31 Инвариантная форма уравнений Гамильтона (1158250)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

31-2

Лекция 31

Инвариантная форма уравнений Гамильтона.

Как выглядят уравнения Гамильтона в произвольных координатах (или в бескоординатной форме)?

Определение. Замкнутая, невырожденная 2-форма на многообразии называется симплектической структурой; пара называется симплектичекским многообразием.

Напомним, что невырожденность означает, что в любой точке на для любого ненулевого касательного вектора , найдется касательный вектор такой, что .

В силу кососимметричности на нечетномерном многообразии любая 2-форма вырождена. Т.е. симплектическое многообразие всегда четномерно.

Теорема. (Дарбу) В окрестности любой точки -мерного симплектического многообразия симплектическая структура в надлежащих координатах имеет вид , где .

Такие координаты называются каноническими.

Заметим, что сопоставляет любому векторному полю на дифференциальную 1-форму :

, векторного поля ,

Это отображение невырождено, т.к. невырождена. Пусть - обратный оператор:

Тогда

,

Пусть - функция на симплектическом многообразии . Тогда - это 1-форма.

Определение. Назовем гамильтоновым векторным полем с гамильтонианом на симплектическом многообразии векторное поле . Иными словами, - такое векторное поле, что для любого векторного поля выполнено

Задача. Проверить, что в канонических координатах Гамильтоново векторное поле имеет привычный вид .

Решение. (Решить!!!) Указание. Расписать в точке. Матрица для - это симплектическая единица.

Скобка Пуассона.

Пусть - симплектическое многообразие. Для любых двух функций и на положим

Этот оператор по двум функциям порождает третью. Он называется скобкой Пуассона.

Следующие свойства скобки Пуассона сразу вытекают из определения.

1. Функция является первым интегралом уравнений Гамильтона с гамильтонианом тогда и только тогда когда .

2.

3. Скобка Пуассона билинейна и кососимметрична.

4. В канонических координатах , поэтому

5. Тождество Якоби

Проверяется прямыми вычислениями в канонических координатах.

Решение. (Решить!!!)

Напомним, что Алгеброй Ли называется линейное пространство с билинейной кососимметрической операцией (коммутатором), удовлетворяющей тождеству Якоби: .

Примеры.

1. Пространство квадратных матриц порядка : - это алгебра Ли относительно коммутатора .

2. Пространство векторных полей на многообразии – алгебра Ли относительно коммутатора векторных полей . Здесь для поля мы приняли обозначения .

3. Следствие. Пространство функций на симплектическом многообразии является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона .

Теорема. ., т.е. гамильтоново поле коммутатора двух функций равно коммутатору гамильтоновых полей этих функций.

Доказательство. Из тождества Якоби получаем

Доказательство завершено.

Теорема. (Пуассон) Пусть и - первые интегралы автономной гамильтоновой системы . Тогда тоже первый интеграл.

Доказательство. Имеем . Следовательно, по тождеству Якоби . Доказательство завершено.

Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.

Функции , , такие, что , называются коммутирующими, или, находящими в инволюции.

Пусть имеется гамильтонова система с степенями свободы, обладающая первыми интегралами , находящимися в инволюции: . Рассмотрим многообразие уровня

Заметим, что, если интегралы функционально независимы в точках , то это действительно гладкое многообразие. Такая система называется вполне интегрируемой.

Теорема. (Лиувилль-Арнольд) Пусть на функции функционально независимы. Тогда

1. гладкое многообразие, инвариантное относительно действия фазового потока гамильтоновой системы .

2. Каждая компактная компонента связности диффеоморфна -мерному тору .

3. В некоторых координатах на уравнения Гамильтона имеют вид .

Схема доказательства.

1. По теореме о неявной функции - гладкое многообразие.

2. Векторные поля касаются . Действительно, .

3. Т.к. на независимы, то и векторные поля на независимы.

4. Векторные поля коммутируют: .

5. Остается применить следующий факт из геометрии

Лемма. Компактное, связное -мерное многообразие, на котором имеется всюду независимых коммутирующих векторных полей диффеоморфно . Более того, на нем существуют угловые координаты в которых все векторных полей постоянны (имеют вид , ).

Замечание. . Такие многообразия называются Лагранжевыми. Т.е. - лагранжево многообразие.

Доказательство. Действительно, , . При этом - образуют базис в касательном пространстве к в любой его точке. Отсюда сразу следует утверждение. Доказательство завершено.

Вопросы к материалу.

• Инвариантная форма уравнений Гамильтона.

• Симплектическое многообразие.

• Формулировка теоремы Дарбу.

• Гамильтоново векторное поле.

• Скобка Пуассона и ее свойства.

• Тождество Якоби.

• Алгебры Ли. Примеры.

• Связь коммутатора функций и гамильтоновых векторных полей.

• Теорема Пуассона о первых интегралах.

• Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах. Формулировка и схема доказательства.

• Лагранжевы многообразия.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций