А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Допустим противное, что л — рациональное число, л=а/Ь, Ь) О. Положим в равенстве (67) 7(х) " х»(л — х)" = х»(а Ьх)» »! »! при достаточно большом натуральном и. Так как многочлен 1(х) имеет число 0 корнем кратностш и, то 1(0) =1'(0) = ... =1ч» '>(0) =О. являются целыми. Поскольку 1(х) =1(л — х), то >и>(х) =( — 1)>(»>(л — х), 1=0, 1, 2,... откуда при х=л 71' (л) =( — 1)>(и>(О), 1=0, 1,2,.... Поэтому 1>о(л) енХ, 1=0,1,2, .... Значит, Р(л)+Р(0) есть число из У. Итак, правая часть равенства (67) есть целое рациональное- число. Покажем, что при достаточно большом п будет выполнятьсл неравенство О ( ) 1 (х) а1в х >(х ( 1. ь 119~ По лемме 7 все коэффициенты производной многочлена х»(а — Ьх)» порядка 1 делятся на Л.
Поэтому все производные. многочлена 1(х) порядка 1~ и имеют целые коэффициенты. Отсюда следует, что все числа 1(0), 1'(0), ... 1<'»>(0), ... Тогда равенство (67) будет противоречиво, и теорема будет доказана. Действительно, 1(х)>0 на интервале 0<х<и. По непрерывности Е(х) имеем, что ) )(х) а(пхг(х)0.
о 'С другой стороны, существует число поенМ такое, что гг л Л ~ е (х) а(и х г(х < ~ Е (х) г(х ( — пг" 1 г(х =- и (о ' ) ( 1 л!,) л! о о о для каждого п~ по, так как при любом постоянном с 1(гп ~ .—. О, л и! Трансцендентность числа и доказал в 1882 г. Ф. Линдеман, пользуясь методом Эрмита. Тем самым было получено отрицательное решение проблемы квадратуры коуга. Ниже будет приведено другое доказательство трансцендентности я. В основе его лежит построение с помощью аналитического иетода многочленов Р„(х)~Х(х), принимающих в точке и отлнчныс от нуля малые значения.
Г1олучающисся при этом оценки сверху для (Рл(п) ( оказываются сильнее, чем оценки снизу, справедливые по теореме 1О для многочлсиов от .алгебраических чисел. Отс!ода будет следовать, что и не может быть алгебраическим числом Числа Р„(л) получаются с помощью разложения функции гйпив в интерполяционный ряд Ньютона. Поэтому. сначала рассмотрим питерполяцпониую формулу и интерполяционный ряд Ньютона. Пусть 1(г) — аналитическая функция в области гг, а г„...,г„— фиксированный набор точек из Г), среди которых могут быть и совпадающие.
Положим Ро(ь) =1, Ро(':) = (' г!)" (,",— г,), юг=1, ..., п. (68) Тогда Рл(ьг) = (л ь— гл)Ро !(ь), лл=1,,п. (69) Пусть г~0, Для каждого гг, /г=!,...,п, справедливо тождество 1 (1 г — го 1 1 ь — г ( ь — го / Умножая обе его части на Рл !(г)!Р, !(ь) н пользуясь равенствами (69), находим 1 ( Ео ~(г) Ео(г) 1 Ео г(г) й 1 гг (ТО) — Г ~ -.й ~~я l е~ а з20 Складывая почленно все тождества (70), ввиду того что го(ь) =1, получаем тождество и Еп(г) ~Ч Емп(г) — Еп 03 Д вЂ”.) Л'-( Ег а или и 1 Я Гп «(г) Еп(г) Ь вЂ” г ага' Ег(й) Еп (Ь) (Ь вЂ” г) и.=! (71) Выберем простой замкнутый контур С, лежащий в Р, такой, что ограниченная им область принадлежит Р и содержит все точки г!, ...,г, и г.
