А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Данное определение означает, что целое алгебраическое число есть корень неприводимого многочлена из Х[х[ со старшим коэффициентом, равным единице. Если тевУ, то т является корнем неприводимого много- члена /(х) =х — пг. Это означает, что все числа из Š— целые алгебраические числа. Все сопряженные с целым алгебраическим числом являются целыми алгебраическими числами, так как они имеют один и тот же минимальный многочлен. П р имер 1. Число 1+]13 является целым, как корень не- приводимого многочлена [(х) =х' — 2х — 2. 1-';1 3 П р н м е р 2. Сопряженные числа являются це- 2 .лыми, как корни неприводпмого многочлена [(х) =х' — х+1.

Теорема 3, Если число а есть корень многочлена ф(х)е= еиУ[х] со старшим коэффициентом, равным 1 Гне обязательно неприводимого), то а — целое алгебраическое число. Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть ф (х) — х'" + Ь„, ~х — ' + ... + Ь,, ~р (х) =- а,х" --, '- а„ьх"-' + ...

+ а,, а„) О, — неприводимый и примитивный многочлен с коэффициентами из У, имеющий своим корнем число а. Напомним, что многочлеи из У[х] называется примитивным, если его коэффициенты взаимно просты. По лемме 2 многочлен гр(х) является делителем многочле.на ф(х). Поэтому — =- — д(х), с, д ен М, (с, й) - 1, ~р (х) с ~р (к) где д(х)еиУ[х] и является примитивным многочленом.

Тогда мз равенства г(ф (х) =с<р(х) д(х) получаем, что с=Й, так как многочлен ~р(х)д(х) как произве.дение двух примитивных многочленов по известной лемме Гаусса есть примитивный миогочлен, а ф(х) — примитивный многочлен по условию леммы. Теперь нз равенства ф(х) =<р(х)д(х), сравнивая в его обеих частях старшие коэффициенты, получаем, что коэффициент а, многочлена ~р(х) должен делить стар.ший коэффициент миогочлена ф(х), равный 1. Отсюда следует, что а„=1, а тогда ~р(х) — минимальный многочлен числа а, .и по определению а есть целое алгебраическое число. Тсорема 3 более удобна, чем определение, для проверки того, является ли а целым алгебраическим числом. Пользуясь ею, не надо проверять неприводимость многочлена, корнем ко.

.торого является число а, что часто связано с большими трудностями. Л е м м а 6. Пусть а, -., 6 — целые алгебраические числа, .а числа (5) — соответственно сопряженные с а, ..., 6. Далее, Р=Р(х; аь ..., а,; ...; Ьь ..., 6 ) енУ[х; аь ..., а,; ...; 6ь ..., 6,] и Р как многочлен от величин (5) с коэффициентами иэ У[х] 101 является симметрическим многочленом от нескольких систелв величин (5). Тогда Р=Р(х) АХ(х), а если Р не зависит от х, то Рс=Х. Доказательство повторяет доказательство леммы 5 и отличается только тем, что теперь элементарные симметрические многочлены всех систем величин (5) являются числами из Х.

Теорема 4. Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел а и 6 также являются целыми алгебраическими числами, т. е. множество всех целых алгебраических чисел образует кольцо. Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 1. Но только в нем вместо леммы 5 используется лемма 6, а в конце рассуждений используется теорема 3.

Кольцо всех целых алгебраических чисел будем обозначать символом Хк. ПРимеР 1. Число )~2~Ха, как коРень многочлена 1(х) = =х' — 2. Поэтому все числа а+Ь~2 принадлежат Хк при а„ Ь АХ. Пример 2. Число !еиХл, как корень многочлена 1(х) = =-х'+1.

Поэтому все числа а+Ь! принадлежат Хк при а, Ьеи ~Х. Теорема 5. Если число ь~ — корень многочлена лр(х) (8), коэффициенты которого а, ..., б — целые алгебраические числа, то ь~ — гамаке целое алгебраическое число. Эта теорема доказывается аналогично теореме 2, но с помощью леммы 6 и теоремы 3 вместо леммы 5. П р и м е р. Если а~Ха, то все корни й-й степени из а, Ь==-2, также принадлежат Хл. Если а — рациональное число, то существует г~й( такое„ что га есть целое число. Действительно, пусть а= — ", аен Х, Ьеи й(.

ь' Полагая г=Ь, получим, что та=а, т. е. таенХ. Аналогичное утверждение выполняется н для целых алгебраических чисел. Теорема 6. Если аенА, то сулцествует число тенй( такое,, что та~Ха. Доказательство. Пусть многочлен а (х) =.. а„х" + а„1х" — ' —; ... + а, а„) О, д (х) ~ Х (х1 имеет а своим корнем. Тогда д (а) =- а„сс" + а„1а" ' + ... + аь =- О. Обозначим г=а„и умножим обе части последнего равенства на т" '. Получим 102 г"-'я(а) = — (ги)" + а„1(га)" — ' + га„з (ги)" — ~+ ...

