А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский - Введение в теорию чисел (1159516), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При 1(Ь по теореме Дирихле неравенство (14) имеет решение со знаменателем !7, !7~1<Ь. Значит, зна.менатели всех нетривиальных решений неравенств (14) при раз.личных 1 ограничены. Следовательно, прн рациональном а теорема Дирихле дает некоторую информацию о приближении рациональных чисел рациональными числами с меньшими знаменателями. Если же а иррационально, то с ростом 1 знаменатели решений неравенства (14) также возрастают.
Действительно, обозначим для каждого натурального Л' Сн = — — пип чх — — ~, где минимум берется по конечному множеству рациональных чисел р/!7, лежащих на отрезке а — 1~х~я+! и имеющих знаменатель, не превосходящий йг. Тогда если 1»1/Сн, то каждое решение неравенства (14) имеет знаменатель, больший, чем й/. Следовательно, при иррациональном а множество решений в рациональных числах р/!/ неравенства (14) при всевозможных значениях 1 бесконечно. Из неравенства (14), поскольку д~1, имеем неравенство а — — ~к —.
с ! ! (19) Из доказанного выше следует, что неравенство (19) прп иррациональном а имеет решения р/!/ со сколь угодно большими знаменателями. Тем самым доказано следующее утверждение. Т е о р е м а 7. Длл любого иррационального аз=К неравенство (19) имеет бесконечное множество решений в рациональных числах р/т/, т/>О. Эта теорема утверждает, что все действительные иррациональные числа допускают приближение рациональными дробями р/!/ порядка 1/дг.
Из теоремы 7 следует, что любое иррациональное число а~К представляется в форме = —" + ~', р еп ~, д ев Ь), ~ 0 ! ( 1, (20) где !) может быть выбрано сколь угодно большим. Представление иррационального числа и в виде (20) широко используется в теории чисел, других разделах математики и практических задачах. Приведем пример иррационального числа, допускающего сколь угодно хороший степенной порядок приближения рациональными числами. Положим сс = ~~1~ ~— „,, а!ц Х, а ) 2.
(21) и=! Обозначим — — (1, =-- а"), р„ен М, я =- 1, 2, 1 Ра а" а( а=-) Тогда 0( а — ~~ г- г)„а = 1, 2, Ча где г = 1 1 1 + .. м+и! )( и+ан — Реп( ' ' ' ') а ! а 1 т 1, 1 а 1 а 1 1 < —. а — 1 а'" Н а — 1 Ч~~+) Позтому Из последнего неравенства следует, что прп любом натуральном й неравенство О( ~(х — Р ~( !22). а = 0,110001000..., у которого цифры на местах с номером А! вправо от запятой равны единице, а все остальные цифры равны нулю.
В практических задачах часто иррациональное число (х приближенно заменяют рациональным числом, являющимся отрезком его десятичного разложения. Пусть а имеет десятичное разложение: с( = аа + — + — + ... + — + ..., аа ен Х, а1 а2 аа 1О 1Оэ 10" 0<аа<9, А=1,2, 10T имеет решение р)д. Но каждое решение неравенства 122) с заданным значением й является решением того же неравенства с любым меньшим значением й. Отсюда следует, что неравенство 122) при любом и имеет бесконечное множество решений в рациональных числах р)д.
Если положить а=10, то ряд 121) будет десятичным разложением представляемого им числа :Обозначим = а~ + — + — + ... + —, А ен Х, В = 10ь. В, ' 1О |О ' ' ' 1Оь ' Тогда Ал и —.=. — -~- гы в, тде о гь ( '1+ — + — ~- ...' = — =— Юв ~ 1О 1О '''/ ~О В, ' и поэтому Аь 1 0 ( а — — ( —. в, в, ' (23) Отсюда следует, что если положить приближенно а=Аз/Вы то погрешность при такой замене меньше, чем 1/Вь Заменяя а=р/д, где р/д есть решение неравенства (19), получим приближение для а с существенно лучшей погрешностью, меньшей, чем 1/д'. Итак, теорема Дирихле позволила установить, что для любого иррационального числа а существует последовательность рациональных дробей рл/дь с растущими знаменателями, которая приближает а с точностью до 1/уча. Но теорема Дирихле является только теоремой существования и мало пригодна для нахождения соответствуюших приближений на практике.
Удобным средством для нахождения таких приближений являются .цепные дроби. Соответствующие приближения для числа а находятся из его разложения в цепную дробь (см. [14, 20)). 5 3. Приближение алгебраических чисел рациональными числами. Существование трансцендентных чисел таз В 1844 г. Ж.
