А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3) С помощью утверждения задачи 2 доказать, что при любом простом р многочлен [(х) =хя '+хе-'+ ... +х+1 иеприводим. 4) Доказать, что множество А счетно. 5) Доказать, что существует только конечное множество чисел $енХл, ограниченной степени, удовлетворяющих условию Г)~С, где постоянная С~ 1. 6) Пусть 1(х)енХл [х), а $ — корень 1(х), Доказать, что ~ Хл [х|.
х — з 7) Высотой Н алгебраического числа а называют наибольший из модулей коэффициентов неприводимого н примитивного многочлена»р(х) енХ[х), имеющего а своим корнем. Пусть а и р — алгебраические числа степеней и высот соответственно и„ и, и Н, Н». Установить оценки сверху для Н ,» и Н.» как функций от , и», Н„н Н». 8) Доказать, что множество действительных чисел а, для которых неравенство ~а — — ~( —,, з>0, имеет бесконечное множество решений в целых числах р и д, д>0, является множеством меры нуль. 9) Доказать, что для любой функции натурального аргумен- та »»(д) >О существует число а такое, что неравенство ~а — — ~ <. »р(д) имеет бесконечное множество решений в рациональных числах р(д, у>О 10) Доказать, что при любых целых р и д, у~2, выполня- ется неравенство ~ [/2— 11) Пусть Р(х, у)~Х[х, у1, а и р — целые алгебраические числа степеней соответственно и и и» такие, что Р(а, р)~0, аь ..., а, — числа, сопряженные с а, а фь ..., р — числа, сопряженные с р.
Доказать, что произведение всех тех из чисел Р(аь р;), »=1,.,и; »'=1, ...,»и, которые отличны от нуля, есть целое рациональное число. !3$ 12) Пусть а и р — алгебраические числа степеней соответственно и и т. Доказать, что сугдествует постоянная С)0, за. висящая только от а, такая, что при любом Р1х, у) ~У1х, у] степени А~1 по переменным х и у и высоты Н~ 1, либо Р1а, й) =О, либо 1Р(х, р)! ) 13) Обобщить теорему Лиувилля на случай приближения алгебраического числа а алгебраическими числами О в следующей форме.
Пусть а — фиксированное алгебраическое число степени и, и. 1, Существует постоянная С)0, зависящая только от а, такая, что при любом алгебраическом О, ОФа, степени й, й) 1, и высоты Н, Н~1, выполняется неравенство СО )а — О! >в Нл 14) Доказать, что число !од, и иррационально. 15) Доказать, что для числа а=2 2-'л неравенство имеет бесконечное число решений в натуральных числах Р н д при любой постоянной С>1 и конечное число решений при С=1. 16) Доказать иррациональность значений функции Бесселя Х ~л (2) л=О в точках х=1/й, где йенй. 17) Пользуясь методом, которым была доказана иррацио- нальность числа и, доказать, что число и' иррационально. 19) Пользуясь утверждением задачи 12 и методом, изло- женным в $5, доказать теорему Линдемана; Если а~А, аФО, то число е' трансцендентно.
20) С помощью теоремы Линдемана доказать трансцендент- ность следующих чисел: а) з1п а, соз а, 1п'а, при любом аенА, аФО, б) агсз1па, агс сов п, агс1по, при любом аенА, а~0, в) решений уравнения етл" =хт+х+1. ДОПОЛНЕНИЕ / ОБ ОСТАТОЧНОМ ЧЛЕНЕ В АСИМПТОТИЧЕСКОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ф(х) =х+0(хе"); и (х) = 11 х+ О (хе"), (1) (2) Следствие.
Если справедливо гипотеза Ричана, то при любом е>0 1 1 — +г — +6 ф(х) =- х+ 0(х' ), п(х) — — 1|х -', 0(х' ), 'Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений. Л е м м а 1. 'Существует постоянная с~ такая, что в области Кез=а> —, (1!)1, з=--а+И, ! 2 (3) справедливо неравенство ! ~ (з) ) ~ с, )т ! 1 !, Д о к а з а т е л ь с т в о. Если о> 2, то ! ~ (з) ) <~ (2) . в~2, то, рассуждая так же, как прп доказательстве Если же леммы 5 133 В дополнении ставится задача показать, как влияет инфор.мация о расположении пулей дзета-функции иа оценку остаточного члена в асимптотяческом законе, т. е.
разности л(х) — 11х, а также ознакомить читателя с основными идеями получения таких оценок. Для простоты изложения ограничимся условной оценкой остаточного члена. Она будет основываться на недоказанном к настоягцему времени предположении о том, что функция 1,(з) не имеет нулей в полосе 0<йсзва1, где 0 — некоторое число из полуинтервала !/2<0<1. Это предположение при 0=1/2 совпадает с гипотезой Римана.
Однако способ доказательства тесно связан с методами, при помощи которых получены полностью обоснованные оценки остаточного члена в асимптотическом законе (см. замечания к гл. 2). Сформулируем основной результат. Т е о р е м а. Допустим, что функция "(з) не имеет нулей в области Коз>0, где 0 — пасло из полуинтгрваго 1/2(0<1, Тогда при любом г>0 (3) все три слагаемые в правой. гл. 2, получим, что в области части равенства (12) гл. 2 Х вЂ” ' 51 5 и' ' ,(()„. к5.51 при У= [[1[[ являются величинами порядка 0()1[1[). Отсюда следует оценка (4). Лемма 2. Пусть 1(з) — аналитическая функция в круге [з — ьь[ <тг', удовлетворяющая условия н: 1) У(зь) =0; (5) 2) це 1'(з) < С при [в — зь [ <й, где С вЂ” положительная постоянная. Тогда для каясдоео г такого, что 0<г<й, справедливо не- равенство [ 1(з) [ < при [ з з, [ ~( г.