... + г" — 'иа:= ф(га) = О, (9) где ф(х) =- х" + а„~х" — '+ гп„. эх" — '+ .. + г" — 'а„. Из равенства (9) по теореме 3 следует, что га есть целое .алгебраическое число. Из теоремы 6 следует, что любое алгебраическое число а можно представить в следующей форме; а = —, б е= 2а, г е= Х, г В этом парагоафе были рассмотрены саь1ые простейшие сведения об алгебраических числах. Следует заметить, что теория алгебраических чисел является большим и важным разделом математики, имеющим свои методы и глубокие проблемы.

Читатель может ознакомиться с основами этой теории по книгам (1, 51. 5 2. Приближение действительных чисел рациональными числами Пусть а — действительное число. Как в теоретических, так и в практических задачах часто приходится прислцженно заменять число а рациональной дробью р/д, где р и гг — целые числа, д)0. При этом возникает вопрос об оценке погрешности прп такой замене. Поэтому в теории чисел изучают поведение величины (а — — ! (10) 1аз и ее оценку при различных значениях р н д. Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действительных чисел, то при соответствую|цем выборе чисел р и и величина (10) может быть сделана меньше любого наперед заданного числа.

Поэтому интересно изучать относительную малость велцчины (10), т. е. выяснять, сколь малой может она быть, если и не превосходит некоторого натурального числа д, или, иначе, сколь хорошо действительное число а может быть приближено (аппроксимировано) рациональными дробями р/д в зависимости от величины знаменателя д. Поведение величины (10) обычно оценивают следующим юбразом. Пусть ~р(д) — некоторая положительная функция от д, убывающая с ростом д. Исследуется, для каких функций ~р(д) неравенство ~ а — — ~ ( ~р (д) имеет бесконечное, а для каких — конечное множество решений в целых числах р и д, р/дчьа.

Будем говорить, что действительное число а допускает приблиэкение рациональными числами р/д порядка ср(д), если существует постоянная с>0, зависящая только от а и функции ~р(д), такая, что неравенство ~ а — — ~ ( с~р(д) имеет бесконечное множество решений в числах р/д, р/дФа. Часто в качестве функции ~р(д) выбирают функцию <р(д) =- —, т ) О.

Придавая ч н с различные положительные значения, выясняют, когда неравенство ~а — — ~( —, имеет бесконечное или конечное множество решений. Пусть а=а/Ь, аенХ, Ье=М, (а, Ь) =1. В атом случае вопрос о поведении разности (10) решается просто. При любом деив1 существует число ре=Х такое, что р а р+1 — < — ( ь ч Тогда (11) Придавая д различные значения, не кратные Ь, убеждаемся в том, что существует бесконечное множестно дробей р/д, р/дФа, удовлетворяющих неравенству (!1). Это означает, что а допускает приближение рациональными дробями р/д порядка 1/д. С другой стороны, для любой дроби р/д, р/дФа/Ь, Отсюда следует, что при любой постоянной с, 0(с(1/Ь, неравенство )а — ~ ~(— (13)~ ч ч не имеет реи|ений в числах р/д, р/дЯа. !04 Порядок приближения рациональными числами для различных действительных чисел различен. В дальнейшем будет показано, что все действительные иррациональные числа допускают приближение рациональными дробями порядка 1/ут, а также что среди них существуют числа, допускающие приближение сколь угодно хорошего порядка 1/д', где т>0 — любое действительное число.

Теорема Дирихле. Пусть а — действительное число,. а 1 — натуральное число. Тогда существуют целые числа р и д такие, что выполняются неравенства а — я 1 < —, О < с/ < 1. (14) ч1 Ф Д о к а з а т е л ьс т в о. Применим принцип Дирнхле, который основан на очень простой идее: если тп предметов распределить по и ящикам, то при т>п хотя бы в один ящик попадет не менее двух предметов. Рассмотрим 1+! чисел: (ах)=ах — [ах], х=О, 1, ..., 1. (15) По свойству дробных долей 0~(ах)< 1. Разделим полуннтервал О~у<1 на 1 валов (161 равных полуинтер- — <у<, й=0,1,,! — 1, ь Л -1- 1 1 (17) Положим хт — к~ =у, [ахт) — [ахи =р.

Очевидно, что 6<у (й Вводя эти обозначения в неравенство (18), получим неравенства 1 / — р)< —, О<в <1, 1 из которых следует утверждение теоремы (14). Ранее было показано, что для рационального числа а=а/Ь Каждое из чисел (15) ввиду неравенств (16) будет принадлежать только одному из полуинтервалов (!7), так как последние не имеют общих точек.

Но чисел (15) ровно 1+1, а полу- интервалов (17) ровно 1. Поэтому среди полуинтервалов (17) найдется такой, который содержит две из точек (!5). Пусть. это будут числа (ах,) = ах, — [ах ), (сыч) =- ссх, — [ахь), х, ) х,. Тогда )(ахч) — (ах,)) = — ) сс(х,— х,) — ([ахт) — [ахт!) ! < —. (18) 1 неравенство (12) выполняется при любой дроби р/д, р/д~а. Поэтому при 1>Ь неравенство (!4) имеет лишь тривиальное решение р/!7=а/Ь.

Характеристики

Список файлов книги