30 Канонические преобразования (1158249)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

30-2

Лекция 30

Канонические преобразования.

Следствие. Пусть , , - другие координаты на расширенном фазовом пространстве, а , и - гладкие функции такие, что

(*)

Тогда в новых координатах уравнения Гамильтона имеют вид

, , где

Доказательство. Действительно, аннуляторы форм

и

совпадают. Т.к. , то совпадают аннуляторы форм

и

Значит, совпадают аннуляторы форм

и

Значит, совпадают и соответствующие Гамильтоновы векторные поля. Доказательство завершено.

Функция называется производящей функцией канонической замены координат . Предположим, что можно выразить через , и . Тогда из (*) получаем

(**)

Следовательно, имеем следующую связь между старыми координатами и Гамильтонианом и новыми:

, , (***)

В частности, если не зависит от , то замена автономная и , т.е. гамильтониан в новых координатах получается просто подстановкой в старый гамильтониан выражений старых координат через новые.

Производящая функция указанного вида не может определить тождественную замену переменных. В самом деле, если , , то , и и (**) принимает вид

Значит, , , , т.е. и (***) становится вырожденным преобразованием.

Часто требуется иметь замену переменных близкую к тождественной. В этом случае используют производящую функцию в другом виде. Перепишем (*) при следующим образом:

Обозначим .

Предположим, что функция может быть выражена через . Тогда

, , (****)

Для тождественной замены в этом случае годится .

Замечание 1. Если , то второе уравнение из (***) разрешимо (локально) относительно , т.е. можно найти . Затем из первого уравнения находим . Значит в этом случае преобразование (локально) существует. Говорят, что каноническое преобразование является свободным по переменным , (т.е. по переменным, от которых зависит производящая функция).

Аналогично, для второго случая получаем условие .

Замечание 2. Замечание о связи между “дискр. лагр. ” и “дискр. гам. ” (Прояснить!!!)

Понижение порядка по Уиттекеру.

Пусть гамильтониан системы не зависит от . Рассмотрим уровень энергии . Если везде на нем , то это -мерное многообразие. Будем считать его расширенным фазовым пространством системы с степенями свободы. Роль времени играет координата такая, что . Тогда и замена возможна.

Задача. Что делать, если импульса , для которого нет.

Решение. Поскольку , есть то надо сделать каноническую замену переменных , . Знак выбираем так, чтобы сохранялась ориентация.

Далее, для краткости считаем, что . Разрешим уравнение относительно .

Для большей ясности cделаем замену (просто переобозначение) переменных

, ,

Тогда .

Теорема. Исходные уравнения Гамильтона на уровне энергии эквивалентны (локально) уравнениям

, , ,

Доказательство.

Исходное гамильтново векторное поле является аннулятором дифференциала этой формы. Значит, оно аннулятор ограничения дифференциала этой формы на многообразие . Значит оно аннулятор дифференциала формы . Значит, поле на уровне гамильтоново, с гамильтонианом . Доказательство завершено.

Операцию, в определенно смысле обратную к понижению порядка по Уиттекеру описывает следующее утверждение.

Утверждение. Пусть - функция Гамильтона. Тогда соответствующие уравнения Гамильтона получаются из уравнений

, , , ,

,

Доказательство. Очевидно, следует из предыдущего утверждения.

Таким образом из неавтономной системы получаем автономную (автономизация системы).

Уравнение Гамильтона-Якоби.

Пусть . Попробуем найти каноническую замену , вообще говоря, неавтономную, такую, что в новых переменных гамильтониан равен . Тогда уравнения движения сразу интегрируются.

Пусть - производящая функция. Тогда

, ,

Ищем такую замену, чтобы

(*)

Это уравнение в частных производных относительно . Оно называется уравнением Гамильтона-Якоби.

Определение. Функция называется полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби, если она удовлетворяет уравнению (*) и

(**)

Получаем следующее утверждение.

Теорема. Если имеется полный интеграл уравнений Гамильтона-Якоби, то соответствующие уравнения Гамильтона разрешимы в квадратурах.

Доказательство. В новых переменных имеем . Следовательно , . Имеем систему уравнений, задающих замену координат

,

Согласно (**) из этих уравнений можно (локально) выразить , . Доказательство завершено.

Как искать полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби?

Утверждение. Пусть система автономна и меет одну степень свободы. Тогда соответствующее уравнение Гамильтона-Якоби имеет полный интеграл, получаемый в квадратурах, при условии .

Доказательство. Уравнение Гамильтона-Якоби

Ищем в виде . Подставим в уравнение. Получаем

(***)

Т.к. , то это уравнение можно разрешить: . Это обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися перемнными. Его решение находится в квадратурах

При этом . Действительно, дифференцируя (***) по , получаем

Доказательство завершено.

В случае многих степеней свободы основной метод нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби – это поиск отделенных, или разделенных переменных.

Пусть , тогда говорят, что переменные , отделены. В этом случае можно искать решение уравнения Гамильтона-Якоби в виде

где

,

Если , то говорят, что переменные разделились. Разделенные переменные – явление нечастое и сильно зависящее от выбора координат.

(интегрируемость в квадратурах системы интегралов в инволюции!!!)

Вопросы к материалу.

• Канонические преобразования.

• Производящая функция.

• Производящая функция тождественного преобразования.

• Невырожденность преобразований (разрешимость).

• Понижение порядка по Уиттекеру.

• Автономизация системы.

• Уравнение Гамильтона-Якоби.

• Полный интеграл. Разрешимость в квадратурах.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций