А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 20
Текст из файла (страница 20)
По теореме о перемножении рядов, ряды в равенстве (97) будут сходиться соответственно в кругах )1(<1/М и )~ — /о) <1. Из равенств (97) н (93) по теореме о вычетах имеем с, о! го — 1 ах!=-, 0<1<, 1<й<т. (98) Из равенств (98) и следует, что все а,! — рациональные числа, а М"-'а,,! — целые рациональные числа. Из равенств (91), (92) и (93) находим, что А„— -~ ( — 1)!+! а, !яо!~! (99) (21 + 1)! ~1 о<!<— 2 откуда ввиду равенства (98) следует, что г!М"-'А„=Р„(л), (100) где Р,(х) — многочлен с целыми рациональными коэффициентами, степени, не большей, чем г. Оценим теперь числа ак!, пользуясь равенством (93). Если ~~Гы то )~ — й~ =1/2, а при зэьй )с — г) ъ1/2. Поэтому 1 1 ) ам!) < — и <2"-', 2я (! и — 2! О</< ~ ', 1<й<т, (101) 2 Из равенства (99) и неравенства (101) находим, что коэффициенты многочлена Р„(х) (100) не превосходят числа !иг!2п-!Мл-! ~г! (2М) !! гва Лемма доказана.
Теорема 15. Число и трансцендентно. Доказательство. Допустим противное, что и есть алгебраическое число степени т, т)1. Положим т=т+1 и сэтим значением т рассмотрим разложение (85) функции з!плг в интерполяционный ряд Ньютона. Тогда, по доказанному выше, для коэффициентов Ал этого разложения выполняется оценка сверху (87). С другой стороны, по лемме 8 имеет место равенство (100), где Рл(х) — многочлен с целыми рациональными коэффициентами степени й и высоты Н, где 1(<г, Н<г!(2М)". (102) Пусть с, с) и с, обозначают положительные постоянные, зависящие только от числа т. По теореме 10 ввиду предположения, что и есть алгебраическое число степени т, выполняется либо равенство Р (и) =О, либо неравенство (Р (, )(~~ Е2!«с — (ъ 1)!«И (103) Если Р„(и)ФО, то из неравенств (102) н (103) получаем оценку (104) Р (И) 1 ) Š— Ни нг — (с — 1)(г 1п г+л (п (2М)) /„11 Но из условий (89) имеем, что л г= гпах г„~ —, 1<2< л ГЛ (105) а и(=т+1.
Поэтому из неравенства (!04) следует оценка «г — 2 — — л)ил — сл (Р„(и)! из гл Из равенства (100) и неравенства (87) находим, что 㫠— 1 — — л (п л+с,л ! Р (и) ( ( ез« вЂ” «1« л+(л — 1)1п М+г(и г ( Е лс (108) Неравенства (105) и (106) при достаточно большом и противоречивы.
Значит, существует число и, такое, что А.=О при всех и>иг«а функция ейпаг должна быть многочленом. Но она не является многочленом, например, потому, что имеет бесконечное множество нулей. Следовательно, получено противоречие, опровергающее предположение об алгебраичности числа и.
Теорема доказана. Из теоремы 15 следует, что квадратура круга невозможна с помощью циркуля и линейки. Действительно, площадь круга равна иР2. Полагая 1((=1, получим, что задача сводится к построению квадрата со стороной, равной )(л. В 1837 г. П. Ванцель (1814 — 1848) показал, что с помошыо циркуля и линейки могут быть построены только те отрезки, длины которых выражаются числами, являющимися корнями квадратных уравнений с рациональными коэффициентами, корнями квадратных уравнений, коэффициенты которых являются корнями квадратных уравнений с рациональными коэффициентами, н т. д., и, следовательно, отрезки, дли- ны которых выражаются числами, получающимися после последовательного решения ряда квадратных уравнений. Поскольку множество таких чисел есть подмножество множества алгебраических чисел, то из доказательства трансцендентности числа л следует отрицательное решение проблемы квадратуры круга.
Линдеман, доказывая трансцендентность числа л, установил более общее утверждение. Т е о р е м а Л н н д е м а н а. Если а — алгебраическое число, аФО, то число еь трансцендентно Следствие. Если а — алгебраическое число, аФО; 1, то число 1па трансцендентно. Действительно, е'" "=а, и поэтому предположение о том, что а н 1па явля|отея одновременно алгебраическими числами, приводит к противоречию с теоремой Линдемана. Так как выполняется равенство е"'= — 1, то из теоремы Линдемана следует трансцендентность числа л. Теорема Линдемана может быть доказана методом, которым была доказана трансцендентность числа л.
Только для этого необходимо иметь оценку снизу для модуля многочлена с целыми коэффициентами от двух алгебраических чисел. Линдеман доказал также более общее утверждение. Теорема Линдемана. Пусть аь...,а„— различные алгебраические числа, а сь ..., с„— алгебраические числа, не все равные нулю. Тогда с,е"' + ... + с„е"ь чь О, Очевидными следствиями теоремы Линдемана являются утверждения о трансцендентности чисел е и и и теорема Линдемана о трансцендентности чисел е' при аенА, а=Ф=О. В течение свыше сорока лет метод Эрмита — Линдемана был единственным аналитическим методом доказательства трансцендентности чисел.
