б) Доказать, что Ь| — целые неотрицательные числа и Ь„* ~1.
в) Доказать, что ряд (57) расходится в точке а=1/2. г) Обозначим А(х) = ')" Ь„. й~Х Доказать, что из предположения Е(1, т) =-0 следует равенство А(х) =- 0()~т). д) Пользуясь утверждением леммы 4 гл. 2 доказать, что в предположении пункта г) ряд (57/ сходится к функции 6(з) в области Ке з>1/2. е) Пользуясь аналитичностью функции 6(з) в точке а=1/2, привести к противоречию утверждения пунктов в) н д). ГЛАВА 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА.
ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЕЛ е И и $1. Алгебраические числа В дальнейшем потребуются некоторые свойства многочленов с коэффициентами из поля рациональных чисел С). Множество таких многочленов образует кольцо, которое обозначают Щх). Многочлсн [(х) енл1[х) делится на многочлен ф(х) енЩх), если существует многочлен 1)(х) ен1.)[х) такой, что [(х) =а(х) р(х). В случае делимости )(х) на ф(х) многочлен ф(х) называется делителем многочлена [(х), а [(х) — кратным многочлсна ф(х) Если [(х) делится на ф(х), то говорят также, что ф(х) делит многочлсн [(х), Многочлен положительной степени [(х) ~л)[х[ называется правое)имым, если существуют два многочлена положительной степени [~(х) н [г(х) из Щх) таких, что [(х) =[~(х)[г(х). В противном случае многочлен [(х) называется неприводимым. Из определения следует, что любой многочлен первой степени неприводим.
В кольце многочленов Щх) имеет место теорема о делении с остатком: Если [(х) и ф(х) — любые многочлены из Щх), а ф(х) имеет положительную степень, то существуют многочлены д(х) и г(х) из 0[х) такие, что [(х) =д(х)ф(х)+г(х), (1) а степень г(х),ченьше степени ф(х). Лемма 1. Оеприводимыи многочлен [(х)енЩх) сгепена и не может и,чегь общего корня с не равным тождественно нулю многочленом ф(х) е=фх[ степени, меньшеи, чем и.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное, что [(х) и ф(х) имеют общий корень а. Среди всех не равных тождественно нулю многочленов из Щх), которые имеют своим корнем число а, найдется многочлен наименьшей степени пл, где, по предположению, 1~пл(п. Будем считать, что ф(х) обладает этим свойством. По теореме о делении с остатком выполняется равенство (1), где 'а(х) и г(х) — многочлены из Щх), а степень г(х) меньше степени «р(х).
Положим в этом равенстве х=а. Тогда 1(а) =0 и «р(а) =О. Поэтому и г(а) =О. Но число т выбрано так, что а не может быть корнем не равного тождественно нулю многочлена из Щх) степени, меньшей, чем т. Поэтому г(х) =0 н ((х) =о(х)«р(х), что противоречит неприводимости миогочлена 1(х). Лемма доказана. Л е м м а 2. Если многочлен «р(х) ыЩх) имеет общий корень с неприводимым многочленом 1'(х) ~Щх), то ((х) есть делитель «р(х), а поэтому каждый корень ((х) является корнем «ь(х).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т и и — соответственно степени многочленов «р(х) и ((х). Если т=О, то «р(х) — = О, так как «р(а) =О, и лемма справедлива. Пусть т>0. Применяя теорему о делении с остатком, получим «р(х) — «1(х)((х)+г(х), «т(х), г(х)ен()(х), где степень г(х) меньше, чем и. Полагая в этом равенстве х=а, получим г(а) =О, а тогда по лемме 1 г(х) = — 0 и «с(х) =«)(х)1(х), что завершает доказательство леммы.
С л е д с т в и е. Если два неприводил«ых многочлена из ьг[х) ил«еют общий корень, то они отличаются на постоянный м ножи тел ь из ь1. Действительно, по лемме 2 неприводимые многочлены, имеющие общий корень, делят друг друга и поэтому отличаются только постоянным множителем из б). Л ем ма 3. Непр««водимь«й многочлен ((х)~Щх) не может иметь кратных корней. Доказательство.
Если бы 1'(х) имел кратный корень, то он имел бы общий корень со своей производной ('(х), которая есть многочлен из Щх) степени, меньшей, чем степень 1(х) и ('(х) чьО. Но последнее по лемме 1 для неприводимого многочлена невозможно. Число а называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена «р(х) =а„х"+...+а«х+а„«р(х) чьО, с рациональными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