2Сг й — г Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию а()=- (5 — 55) (2С вЂ” 1 (5)) (6), Обозначим и=и(э) =Йе1" (з), о=о(з) =1п11(в). Тогда из неравенства (5) и того,что С>0, следует, что в круге [з — зь[ «й выполняется неравенство [2С вЂ” и(з) [ =2С вЂ” и(з) ) тпах (и(в), — и(з)) = [и(з) ). Поэтому ввиду равенства (6) на окружности ~з — еь[=тх [а()!==,, ( (и5 1 ь5) иа (цз» ь5)Ю й((2С вЂ” и)'-1- ь5)ие й(и5-»-ь5)1м [п(з) [.ц; — при [з — з [ч й.
й Ввиду обозначения (6) отсюда следует, что в круге [е †е <» 1 2Сг— 2С (5 — 55) Е (5) [ й 2Сг 1-1-(5 — а5)е(5) 1 1 й — г й Лемма доказана. 334 Из условий )(зь) =0 и и(з) <С, С>0, легко следует, что п(з) — аналитическая функция в круге [з — з,[ <й. Поэтому по принципу максимума модуля Лемма 3. Если 4>ункция ь(з) не абрам(авгся в нуль при о)0, где Π— число из полуинтервала 1/2~0(1, то при любом е)0 в области о)О+е, )/1~З .справедлива оценка — ) ( с 1п()1) + 2'.
с .= с,(0, е) ) О. ь' (О Следствие, Если выполнены ус о«ия леммы .то на прямой а=о+ е выполняется неравен гьо ! '. — ~ ( с, 1и ( ! / ( + 2), сз — — сз (О, е) ) О. ь' (з) Действительно, по теореме 1 гл. 2 и по условиям леммы на отрезке с кон.цами О+ е-~-3/ функция 1," (в) /~(з) непрерывна и, следовательно, ограничена. Поэтому из неравенства (7) следует, что с некоторой постоянной сз справедливо неравенство (8) на всей прямой о= О+е. Доказательство ле м мы 3.
Ввиду тождества (4) гл. 2 в области о>2 функция ь'(з)/" (э) ограничена. Поэтому утверждение леммы достаточно доказать при о<2. Пусть з~ = о+ Ы принадлежит области О+в~о<2, 1/(> 3. (7) ЗиО+ (1, (8) Обозначим зо — — 2+И н рассмотрим два круга (рис. 5) с центра- ми в точке з, и радиусами /к=2 — Π— —, г=2 — 0 — —, )1)г, 0(е(1, (9) 4 2 Функция —.
по условию леммы не обращается в нуль ь (5) ь (за) в кРУге )з — зо~ (Р. Следовательно, в этом кРУге можно выбрать однозначную ветвь логарифма /(з) = 1п— ~(яо) ' .такую, что /(зо) =0*>. Из неравенства (20) гл. 2 с а=2 следует, что —,;К(2))ам~~(2+217)1Н <1,(2). !ь (ъ)1 «з Это следует из теоремы о монодромнн, доказательство которой мож'но прочитать, например, в книге А. И. Маркушевича чтеорик аналитических ,функций. Т. 2», Мл Наука, 1968, с. 488. 135 Так как /с<2, а О>!/2, то по лемме ! в круге (в — во(«Р выполняется неравенство Ке/(з) == 1п ~ — '~ <1п(с,((8 (+ 2)'~') + !п~(2) ( с, 1п((/(+ 2).
(, (аа) Поэтому ввиду условий (9) по лемме 2 при /з — зс! «г е ! 2,! (!(!+2) (г — Š— — ) / (з) ! = ) 1п — ! < — сь !п ( ( ! ! + 2). 'ь (ха) ! е (10) Из определения чисел з~ и г следует, что круг !в — з,! «е/2 целиком содержится как в области о>0, так и в круге )з — зс! «г (см. рис, 5). Поэтому функция /(в) является аналитической в круге (з — з,! «е/2, и ее производная в точке з~ равна е 15 — 5 1= 2 Отсюда и из оценки (10) следует, что ~ ь'(»1) ~, 1 е са!п(!Г!+2) 1=(/'(в,)~~( — 2и — ' "" + =с»1п((/(+2).
Ь(а,) ! гп 2 /е )я (2/ Лемма доказана. Лемм а 4. При а)0, Ь>0, и)0 выполняется равенство ( ьа 1+ О ! — 1, если Ь ) 1 (и!пЬ/ Ь» О !/ ), если 0(Ь( 1. ( и! !пЬ! а+!и 1 и Ь' — — г(в = гп! е а Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя по частям а! функцию Ь»/в, получаем а+!а а+ГО ачла ь' !а+» Ь5 — — + — т(в. 2п( 1п Ь» !а — !» 2ги!п Ь,! (12р 136 ао Возможность интегрирования по частям в комплексном интеграле легко обосновывается с помоптью понятия комплексного интеграла с переменным верхним пределом.
При доказательстве леммы 9 гл. 2 фактически было установлено, что при и>0 а+за — — з(з =-: Л + О ~ — ), а — ы где Л=!пЬ при Ь~1 и Л=0 при 0<Ь<1. Поэтому из равенства (12) следует утверждение леммы. Л е и м а 5. Для функции Чебышева зр(х) выполняется соот- ношение за-за зр(х) = — ! ( — — /! — с(з+ О(1), 1 с ! Ц (5) 1 х 2еа,~ (, Е (з) / з з — ы (13) где х = /з! + —, а Л! — натуральное число. 1 2 Дока з а тельство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
