В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Имеем ег'Г (рис. 13) верхнюю и нижнюю прямые: р,+ (, Т) = .1 (1)+ Т р (т, Т) = — е~'(1)+ Т Положим и~(т, Т) = У(р-~ (т, Т)lе), Рис. 13. т ц~~т)=) ~е,т)й, к;-(т)= (~~ — а),~о,т~й. тмша а.ооко о мое множество лежит между кривыми Т -~ ($~+ (Т), 4+ (Т)) и Т-+($ (Т), $ (Т)). Сепаратрисой служит движение, когда ро (~, р) = р.
Синтез схематично изображен на рис. 14, Рис. 14. 11.136. х = (1. ~ 21В...,, 1/~/ 27йф — 1/ ~ 2ш, ...,— 1ф 2т, О)~:-Б ев аЬв апп. 11Л37. Указание. Формализовать задачу: х +х +х -в 1п1; х~~+ ... + х >10000,, + ... +х (3, х > хо>...
... )~ х о) О, и прйменить принцип Лагранжа. 11Л38. Указание. По теореме Рисса неотрицательный полипом по косинусам представляется в виде х(1) = ~хо+ х,о" + ... ... + хие и'~о, откуда следует, что задача допускает следующую формализацию: а-т п р = ~~ хах„~ -~впр; 2 а=о а=о Ответ. р =сов — „ и+ 2' 11,139, Указание.
Формализовать задачу: и применить принцип Лагранжа. 11Л40. Указание. Применив принцип Лагранжа к задаче х И-~ вор; х +х Н1~(1, о о прийти к следующей формуле, являющейся следствием основной 283 формулы Вейерштрасса: ( (," ' — ~ .~-,') а~ = ( (," .~. *' , ,)' ыа ~. ( ' <о> „- ~о>)', о о а затем вместо х(г) подставить у(аг), а ) О. 11.141, При и = 1 Я(~) = е»; прп и = 2 х (~)= = е о сов=. При произвольном в функция х(.) имеет вид (/2 о ~~~ а;о« ', где /«~ — корни уравнения /«~~ = ( — 1)"+1, лежащие 1=1 в левой полуплоскости, а а,„ являются решением некоторой системы линейных уравнений. 11А42. Функция х( ) симметрична относительно прямой =1/2; на отрезке (0,1/21 зта функция являетсяобратной кфунк- х ции 1= ~, д = —, а константа /«определяется у+1 1у, о из условий задачи.
11.143. Решения задачи не существует. Если наложить «принудительное» ограничение ~и~ = А, то при А ~ я» решение будет иметь вид с, 0~( й» т(А), хА(») = $/Асов((/А(1 — 1/2)), т(А)~1(1 — т(А)э 1 — т(А) ч,« ~<1. Переходя к пределу при А -» +оо, получим, что численное значение задачи равно четырем и обобщенное управление есть й,о(~) = =46(г — 1/2), а обобщенным решением будет х»о(«) 1 при 0< (~ =1/2 и х»о(1) =1 — 1при 1/2с $(1, ЛИТЕРАТУРА Учебники и учебные пособия АТФ. Алексеев В.
М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление.— М.: Наука, 1979. КФ. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1981. Зор. Зорич В. А. Математический анализ, часть Б — М.: Наука, 1981. Н, Никольский С. М. Курс математического анализа, т.
1 и 2.— М.: Наука, 1975. 1. А х и е з е р Н. И. Вариационноо исчисление.— Харьков: Издво Харьк. ун-та, 1981, 2. Ах незер Н. И. Лекции по вариационному исчислению.— М.: Наука, 1965. 3. Б л и с с Г. А. Лекции по вариационному исчислению.— М.: ИЛ, 1950. 4. Буслаев В, С. Вариационное исчисление.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 5. Васильев Ф, П. Лекции по методам решения экстремальных задач.— М.: Изд-во МГУ, 1974. 6. Габасов Р., Кириллова Ф. М, Методы оптимизации,— Минск: Изд-во БГУ, 1981. 7.
Г а с с С. Линейное программирование.— М.; Физматгиз, 1961. 8. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление.— М.: Физматгиз, 1961. 9. Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по 'высшей математике, т. 1 и 2.— М.: ГИТТЛ, 1957. 10. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1968. 11. Еремин И. И., Астафьев Н. Н.
Введение в теорию линейного и выпуклого программирования.— М,: Наука, 1976. 12. Заславский 10. Л. Сборник задач по линейному программированию.— М.: Наука, 1969. 13. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач.— М.: Наука, 1974. 44. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Вариационное исчисление.— М.: Наука, 1973. 15.
К а р м а н о в В, Г. Математическое программирование.— М,: Наука, 1975. 16. Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1976. 17. Рока феллар Р. Выпуклый анализ.— М.: Мир, 1973. 18. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.— М.; Изд-во МГУ, 1976. 19. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полна Г. Неравенства.— М.: ИЛ, 1948. 29. Зк ланд И., Темам Р.
Выпуклый анализ и вариационные проблемы.— М.: Мир, 1979. 21. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления.— М.: Ыир, 1974. 285 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ (х1Р(х)) — множество элементов х, обладающих свойством Р(х) х( ) — обозначение, которым подчеркивается, что х( ) является элементом функционального пространства Г С вЂ” суперпозиция отображений С и Р: (Р.б) (х) = Г(С(х)) Н = Н (1 ( — оо, +оо) — расширенная числовая прямая Н+ — неотрицательный ортант в Н", Н+ — — (х=(хт, ..., х„) Е= ~ Нэ ~ х )0,1 =1, ..., п) й(х, г) = (у1Пх — уП ~ г) — открытый шар с центром х радиуса г о В(х, г) = [у1Пх — у11 ( г) — открытый шар с центром х радиуса г Т„М(Тх+М~] — множество касательных (односторонннх касательных) векторов к множеству М в точке х Хэ — пространство, сопряженное с Х (х~, х) — значение линейного функционала хэ на элементе х Ах = (х*ен Х*1(х'", х) = О ух ен А) — аннулятор множества А 2'(Х, У) — пространство линейных непрерывных отображений пространства Х в пространство У; отображения из 5Р(Н", Н™) могут отождествляться с матрицами этих отображений 1 — единичный оператор (матрица) Лэ — оператор, сопряженный с .оператором Л, (Л*у~, х) = = (у~, Лх) Яен О(Х) — множество М открыто в пространстве Х Я яьг(х, Х) — множество М, содержащее элемент х, открыто в Х С([10, 1~]) — пространство непрерывных функций на отрезке [10, ~~] с нормой Пх( ) !10 = шах 1х(~) 1 пв(аь с,] С" ([1„~~]) — пространство г раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [~~, г~[ с нормой Пх( )П„= шах(Пх( )П„ Пх( ) Пе, ....
Пхоо ( ) П0) ХС([г~, йД) — пространство кусочно-непрерывных на отрезке [~0, ~~] функций, т. е. имеющих не более конечного числа разрывов первого рода (в точках разрывов существуют конечные пределы слева и справа) бу(х, ° ) — вариация по Лагранжу отображения 7 в точке х Г е= 0" (х) — отображение Р дифференцируемо по Фреше й раз (й:> 1) Р ен Я1)(х) — отображение Р строго дифференцируемо по Фреше в точке х дг" (х) — субдифференциал функции Р в точке х х ен аЬз ш1п (аЬэ шах, аЬз ех$г) — Х доставляет абсолютный минимум (максимум, экстремум) в задаче Х ел1ос ш1п(1ос шах, 1ос ех1г) — Х доставляет локальный минимум (максимум, экстремум) в задаче Я, — численное значение задачи (з) (Р) — задача, приведенная с решением ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аннулятор 27 Вариация по Лагранжу 29 Вектор касательный 34 — односторонний (полукасательный) 34 Дифференцируемость по Гато 29 — по Фреше 28 — строгая 29 Задача Аполлония 56 — Архимеда 56 — Больца 84 — выпуклого программирования 68 — двойственная 71 — Дидоны 134, 162 — Евклида 54 — изопериметрическая 123 — Кеплера 54 — Лагранжа 147 — линейного программирования 73 — ляпуновская 159 — Ньютона аэродинамическая 204 — о быстродействии 177 — оптимального управления 157 — о центре тяжести 229 — простейшая классического вариационного исчисления 90 — со старшими производн(зми 135 — с подвижными концами 97 — Тартальи 54 — Ферма 54 ' — Шеннона 162 Иголка элементарная 167 Игольчатая вариация управления 163 — — функции 163 Интеграл импульса 93 — энергии 93 Интегрант квазирегулярный 104 регулярный 104 Конволюция 61 Конус сопряженный 59 Критерий Сильвестра 50, 219 Лагранжиан 124 Лемма Дюбуа — Раймона 87 — — — усиленная 136 — об аннуляторе ядра регулярного оператора 27 — об игольчатой вариации 171 — о замкнутости образа 27 — о минимаксе 78 — о нетривиальности аннулятора 27 — о правом обратном операторе 27 — о приращении функционала 168 — о сопряженном конусе 76 — о центрированной системе 169 — Хоффмана 77 Максимум (минимум) 9 — абсолютный 11 — локальный 12 — сильный 90 — слабый 84 Метод Ньютона 52 — — модифицированный 53 Множество выпуклое 58 — эффективное 58 Мне,"кители Лагранжа 15 Надграфнк 58 Неравенство Адамара 229 — Бернштейна 226 — Вейля 222 — Гельдера 57 — Гильберта 216 — для производных на полу- прямой 226 — для средних степенных 57 — Иенсена 65 — Карлсона 162 — Маркова 226 — между средним арифметическим и средним геометрическим 57 Неравенство Минковского 57 — Харди 217 — Харди — Литтль вуда — Полна 218 — Юнга 59 Оболочка выпуклая, коническая 58 Оператор инволютивный 60 — регулярный 28 — сопряженный 22 Пакет иголок 170 Поле зкстремалей 107 — — центральное 107 Полиномы Лежандра 54, 231 — Чебышева 231 — Чебышева второго рода 231 Поляра 59 Преобразование Лежандра— Юнга — Фенхеля 59 Принцип Лагранжа 12, 16 — максимум Понтрягина 165 Субдифференциал 59 Теорема Боголюбова 106 — Вейерштрасса 24 — двойственности 72, 160 — Дубовицкого — Милютина 61 — Куна — Таккера 69 — Моро — Рокафеллара 61 — об альтернансе 232 — об очистке 61 — основная алгебры 218 — отделимости вторая 25 — — первая 25 Теорема существования 198 — Фенхеля — Моро 60 — Ферма 39 — Эйлера — Лагранжа 150 — Якоби 140 Терминант 84 Точки допустимые 11 — критические 12 — сопряженные 104 — стационарные 15 Уравнение Гамильтона — Якоби 110 — Эплера 85 — Эйлера — Пуассона 136 Условие дополняющей нежесткости 40 — Лежандра 103 — неотрицательности 40 — Слейтера 69 — стационарности 89 — трансверсальности 85 — Якоби 104 Формула Вейерштрасса основная 109 Функция Вейерштрасса 108 — выпуклая 59 — — однородная 58 — замкнутая 59 — индикаторная 60 — Лагранжа 15 — Минковского 60 — наклона поля 107 — опорная 60 — полунепрерывная снизу 24 — собственная 58 Я-функция 107 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
