А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Из пункта б) определения следует, что Х(п) задает некоторую функцию ф(й) на мультнплнкативной группе 6„=(ХИпХ)" классов вычетов по модулю и, взаимно простых с т, а именно ф(д) =Х(п); здесь и в дальнейшем д обозначает класс вычетов по модулю тп, содержащий и. Так как Х(1)ФО, то ф(д) не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что ф (иб) = ф(ио) =Х(ио) =Х(и) Х(о) =ф (и) 1 (й). Т аким образом, ф(д) есть характер мультппликативной группы 6 Обратно, по каждому характеру ф(п) группы 6 можно построить числовой характер Х(п) по модулю т, положив Х(п) = О, если (п,т)~1, ф(п), если (п,гп) = 1. 4 зан. 19а Установленное соответствие, очевидно, является взаимно-однозначным. И все утверждения теоремы 3 следуют теперь иэ доказанного выше для групповых характеров применительно к группе 6, если учесть, что ~6 ~ =ср(гп), где ~Г(т) — функция Эйлера.
В дальнейшем слово характер будет обозначать числовой характер по некоторому модулю т, если не оговорено, что рассматривается групповой характер. Рассмотрим некоторые примеры. 1. т=2. Так как Ч~(2) =1, то существует единственный характер по модулю 2: ( О, если п четно, Хр(п)— 1, если и нечетно. 2. гп=З. Существуют ~р(3) =2 характера: ( О, если 3(п, Хо(п) = ~ 1, если 34' и, О, если п=О(шос$3), К~(п) = 1, если п=1(шоПЗ), — 1, если и= 2(гподЗ). 3 . т=4. Мультипликативная группа классов вычетов 64 является циклической порядка 2. Она порождается классом вычетов по модулю 4, содержащим число 3. Поэтому существуют только два характера по модулю 4: О, если п четно, Хо(п) = 1, если и нечетно.
О, если п четно, Хг(п) = — 1, если и= — 3(мог(4), 1, если п=1(шод4). Этн характеры использовались в доказательстве частных случаев теоремы Дирихлс, рассмотренных в З 2. 4. гп= 5. Мультипликативная группа классов вычетов 6з является циклической порядка 4. Она порождается, как легко проверить, классом вычетов, содержащим число 2. Поэтому существуют четыре характера Хм хь хв Х, по модулю 5, которые можно задать равенством О, если и= — О(гпос15) х(п) = ы~, если п=2ь(той 5), й = О, 1, 2, 3, где м=х(2) — некоторый корень четвертой степени из 1, т. е.
одно из чисел 1, — 1, й — й 5. т=8. Группа классов вычетов ба=(Х/8Х)* имеет порядок 4. Значит, существуют 4 характера по модулю 8. Исполь- 74 зуем снова обозначение а для класса вычетов по модулю 8, содержащего число а. Циклическая подгруппа Н=(1, 3)~6о, порождаемая элементом 3, имеет порядок 2. Значит, она имеет два групповых характера 4!о, !р!, задаваемые равенствами 4о(1) =1, !Ро(3) =1, !р (1) =1, Ф (3) = — 1. По теореме 1 каждый из групповых характеров !р(х) имеет в точности два продолжения на группу 6о. Так как 5о~Н и в группе 6о имеет место равенство 5'=1, то, полагая Х(х) =!р(х) на Н и Х(5) равным квадратному корню из 1, получнм все 4 групповых характера группы 6о. 1 3 5 7=3 5 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 (24) 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1.
Хо Х! Хо Хз З десь хаРактеРы Х„Х, ЯвлЯютсЯ пРодолжениЯми !Ро, а Хо и Хз продолжают !р!. При этом положено Х(7) =Х(3.5) =Х(3)Х(5). Числовые характеры по модулю 8 получаются из групповых характеров (24) с помощью равенств О, если п четно, Х(п) = Х(п) ести п нечетно Например, О, если п=О (шод2), Хо (п) = 1, если и =— 1, 7 (!по!(8), — 1, если п=3,5(пнх18). В дальнейшем потребуется еще одно утверждение о число- вых характерах. Обозначим для каждого х, х~ 1, 5(х) =- ~ Х(п), !!ак где суммирование ведется по всем натуральным числам п, не превосходящим х. Лемм а 2.
Пусть Х(п) — неглавный характер. Тогда для каждого х, х) 1, справедливо неравенство ~5(х) ) <и. Доказательство. Функция Х(п) периодична с периодом ти и по теореме 3 ~ Х(п) = О. !!=! Поэтому, представив [х] — целую часть числа х — в виде [х]=ту+с, 0<с(т, будем иметь ~л ' [л[ [л[ 8(х) = З([х]) =д~' 1[(п)+ ~' 1[(п) = ,'~ Х(п) л=! л=лЗЧ+! л=тд+1 Ввиду неравенства ]1[(п) ] <1 отсюда получаем [5(х) ] <г<т. и 4. Е-функции Дирнхле Пусть т(п) — произвольный характер по модулю т. Рассмотрим ряд (25) л=! члены которого являются функциями комплексного переменного э.
