В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Достаточные условия минимума в классическом вариационном исчислении. В атом пункте будет рассказано о достаточных условиях минимума для задач, изучавшихся в $8 5 — 7. Эти условия выводятся на основе единой методологии, состоящей из построения поля, введения о'-функции, вычисления ее дифференциала и вывода основной формулы Вейерштрасса. 10.3.1.
Простейшая задача. 4 Докажем достаточность в теореме 1 и. 5.5.1. Л) Построение центрального поля, Распишем уравнение Эйлера Ы Э вЂ” — „, Ь. (~,х,х)+ ~,х(~,х,х)= О~=~А. ° (1,х,х)х+ + Ь . (~, х, х) х+ Ь . (С, х, ) — Ь„(Х, х, х) = О, Так как выполнено усиленное условие Лежандра, т. е. неравенство Ь ° . (~)) 0 У~ е= (~„~,), го в силу нехх прерывности функции Е ° ° (напомним, что Ье=-С'(%)) найдется такое Я~ ее С(й ), Я~~ ГХй, (Е, х(й), х(~)) е= Я, Уй е= (1„Е,), Ф что Х ., (~,х, х): 0 У(г,х,х) я= Я,. Значит, в облахх стн %, уравнение Эйлера равносильно системе, разрешенной относительно производных х=у, у=ФИ, х, у), где Ф(~,х,у) =Ь ° '.
(~,х,у)(Е,(~,х,у) — Е ° (~,х,у)— — Е е (1,х, у) у). В силу пре4положенпой гладкости интегранта функция Ф (дважды) непрерывно дпфференцируема, и, значит, по локальной теореме существования (ЛТФ, с. 186) и глобальной теореме существования и непрерывной зависимости решения от начальных данных (ЛТФ, с. 195) найдутся такие е ) 0 и о ) О, что а) решение х( ) продолжимо на отрезок [Г, — е, 1, + е); б) для любого Х ~ й" (И ( б) на отрезке (Г, — е, 8, + е) определено решение х(, Х) уравнения Эйлера с начальными данными х(1~) = х(1~), х(Г~)= х(1.
) + Х, где Й~ — некоторая точка из интервала (Š— е, Ю,). По теореме о дифферепцируемой зависимости от начальных данных (ЛТФ, с. 204), функция И, О х(г, О = (х И, ).„..., А.), ..., х.И, Х, ..., )~.)) непрерывно дифферепцпруема, Покажем, что экстремаль х( ) окружена центральным полем эксгремалей (х( °, Х)) (определение этого термина см. в п. 56.1).
Дифференцируя функцию Л- хИ, Х) по Х, полагая Х = 0 и обозначая хь г,Х)[х=~ —— НИ,1 ) дх, (г,),) ~ ~о ( ~~) д)„1 ) — 1 л 1Л=о получаем (поскольку Š— хИ, Х) — это экстремаль для 188 любого Л, !Л! ~ б) д / д $ 0= — ~~- — „Ь (~, (,Л),'(~,Л))+ + ~.Р,х(г,Л),х(~,Л)),,=~ — — „, (~„„И) Н(~, ~*)+ -!- Х ° (~) Н (~, 8„)) + Е ° (1) Н (Г, 8~) + Х,~(1) Н(1, 1~) = О, Получилось, что матрица Н (., ~~) удовлетворяет уравне- нию Якоби.
Прп этом выполнены следующие начальные условия: Н И„~,) = — „х(~„Л) 1,=, = — „х(~,) = О, Н И* ~,) = — „~ И.. Л)!~= = —,Л (х (~*) + Л) = Х Пусть Н(~, г~) — матричное решение уравнения Якоби с условиями Н~Л„1,) =О, НО„~,) =У. Поскольку выполнено усиленное условие Якоби, то не существует нетривиального решения Ь уравнения Якоби, удовлетворяющего условиям ЬИ,) = Ь(т) = О, ~» ( т ~ ~, (п. 5.5Л). Таким образом, усиленное условие Якоби равносильно невырожденности матрицы НИ, 1,) при любом 1 ~ (8„1,). Но тогда снова в силу глобальной теоремы существования и непрерывной зависимости решения от йачальных данных (АТФ, с.
195) (для уравнения Якоби, которое тоже, очевидно, сводится к разрешенной системе первого порядка) при достаточной близости 1, к г, матрица Н (1, 1~) будет невырожденной для любого ~~ Й„~,1. Рассмотрим отображение Ч" (~, Л) = (1, х(г, Л)) в некоторой точке И, О), ~ ~ (~„1,). Имеем 1 О пес Ч" (г, О) = пес ~, (-„. 0), (-, о) 1 = пеФ Н (Е, Е,) Ф О, Значит, по теореме об обратной функции найдется такое 6=6(Е) )О, что если только Б — т! ~6, !$ — х(Е)! ~6, то существует единственное Л = Л(т, $) такое, что Ч'(т, Л(т, $)) = (т, $) -4=~ х(т, Л(т, $)) = $.