Лиувилль (1809 — 1882), изучая приближение :алгебраических чисел рациональными числами, показал, что ,алгебраические числа не могут слишком хорошо приближаться числами из Я. В доказанной нм теореме дается оценка порядка приближения алгебраического числа рациональными числами, зависящая от степени приближаемого числа. Поскольку существуют иррациональные числа, допускающие сколь угодно хороший порядок приближения рациональными числами, то теорема Лпувилля позволила впервые построить примеры трансцендентных чисел. Теорема Л и у в и л л я.
Пусть а — действительное алеебраическое число степени и, п~2. Тогда существует положительная постоянная с, зависящая только от а, такая, что при любых целых рациональных р и д, д>0, выполняется неравенство р ! с а — — ~ ) —. (24) 41 Доказательство. Пусть а=аь ..., а, — числа, сопряженные с а, и л ~р (х) = а„х" -,'- ... + агх + а, = а„(х — а) П (х — а;), а„> О, (25) — неприводнмый и примитивный многочлен с целыми рациональными коэффициентами, имеющий а своим корнем, а р и д, д>0, — любые целые рациональные числа.
Возможны два случая. 1) р и 17 таковы, что !а — — ! >1. Тогда тем более, так как д~1, имеем !а — — !)— (26) 2) р и д таковы, что !а — — р! < 1. ! — ! <, 1сь1+ 1, .Следовательно, (27) Подставляя в равенство (25) х=р/д, ввиду неравенства (27) получим и Л <'!.- — '!П ~~-'!+ ! — '!) < 109 л а„!сс — р ! П (~сс, ~+ ~а!+ 1) ~(а„! а — р !(2!а!+ 1)" (28) Неприводимый многочлен ~р(х) степени я~2 не имеет рациональных корней, Поэтому ф(рн7)~0 и ! Ь)! 7 р ) 1 1а„р" +а„~р" ~д+ ... +пил" ! ! имеет бесконечное множество решений в целых числах р и д, л7>0, то а — трансцендентное число. Доказательство. Допустим противное, что а удовлетворяет условиям теоремы 8, но является алгебраическим чис.лом степени а. Тогда по теореме Лнувилля существует число с=с(а)>0 такое, что неравенство (31) не имеет решений в числах р и д.
Положим в неравенстве (34) й=н+1. Оно имеет бесконечное множество решений в числах р и 'д. Будем рассматривать решения этого неравенства только со знаменателями д такими, что Щ<с. Тогда неравенство ~а — — ~( —. — (— имеет бесконечное множество решений. Но это противоречит предположению о решениях неравенства (31). Противоречие завершает доказательство теоремы. В 3 3 было показано, что для числа неравенство (34) при любом йе-=в) имеет бесконечное множество решений в числах р и в, 'д>0.
Поэтому по теореме 8 число а трансцендентно. Из теоремы 8 и приведенного примера следует Т е о р е м а 9. Существует трансцендентные числа. Заметим, что еще за !00 лет до опубликования теоремы Лиувилля Л. Эйлер высказал утверждение о существовании трансцендентных чисел. Но доказать его он не мог. В 1874 г.
Г. Кантор (1845 — 1918) другим методом доказал существование трансцендентных чисел. Развивая начала теории множеств, он показал, что множество всех алгебраических чисел счетно, а множество действительных чисел несчетно. Следовательно, существуют трансцендентные числа. Более того, почти все числа в смысле меры Лебега трансцендентны. С помощью теоремы Лиувилля можно строить примеры трансцендентных чисел только из узкого класса чисел, допускающих очень хорошее приближение рациональными числами. Доказательства трансцендентности чисел других классов обычно сопряжены с большими трудностями.
Высотой многочлена Р(х) называют наибольший нз модулей его коэффициентов. Перепишем неравенство (24) в теореме Лиувилля при н>1 следующим образом: (35) Если обозначить Л оказ ательст во. Пусть (37) Р (х) = аьхо+ ... + а 1 х+ ао, а а=аь ..., а„— числа, сопряженные с а. Предположим, что. Р(а)~0. Тогда по лемме 2 Р(ао)ФО, 1=1, ..., и. По теореме 6 существует число т=-а, такое, что (1=та есть целое алгебраическое число. Имеем т"-'Р (а) = чг ((1), где Ц(х) =х" +ад,х"-'+тао,х"-'+,.+т' 'ао — многочлен с целыми рациональными коэффициентами.
Произведение Я(61)Я(3о) .1г())л), ро=таь 1=1, ..., п, есть симметрический многочлен с целыми рациональными коэффициентами от величин рь ..., 6ы которые, очевидно, являются сопряженными для числа (1. Так как р — целое алгебраическое число, то по лемме 6 это произведение есть целое рациональное число. Но Р(ао)~ьО, 1=1, „п, Поэтому (г(рг)~0, (=1, ..., и. Значит, ) "ч(Р)! П!(с Фт)! )1 или л то" ) Р (а) ! П( Р (а,.) ( ) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
