А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Так как на отрезке с концами 3 — )хз и 3+!хз выполняется неравенство з+па з-м ОВ з+га =- ~~Л(п) —, ~ — ( — ) з(в=- аз ч 3 — заа з — !лп = зр (х) + О (~) ) . ~1 — "~ (14) По условию леммы х=/»+1/2, где Л' — натуральное число. Поэтому 1 1 л— л+— 1 1п — ~ ~ пз!п~ !п —, 1п (= 1п !(1+ — ) = л ! 2л ~~~!( 1)» ! ! ) » (2л)» »=1 1 1 1 2п 2 (2л)з Зл !37 то ряд в правой части равенства (4) гл. 2 сходится на этом отрезке равномерно по е. Интегрируя почленно этот ряд, по, лемме 4 получаем Подставляя эту оценку в равенства (14), находим 1 = т!(х) + 0 ~~~~~~ †) =- !р(х) + 0 (1). л=! (15) ь(5) 5 имеет единственную особую точку — по- люс первого порядка при э=1 с вычетом х (см.
теорему 1 гл. 2). По теореме Ко- ши о вычетах — Г(з) пз: — -- х, ! 2сп г(хм а тогда 'Рис, б 3+И' 7 = — ~ 7'(з) пз =- х + — 3! 7'(з) па, г 1 Г 2я! 2я! (16) 3 — !м тдс Š— ломаная ВАВС (см. рнс. 6). Оценим интеграл по отрезкам ломаной Ь. При хз>3, пользуясь равенством (15) и леммой 3, получаем, что — ( Г (з) г(з = 0 ( — 1п (х' + 2) —" ) = 0 (1п х). (17) 2гм ! 2л ,) вл Аналогичная оценка справедлива для интеграла по отрезку 0С.
а за Отсюда следует утверждение леммы. Доказательство т со р е м ы. Пусть е — произвольное число, удовлетворяющее неравенству 0<а<1 — О. Рассмотрим контур Г(х, е), являющийся периметром прямоугольника АВС0 с вершинами в точках О+ — — (х', 3 — !х', 3+ !х', О + 2 а + — + 1хэ (рис. 6). Из условия теоремы следует, что функция ь(з) при любом х)0 не обращается в нуль в этом прямоугольнике. Поэтому в нем функция По следствию из леммы 3 ввиду равенства (15) находиьв е х' р в+ —, ее — ~ /(з)е!а==О(х ' 1п(хе+2) ) ) = 2ир 1 е ло 1Е+ — +и~ е В.1 = 0(х ' 1пех) == 0(хв+е). Из равенств (15), (17) и (18) получаем, что (18) / =- — ] /(з) еЬ = х + 0 (хв+').
1 2еи (19) 3 — Сее Пусть х=Л'+1/2, где У вЂ” натуральное число. Тогда из оценки (19) и леммы 5 получаем, что ф (х) =/+ О (1) = + О (х' "- ), т. е. н этом случае доказано асимптотическое равенство (1). Для произвольного х) 2 аналогичное равенство тоже верно, поскольку ер (х) -= ф([х]) =- ер ([х] + — ) . Тем самым первое утверждение теоремы доказано.
Будем выводить асимптотическую формулу (2) из равенства (1). Рассмотрим функцию е~п~х Из определения функции Л(л) следует, что (20) П(х) =- е=1 е ре< ре (21) П(х) = — + е ер(х) г ер(0ие 1п х 11и'1 х = ~ 1 — ет (у' х) = ее (х) + О ()е'х 1п х), е=-1 посколькУ л (1Р' х) = 0 пРи и ) 1оне х, Применим к функции (20) лемму 4 гл. 2, полагая в этой лемме а„=Л(п), д(х) =1/1пх, А(х) =ф(х). Тогда равенство (1О) гл. 2 примет вид Подставлян в последнее равенство значение ф(х) из асимп- .тотической формулы (1), получаем, что П (х)— ,+о(хе+е! г !+О(!е+ Й= !ах г !пкт 2 к х г к!Е = — + З! — + 0 (хе+к) + !п х З 1пк! + 0 ( ~ 1 ' ' г)т ! = В х + 0 (хек'), ~) (22) так как к.