В силу компактности графика Г"= ((й, х(й)) !Ю ~ И~, 8 3) можно найти одно б, такое, что для любой точки (т, $), !$ — х(т) ! ( б„существуег (и как нетрудно понять— единственное) Л=Л(г, $), при котором х(т, Л(т, $)) = $. При атом гладкость функции Л такая же, как глад- 189 ность х, т. е. С'. Построение центрального поля, окружающего экстремаль, закончено.
Остается положить и(т, $)= д = —,х(1, Л(т, $)) (~=,. Б) Я-функция и ее дпф фере нцп ал. Положим ~ (т, ~) =- ~ Ь (~, х (~, Л (т, Р), ' Р, Л (т, Р)) Ь, Функция (т, ф) -Я(т, $) называется Я-функцией. Вычислим ее дифференциал. Имеем по определешпо х(т, Л(т, $)) = $, (1) х(т, Л(т, $)) = и(т, $). (2) Дифференцируя под знаком интеграла, используя непрерывность х~, вытекающую из того, что хя С2, получим — (Ь„(1, х(1, Л(т, $)), х(Г, Л(т, $))), х,(~,Л(т,$))Л~(т,$)> й+ + ~ <Л. (~,х(~,Л(т,~)), х(~,Л(т,~))), х~ (Ю, Л (т, $)) Л~ (т, $)) й, Интегрируя второе слагаемое по частям (используя (2), то, что х(, Л) есть акстремаль, а также то, что хр, (Е~, Л (т, Ц)) = 0), получим = (Л ° (т, $, и (т, $)), хх (т, Л (т, $)) Л~ (т, $)).
Но из (1) следует равенство х~(т, Л(т, $))Л~(т, Ц) =1, откуда окончательно имеем = ~. (т, $, и (т, %)) = р (т, В). Аналогично, ~=~(,в, ~,ив+~к~.(,*кх~.,в х (Е, Л (т, $))), хх (т, Л (т, $)) Л, (т, $)) + ьо + (Ь. (г,х(~,Х(т,$)),х(~, 1(т,$))), хь (~, 1 (т, $)) ~., (т, $))) Й = Ь (т, $, и (т, ~)) — (Ь . (т, $, и (т, $)), и (т, $)) = — Н (т, $), Здесь после интегрирования по частям с учетом (2) сле6 дует принять во внимание тождество х (т, Мт, $)) + + хл(т, Х(т, $))Х~(т, ф) = О. Итак, йЯ(т, $) = <р(т, $), дф> — Н(т, $)от. В) Основная формула В ей ерштр асса. Пусть %, — односвязная окрестность графика экстрема- ли х( ), покрытая центральным полем экстремалей х(, Х), и х( ) ~ КС'(К, ~,1, В") — любая функция, график которой расположен в этой окрестности; при этом х(г ) = х(г,), х(й,) = хИ,). Тогда с, ~ (~1» хл) — ~ (Г0~ хо) = ~ с~~ Р! х (~)) = Фо ~1 ~ Ы8 (~, х (1)) =" ~ ( — Н (1, х (1)) + (р (1, х (1)), х (1))) Й =' ~0 ~0 Ф1 ы' = ) (Е(1, х(1), х(1)) — (Ь ° (1, х(1), х(л)), х(1)) + 0 е + (Ь ° (~, хИ), х(т)), хИ))) дЕ = ~Ь(Е, х(8), х(Ю))д~=Р(х( )).
л: $ О Отсюда у(х~ )) — у(х( ))=~л (~,х(~),хф)и~ — ~ ю(~,хф) О х, = ~ (й (Х, х Я, х ®) — Е (л, х (Ю), и (~, х (Ю)))— 'Π— (А ° (1, х(1), и(1, х(1))), х(1) — и(1, х(1))~) сИ = с, = ~ ~ (Е, х (Е), и (г, х (й)), хЯ)й. О Эту формулу называют основной формулой Вейерштрасса. 1И Г) Достаточные условия. Из квазпрегулярности пнтегранта следует, что если (1, х) ~ У, то ~ (г, х, и, х) .=- а ~~О У(и,х) ~ Й" ><В" Если теперь выбрать Я. лежа- щей внутри $', то из формулы Вейерштрасса немедленно последует, что для любой функции х( ) е- :КС'(К, г,1, В"), график которой лежит в Юм У(х( )) « У(х( )), т.
е. х( ) доставляет сильный минимум. Докажем теорему 2, т. е. исследуем задачу с, Л' (х ( ° )) = ~ (<Лх, х> + 2 <Сх, х> + <Нх, х>) сй -~-1пГ; о (з') х (Ео) = хо, х (Е1) =- Х1. А) Пусть не выполнено условие Якоби. Тогда по теореме 1 и лемме о скруглепии углов (ЛТФ, с. 69) существует функция $(.) ~з С'((~„~,1, й"), $(й,) = К(Е,) = О, для которой Х($И) =О.
Ио тогда Л,"(с4( )) — — при а- +,т.е.Я,„=— Б) Пусть выполнено усиленное условие Якоби и Н(~, т) — матричное решение уравнения ')йлера задачи Л'(х( )) - 1п1; х(~,) = х(~,) = О, удовлетворяющее условиям Н(т, т) = О, Н(т, т) = У. Из усиленного условия Якоби вытекает, по матрицы Н(8. 1„) и Н(й, й,) невырождены для Е~ИО, Г,1 и (Е„Е,) соответственно. Положим Н,® =Н(ю, ю,)Н '(ю„г,), Н,И) =П(К, ~,Я '(е„ю,), Тогда Н,(~,) =6,„7, Е, у = О, 1, и, значит, х(Е) = Н,(Е)х, + + Н,(~)х, — допустимая экстремаль в (з'). Эта акстремаль единственна, ибо если бы х( ) была другой допустимой экстремалью, то у = х — х было бы нетривиальным решением уравнения Якоби с условиями уй,) = уИ,) = О, а это противоречит усиленному условию Якоби.
Пусть теперь х( ) — любая функция пз КС'((8„~,1, й"), х(~,) = х(й,) = О. Поскольку х( ) — акстремаль, то нетрудно вывести, что ,У(х( ) + х( )) = Ж(х( )) + ~(х( )). Семейство функций х( °, Х) =- Н( °, ~~) Х, где ~~ настолько блпзкб к 8„что матрица Н (8, Е~) невырождепа ИЗ при ~, = ~ = ~с (см. доказательство теоремы 1), есть поле, покрывающее всю полосу 1,~1 =1,. Функция наклона етого поля: и (с, х) = Н (г, 1. ) Н (1, 1 ) х. Отсюда по формуле Вейерштрасса (см. п. В) доказательства теоремы 1) л' ~х с 'л = ( (А щ ~х — и о, г„) сс ' о, й„) х), х— со — Н (с, ~ ) Н ~ (8, 8~) х) ссс '.з О, поо А(() ) О по условию.
Значит, Л~(х( ) + х( )) ~ ~ Л,"(х( )). 1> Далее (для задачи Больца, изопериметрпческой задачи и задачи со старшими производными) мы не приводим всех рассуждений детально, а указываем лишь на существенные новые моменты. 10.3.2. Задача Больца. Докажем достаточность в теореме 1 и. 5.5.2. Из условий теоремы, подобно тому, как ато было проделано при доказательстве теоремы 1 п. 5,5 1, показывается, что существуют малые окрестности Р, и Г, точек хй,) и х(~,) такие, что для любых $,е У„$, оз 1', существует единственное решение уравнения Эйлера х( °, $„$,), для которого хИ„1„$,) = $„с = О, 1. Тогда, если график х( ) лежит в малой окрестности графика х( ), то Я(х( )) =У(х( )) + Пх(й,), х(8,)) =У(х( ))— — У(х(, х(Г,), х(Ю)))+У(х(, хМ, хИ,)))+ + Е(хИ~), х(Е,)) =У(х( )) — У(х(, х(Е,), х(Е~))) + + Ф(хй,), хИ,)), (1) где сд Ф(9о, %,) = ~ ~ (~, х «, ь„ьс), х (й, ьо, $,))й + 1(%„ь).
Производя дифференцирование под знаком интеграла в атой формуле, затем интегрируя по частям с использовапием того, что (х(, $„$,)) — это семейство решений уравнения Эйлера, и, наконец, повторно дифференцируя, 193 получим Ф" (О, О)(х„х,) =(Р+Д)(х„х,!. Теперь следует воспользоваться тем, что по формуле Вей. ерштр асса У (х( ° )) — У (х(,х(1,),х(1,))) = ~ ~ й) О. ~о Вследствие положительной определенности Р +Я, если (х(Е,), х(й,)) лежит в малой окрестности (х(Е,), х(Е,)), то Ф(хИ,), х(й,)) «Ф(х(й,), х(Е,)) и мы приходим к тому, что требовалось: !!х( ° ) — х( )Ь(,, „) 6=Ф-Я(~( )))Я(х( )).
Теорема 2 доказывается аналогично теореме 2 и. 5.5.1. 10.3.3. Изопериметричеекая задача. Докажем достаточность в теореме 1 п. 6.2.1. Пусть х( ) — экстремаль задачи (з) п. 6.2.1 и р=(р,, ..., р ) — соответствующие множители Лагранжа. Обозначим /= (~„..., ~ ). А) Построение центрального поля. Распишем уравнение Эйлера для лагранжиана Х(г, х, х, р) Х,($, х, х) + (р, 1(1, х, х)) в виде системы д — — Ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