Уыножим обе части тождества (71) на 1 — 7(ь) и после этого проинтегрируем по контуру С в поло2п!' жительном направлении. В результате, пользуясь формулой Коши, получим равенство (74) п=О п=О 6 Зпп. !ОО 121 — Гг ! (г) — ~ !(~ + — ~ " ' !(~. (72) 1 г 1(1), 1 Г еп(г) 7(",) 2яг,) Е'г,(Г) 2л!' Еп(~) (1 г) г=! с с Обозначим Аг != — ) г(Ь, 1=1, ...,и, ! г )(1) (73) 2я! . ЕО(Ь) с 1 (' Еп (г) 7 (ь) 2и! .) Е (ь) (ь — г) с Заметим, что по теореме Коши интегралы (73) и (74) не за- висят от выбора контура С, удовлетворяющего указанным ус- ловиям. Из равенств (72), (73) н (74) имеем и — ! ((г) =- ~ А,г",(г) + Д„(г), геБ Р.
(75) П вЂ” О Равенство (75) называется интерполяционной формулой Ньютона для функции 1(г) с узлами интерполяции г,, ...,гп. Теперь рассмотрим бесконечную последовательность г,, ..., гп, ... точек из .Р. Если предположить, что 1пп Д„(г) = 0 и-ппп для всех г, принадлежащих области Р,с:Р, то п~ 7'(г) = ~~~ А„Е„(г) = '~ Ап(г — г,) . (г — гп), ген Ц,, (7б) где г„=и для п=1, ...,т, гл.>т =гд для Всех л> 1, (78) а т — некоторое фиксированное натуральное число. Выберем любое Л>т и рассмотрим остаточный член (74) интерполяционной формулы Ньютона для функции з(пяг с узлами интерполяции (77) при п>2)г: ! !' (г — »!) (г — »„)»!пяь 2я !,) (ь — »!) ° (ь — г,) (ь — г) с где С вЂ” окружность ! с ! = и.
Оценим интеграл (79). Из условий (78) следует, что 1<г,<т, в=1, ..., и, а ! г — г» ! < ! г ! + ! г» ! «(»г + и! для всех г таких, что (г! «Я. Поэтому для таких г ю (П (г — г„) ~<(Р-, 'т)". (80) » =-! Далее, на окружности )с!=и имеем, что !ь — г»! » )!ь! — (г„! > п — т > —, 2 так как и>2Я>2т. Аналогично, Л !ь — г! ~ ~и — )г > —.
Тогда л ~(~- ) П (~-")~>(т) »=1 На той же окружности !ь!=и имеем ,к! ! в)п и Ь ! = ~ ~ «<' е !С! = е (81) (82) 122 Ряд (76) называется интерполяционным рядом Ньютона для: функции )(г) в области О» с узлами интерполяции г!, ...,г,..... Если все узлы интерполяции совпадают, то ряд Ньютона переходит в ряд Тейлора.
Если функция )(г) не является многочленом, то из равенства (76) следует, что А„~О для бесконечного множества значений и. Разложим теперь в ряд Ньютона функцию 1(г) =з(п пг„ выбирая за узлы интерполяции следующую бесконечную периодическую последовательность точек с периодом т: г!, г»,...,г„,..., (77) Пользуясь неравенствами (80), (81) и (82) для оценки ин"теграла (79), получим е»» Я+ и)" 2"+!е (Р+»!)" и»+! и» 2 для всех г таких, что !г! -Р. Число Р можно выбрать сколь угодно большим.
Поэтому при любом комплексном г выполняется равенство (84) и имеет место разложение функции э)п иг в интерполяционный ряд Ньютона (76), где А и Г„(Ь) определяются формулами (73) и (68). Итак, з)п л г == ), А„ (г — г,) . (г — г„), »=О (85) .где А 5!и ль дь. (86) 2сн 1 (Ь вЂ” 21) .. (» — г»!.1) с Выбирая за контур С окружность ) (=п, где и>2т, и рассуждая так же, как в случае оценки интеграла (79), получим оценку сверху для А.; ! »»» »»»+!».!-! )!»г (, 2 В дальнейшем потребуется оценка А„снизу.