й! х 2 П и! 1! х = ~ — =-.. — — — + 3 1п! 1пх 1п2 ' ) 1пк! ' Из равенств (21) и (22) следует асимптотнческая формула (2). Теорема полностью доказана. В заключение заметим, что к тк к 1пп у' х х т. е. 11х — — при х- + оо. !пх ЗАДАЧИ ) п(х) — 11х) С ~ п(х) — — "[. 1пх 1) Доказать, что для функции (35) гл. 2 !е(х) справедлива асимптотическая формула е! (х) — х (! (ха — сапк)е ) х ~ оо Указание. Использовать задачу 8 гл. 2.
Контур интегрирования такого же вида, как на рис. 3 гл, 2. 2) Из предыдущей задачи получить, что при х-~.пп — и апк1Е! ф(х) = х+ 0(хе ), и — !1и к1Е ! и (х) = 11 х + О (хе ). 3) С помощью задачи 2 доказать, что при достаточно боль.ших х ДОПОЛНЕНИЕ У ОЦЕНКИ МНОГОЧЛЕНОВ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ОТ ЧИСЛА е.*. Методы теории трансцендентных чисел позволяют не только доказывать трансцендентность различных чисел, но и получать количественные характеристики их трансцендентности.
Так, теорема, доказанная в $4, гл. 4, утверждает, что никакой отличный от нуля мпогочлен с целыми коэффициентами не обращается в нуль в точке е. Метод доказательства этой теоремы позволяет установить и более сильный результат, а именно найти оценку снизу для модуля многочлена с целыми коэффициентами в точке е в зависимости от величины его коэффициентов. В этом дополнении будет доказана следующая теорема. Теорема.
Пусть Н и е — положительные числа, т — натуральное число. Для любого многочлена Р(х)в=7(х), Р(х) чи0, коэффициенты которого по абсолютной величине не превосходят Н, а степень не превосходит т, выполняется неравенство !Р(е) ))сН- .где с>0 — некоторая постоянная, зависящая только от чисел тие. Подобная теорема с худшей оценкой впервые была установлена в 1899 г. Э.
Борелем (1871 — 1956). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать утверждение теоремы в предположении, что многочлен Р(х) имеет взаимно простые коэффициенты, а число е удовлетворяет неравенству 0(е(1. Пусть многочлен Р(х) имеет вид Р(х) =а х'"+ ... +а|х+ао, а;е-:Х, 1=0,!,...,т, (ао, аь...,а ) =1. В основе доказательства теоремы лежит некоторое видоизменение рассуждений, использовавшихся в $4 гл. 4 для доказательства трансцендентности числа е.
Пусть п — натуральное число, удовлетворяющее, как и в 9 4 гл. 4 условию (п, т!) =!. (1) В дальнейшем число и будет выбрано су1цественно меньшим, чем при доказательстве трансцендентности числа е. Поэтому необходимо изменить выбор многочлена 1(х). Так как коэффициенты многочлена Р(х) взаимно просты, то среди них есть коэффициент а„не делящийся иа и. Выберем многочлен)(х) в виде Ях)— 1 (х(х — 1) ° (х — ы))" (л — 1)1 х — Г где постоянная с! зависит только от пе, С ростом и правая часть последнего неравенства стремится к нулю.
Выберем теперь и так, чтобы выполнялись условие (1) и неравенство НП вЂ” оееФо <— 1 2 Из равенства (2) получаем ! Р (0) Р (е) ! ) ~ ~~~~ аоР (й) ~ — ~ ~~)„аоео ~ ~ (х) е — ' е(х Ь 1 — 1 1 2 2 о=о о=о о ) Р (е) ) > — ) Р (О) ! (4) Оценим сверху величину !Р(0) ). Переходя в тождестве.Зрмита 1 (Е) е — ' е(С = Р (0) — Р (х) е-' к пределу при х-» + со и пользуясь тем, что Р(х) — многочлен, находим, что Р (О) = Ге ~(1) о-е (1. о Поэтому Ж +4Ф о,ео+1 >о 1 г !+пи — е < — ~ е — ее((+ ое е(е< (о — 1) ! (и — 1)1,) о /о оеОо+ !1" ((ое + 1) и)! < + (5) (о — 1)! (и — 1р Последняя оценка получена с помощью известного равенства +се ~ х"е-'е(х= И, й~ Е, й> О, о Из неравенств (5) легко следует, что (Р(0)! < птпес*п где постоянная со зависит только от еп.