Но в конце 20-х годов текущего столетия в работах А. О. Гельфонда и К. Зигеля (1896 †19) были развиты мощные аналитические методы в теории трансцендентных чисел. За последние 50 лет этн методы в работах ряда математиков получили дальнейшее развитие.
С их помощью установлена трансцендентность значений многих аналитических функций. ЗАМЕЧАНИЯ С теорией алгебраических чисел читатель может ознакомиться по книгам 3. И. Боревича и И. Р. Шафаревича (11 и Э. Гекке (51. Вопросы, связанные с приближением действительных чисел рациональными числами, изложены в книгах А.
Я. Хннчнна (!4) н А. Б. Шидловского (201. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел 128 дает оценку снизу для порядка приближения алгебраического числа а рациональными числами. После ее опубликования естественно возникла проблема об улучшении такой оценки. Первый результат в этом направлении был получен А. Туэ (1863— 1922) в 1908 г., а в 1909 г. Туэ опубликовал метод, с помощью которого доказал следующую теорему. Тс о р е м а Туз. Пусть а — действительное алгебраическое число степени п>2, а е — любое положительное число, Тогда неравенство ~а — — ~( (107) имеет только конечное число решений в числах РЕМУ и денй(.
Эту теорему Туэ применил к решению задачи о существовании целочисленных решений у одного класса диофантовых уравнений. Теорема Туэ о диофантовом уравнении. Пусть Н (х, у) = а„х" + а„1х" — 'у + ... + а,ху" — ' + а,у" и > 3, а1 ен Х, а„ Ф О, — неприводимый многочлен, а т — любое целое число. Тогда уравнение Н(х, д) =т либо не имеет решений, либо имеет только конечное множество решений в целых числах х и у. Теорема Туэ о приближении алгебраических чисел уточнялась К. Зигелем, А.
Дайсоном, А. О. Гельфоцдом, К. Ф. Ротом. Г!риведем формулировку теоремы Рота (!955 г.). Т е о р е м а Р о т а. Пусть а — действительное алгебраическое число степени п)2, а е — любое положительное число. Тогда неравенство имеет только конечное число решений в числах ряХ и денХ. Теорема Рота была также обобщена на случай приближения алгебраического числа алгебраическими числами. В настоящее время теория приближения алгебраических чисел представляет собой большой и важный раздел теории чисел, имеющий многочисленные приложения.
На результатах теории приближения алгебраических чисел основаны некоторые методы доказательства трансцендентности чисел. С проблемами приближения алгебраических чисел можно ознакомиться по книгам Н. И. Фельдмана 111! и А. Б. Шидловского [20). После работ Эрмита и Линдемана возникли попытки обобщить их метод и распространить полученные ими результаты на другие функции.
Но это не удавалось почти 50 лет. )Ь(иогие математики внесли упрощения и улучшения в доказательства Эрмита и Линдемана, но существенно новых результатов не получили. Только в 1929 г. были созданы новые методы доказательства трансцендентности чисел. А. О. Гельфонд в 1929 г. опубликовал аналитический метод, с помощью которого получил в частном случае решение известной 7-й проблемы Гильберта о трансцендентности чисел вида аа, где а — алгебраическое число, ачьО; 1, а р — алгебраическое иррациональное число. Результат Гельфонда относился к случаю„когда р — мнимая квадратичная иррациональность.
Ввиду равенства 1 -"=е" было доказано, что число е" трансцендентно. Доказательство трансцендентности числа и в 9 5 проведено методом, основанным на идеях метода Гельфонда 1929 г. В 1934 г. с помощью нового метода А. О. Гельфопд дал полное решение 7-й проблемы Гильберта. В том же году независимо Т. Шнейдер (р.
191!) получил другое решение проблемы. В 1929 г. К. Знгель создал аналитический метод доказательства трансцендентности чисел, являющийся обобщением метода Эрмита — Линдемана. Этим методом он доказал трансцендентность значений в алгебраических точках некоторых аналитических функций, в частности трансцендентность функции Бесселя 70(з) в любой алгебраической точке гФО.
За последние 50 лет методы Гельфонда и Зигеля получили существенное развитие и обобщение и являются в настоящее время основными методами теории трансцендентных чисел. С их помощью доказана трансцендентность значений очень многих аналитических функций. Аналитические методы теории трансцендентных чисел позволяют получать и количественные характеристики трансцендентности чисел в виде оценок линейных форм и многочленов с целыми коэффициентами от рассматриваемых трансцендентных чисел (см. Дополнение 2). С проблемами теории трансцендентных чисел можно ознакомиться по книгам Н. И. Фельдмана 112] и А. Б. Шидловского 1201, а также по работам А. О.
Гельфонда, содержащимся в томе его избранных трудов 14). ЗАДАЧИ 1) Доказать, что при любом пенХ многочлен 1(х) =х" — 2 неп иводим. ) Установить критерий Эйзенштейна. 130 Пусть ~ (х) = х" + а„~х" — ' + ... + а,х + а„1(х) ен Х [х), и существует простое число р, делящее все коэффициенты ам аь ..., а„ь но такое, что р» (' ам Тогда [(х) непрнводим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