В области сходимостн он определяет функцию, которая называется Е-функцией Дирихле, соответствующей характеру т(п), н обозначается Е(э, т). Функции Еа(э), Е[(э), встречавшиеся в э 2, являются Ь-функцнямн, соответствующими характерам по модулю 4. В этом параграфе будут изучены некоторые свойства Е-функций, необходимые для доказательства теоремы Дирихле. Лемма 3. 1'. Если Х~1[л, то ряд (25) сходится в области Вез>0 и определяемая им функция Е(э, 1[) является аналитической в этой области.
2'. РЯд, опРеделЯюЩий Е(э, 1[а), сходитсЯ в области Кеэ>1. Функция !'.(э, та) является аналитической в области !хеэ>1. Доказательство. Пусть х(п) — произвольный характер по модулю т, а б — некоторое положительное число. Так как ]Х(п) [ <1, то в области Кеэ>1+б справедливо неравенство Следовательно, ряд (25) равномерно сходится в области Кеэ>1+б. Определяемая им функция Ь(э, 1[) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области.
Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение леммы 3. Для неглавных характеров 1[(п) потребуется более сложное исследование ряда (25). Воспользовавшись леммой 4 гл. 2, получим равенство (26) л=! ! где Поэтому интеграл 1 5(х)х- -11(х 1 сходится в области Кез>б. Поскольку в этой области выпол- няется неравенство то из равенства (26) следует, что ряд (26), определяющий функцию !'.(з, Х) сходится в области Кез>б. Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа б.
Значит, ряд (25) сходится в полуплоскости Кс з>0. Из равенства (26) следует, что в этой полуплоскостн для Е-функции, соответствующей неглавному характеру Х(п), справедливо представление Е(з, Х) =- з ) 5(х) х-'-11(х. ! (27) Интеграл, стоящий в правой части равенства (27), можно также представить в виде +ел е л+1 5(х)х ' '1(х= '). ) 5(х)х-'-'1(х. 1 л=1 л (28) Члены ряда (28) являются аналитическими функциями в обла- сти Ке з>б, что следует нз равенств л+1 л+1 5(х)х-'-11(х = — 5(п) ~ х-'-!ах= †. ( — — ), 1 л (, л' (л+1)' При этом использовано, что на полуинтервале и~х<п+1 функция 5(х) принимает значение 5(а).
Поскольку 5(х) = ) Х(а) л~л — функция, введенная в конце $3. Для а=о+И из области о=Ке з>б, где б — некоторое положительное число, пользуясь леммой 2, находим ) 5 (х) х-'-' ( ~< т х — а — ' . Поэтому 7-( )= П (1 — —,',) ' Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана ($ 1 гл. 2), получаем равенство (30). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области Кез>0 с единственным полюсом первого порядка в точке я=1. С л е д с т в и е 2.
Для каждого характера т ухункйия 7. (з, т) не обращается в нуль в области Кез>1. Доказательство. Если о=Ке з>1, то Пользуясь неравенством (9) пз гл. 2, находим: поэтому (31) где произведение берется по всем характерам по модулю ах. Все сомножителя, соответствующие неглавным характерам по лемме 3 являются аналитическими функциями в рассматриваемой области. По следствию 1 леммы 4 7.(з, ть) — также аналитическая функция в этой области, за исключением единственной точки в=1, где она имеет полюс первого порядка.
Значит, если среди 7.-функций, соответствующих неглавным характерам т, найдется функция, имеющая в точке в=1 нуль, то этот нуль погасит полюс 7. (з, д,), и функция г" (з) будет аналитической во всей области Кев>0, В противном случае г(з) имеет полюс первого порядка в точке в=1. Ниже будет проведено исследование аналитических свойств функции с(з). Ближайшей целью дальнейших рассуждений будет доказательство утверждения, что 7.-функция, соответствующая неглавному характеру т, в точке з=1 отлична от нуля.
Для этого понадобятся две леммы, при помощи которых необходимый факт будет установлен в лемме 7. Рассмотрям в области Кев>0 функцию г" (з):=- П Х. (з, Х), х Этот ряд абсолютно сходится в круге 1г! < 1. Полагая в равенстве (35) д = ар, г =- р р', где р — простое число, не делящее т, и г — комплексное число из области Вез)1, по- лучим я-л и (1 — р-!р')-" = ~ — ", рМ »» а (36г где О, если л не делится на ~~, (37~ )', если л=т) . (ар — !)' ы Из абсолютной сходимости рядов (36) и основной теоремы арифметики (3 2 гл. 1) следует, что имеет место равенство П (' — "') "=-Х' —;;, (38) рмл' л=! !рлл1=1 г де О , если (и, л!) ~ 1, (зй): ир„»,...
и„,»,, если (и, т) = 1, п = р»!'... р!1, а штрих означает, что суммирование ведется только по тем натуральным числам !г, все простые делители которых не превосходят Л!. Пусть а — действительное число, о) 1. Тогда из равенства, (38)„ ввиду того что а,) О, получаем Х.":- +<Х +< П (1-~") "=="() л=1 л=! !р,гл1=! Следовательно, ряд Х+ л=! (40) ~ и '- "' "-~ — „". ~ == ~ х' — '„: ~ < рк»! л=л+~ !ррл1=1 < ~~~ л р< л=в!+ ! л=л+! сходится. Пользуясь равенством (38), находим для »=о+!1 из области 1(ел~1 Переходя в этом неравенстве к пределу при 6!- +со и пользуясь равенством (34), а также сходимостью ряда (40), получаем при в из области Кев>1 равенство (32), где коэф!рициенты а задаются формулами (39), (37).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