143 Из неравенства (4) теперь находим ~ р (Е) ~, и-ллсŠ— с,л 2 (б) Правая часть последнего неравенства с ростом л убывает. Позтому оценка снизу для !Р(е) ~ будет тем лучше, чем меньшее удастся найти значение п, удовлетворяющее условию (1) и неравенству (3). Положим е 6=-— Елс Если Н достаточно велико по сравнению с пг и е ', то на интервале (1 гь 46) < и < (1 + 56) (7) найдется т! последовательных целых чисел.
Выберем в качестве и, например, то из пих, которое при делении на т! дает в остатке 1. При таком выборе условие (1) будет выполнено. Из неравенств (7) следует, что при достаточно большом Н выполняются неравенства (1 — б) !и !и Н<!пи<!и !пН. (8) Так как (1 ! 46) (1 б) 1.+36 4бг>1 !.26 то из неравенств (7) и (8) получаем, что (1+26) 1и Н<п!п и< (1+56) 1п Н. Поскольку (9) (! +26) (1 — 6) =!+б — 2бг) 1, то из левой части неравенства (9) пос.ле умножения на (1 — 6) находим 1п Н< (1 — 6) п!п л, Н<п» мл, или Н -'-'л<!. Тогда при достаточно большом Н имеем Нп — лес,л — Нп — о — Млл — ьлес,л,~ и — блес,л < ! 2 144 Последнее неравенство выполняется ввиду того, что при достаточно большом Н значение п тоже будет велико.
Таким образом, неравенство (3) справедливо, и, значит, выполняется неравенство (6). Пользуясь правой частью неравенства (9), находим при достаточно большом Н 2п ллессл < 2Нслн-~-гмессл < Нлсн-~.ем — Нлсч-е Теперь из неравенства (6) получаем, что )Р(е) ) .ьН-!ь-о, если Н больше некоторой границы, зависящей только от т и е. Отсюда следует утверждение теоремы. Полученная оценка достаточно точна. Чтобы убедиться в этом, докажем с помщцью принципа Дирихле следующую лемму. Лем м а.
Пусть ь>о, !о!, ...,ь)„— действительные числа иН— натуральное число. Существуют целые числа ао, а>,,а, не все равные нулю, такие, что )а;( <Н, !'=О, 1, ... и!, )аоо!о+а!оо!+ ... +а оо ) <с,Н-, где со — 2') (о!о). о=о Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть переменные хо, ..., х„, независимо друг от друга принимают целые значения из множества О, 1, ..., Н.
Всего таким образом получим (Н+1) -' различных наборов (хо,х!,...,х ). Каждому набору поставим в соответствие число хоо)о+х!оо!+ .. +х о! Из неравенств — — Н < х,, + х,, + ... 1- х о!„, < — Н со со следует, что все (Н+1) " полученных таким образом чисел лежат на отрезке длиной с,Н. Разделим отрезок — — ' Н <х< — 'Н на (Н+1) "— 1 2 2 равных отрезков.
Тогда найдутся две точки, соответствующие некоторым наборам (хо', х!', ...,х.,'), (хо", х,", „х„"), лежащие на одном из полученных отрезков. Это означает, что Ъ (х,'. — х,".) !о! ~ < ' < соН- . (10) ~ ч~Ч, ) сои (ц 1 !)П2.~-! 1=! Положим Так как числа х и х;" лежат на отрезке О<х<Н, то ) а! ! = )х! — х,") <Н. Из неравенств (10) теперь следует, что числа а,, аь ..., а~ удовлетворяют всем требованиям леммы. Применив доказанную лемму в случае оэь=е", А=О, 1, ..., т, получим, что для любых натуральных т и Н существует много- член Р(х) ен2[х1, Р(х) ФО, степень которого не выше т, в коэффициенты по абсолютной величине не превосходят Н, удовлетворяющий неравенству )Р(е) ) (соН где со —- 2(1+е+ ... +е"').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