Для этого введем некоторые обозначения и докажем одно вспомогательное предложение. Из условий (78), определявших последовательность (77), следует, что т г»+! К) = (1 — гт) .. Я вЂ” г»-)-!) =- Ц (1 — й)'~~, (88) где целые числа гь удовлетворяют условиям г1+ ... +Гщ+т=и+1, »1 г, — 1 ~~ г~ ~ г~ ! ~(... ч,.
гт ~~ — . (89) 123 (83) Поскольку числа Я и т фиксированы, то нз неравенства (83) "следует, что 1нп Р„(г) = 0 (84) Тогда равенство (86) примет вид А (' йг Г 1 (' Мпла 1 ( ип пь 2п 1,) Р„.! (~) 2л1,) (т 1)о+! (~ ы),п+! с (90у Л ем ма 8. Существует многочлен Р„(х) с целыми рациональными коэффициентами степени, не большей г, высоты, не превосходящей г! (2М)", такой, что М -!,!А„= р„(„) Доказательство. По теореме Коши из равенства (90) имеем 1ь А= ' Г 2га,) (т !)о+~ ... (т ы)бь+! Г Ф=! г„ (91) где Г, — окружность с центром в точке й и радиуса 1/2, !с — )ь(=1!2, с обходом н положительном направлении, Разложим функцию з)пль в ряд Тейлора по степеням Г.— й': в1пп~ = з)п(лй -!.
п(ь — Й)) .=- ( — 1)» з1пп(ь — А) =- =-Х ( 1) +Ьп! в! ! (2!+ 1]! !=о Из этого представления следует, что в! п1== ~~~~ (1 — в)"ц''+Л (1), (2!+1)! 'л — ' ыс!~— где )сь(".) есть целая функция, имеющая в точке !.=-в нуль порядка не меньше, чем г,+!. Поэтому выполняется равенство гь (й) с(1 0 (С вЂ” 1)о+! . (с — в!)' +' гь 1 мп пй й~ =- 2Я! .) (т 1)'ь+! ... (т — в!)'ь+! г ( 1)1+ь пз!+! Х (21+ 1)! ос!<— 2 124 Обозначим г == г, = — шах гь, а Л! — общее наименьшее кратное !~ь.л чисел 1, ..., т.
х 1 (~ а)м н — И~ (92) г Обозначим при каждом )г, 1~)г~т, 1 П (( — а)м и га — 1 ам~ = —— а~, О <1< 2гц 3 (~ 1)п+1 ... (~ щ)~щ+1 2 г„ (93) Докажем, что аьз — рациональные числа, такие, что все произведения М" 'ам~ являются целыми числами. Число ам~ равно вычету в точке Ь=к подынтегральной функции в интеграле (93), т. е. коэффициенту при (ь — А)-' в Разложении этой функции в ряд Лорана по степеням ~ — й.
Найдем зто разложение. Пусть зяб, 1<з<т, з~/г. Рассмотрим функцию (94) 1 ° д — И+(а —.) а ' 1 а ' )в 5 — й Положим (95) Тогда по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии получим разложение функции (94) в ряд: (96) Так как выполняются неравенства 1~ ~А — з! ~гп — 1, а М— общее наименьшее кратное чисел 1,...,т„то все М/(й — з) целые рациональные числа и, следовательно, все Ь„~У. Ряд в равенстве (96), очевидно, абсолютно сходится в круге (1( (1/М. Функция является произведением и — га сомножителей вида 1/(Ь вЂ” з)„зМ Фй, среди которых имеются и равные. Поэтому, перемножая соответствующие всем таким функциям 1/(ь — з) ряды вида (96), ввиду равенства (95) получим 125 о=о 1 ~~)1 н о=о (97) где все с, — целые числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
