В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 37
Текст из файла (страница 37)
и =~ х ел аЬз ш1п, — зеаЬя шах. (1 — л/2, 1 л/4, 10.3. Р е ш е н и е. 1. Формализация: зо ~и((11-~1п1; т=и, и>~А, з(0) =О, з(Т) ~ (А -О) о Функция Лагранжа: то Я' = ') (Х ~ и ~+ р (т — и)) <Й+ Х х'(0) + Х (з (Т,) — $). о 2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: р = 0 «=о «=>- р = ро — — сопзС; б) трансверсальность по ~: р(О) = ),ь р(Т,) = — Х2, в) оптимальность по и: ш1п (Хо(и[ — ри) = и3:А = Ро~й! — ра. 3. Если Хо = О, то рочь 0 (иначе все множители Лагранжа— нули). Пусть ро ) 0; тогда ш1п ( — рои) = — ао и условие оптимальив-'А ности по и невыполнимо.
Если же ро < О, то из в) следует, что и~ А, т. е. х = Аз, и, значит, допустимая экстремаль возможна 'лить, если $ = АТ,. При $ < АТ, нет ни одной допустимой функции. При $ )АТо в случае Хо = 0 также нет допустимых зьстремалей. Положим Хо = 1. Тогда из условия оптимальности по и: если ро ) 1, то условие в) невыполнимо; если ро — — 1, то в качестве й( ° ) можно взять любую неотрицательную функцию; если — 1 < < ро < 1, то й =0; если ро —— — 1, то й( ) — любая функция, удовлетворяющая неравенству А = Й(г) < 0; наконец, при ро < < — 1 й ои А. Таким образом, для $ = АТо допустимых функций нет; для $ = АТ, имеется единственная допустимая функция— экстремаль х(г) = Ас; при А То < $ < 0 допустимой зкстремалью служит любая монотонно убывающая допустимая функция; при $ = 0 имеется единственная допустимая экстремаль Я ае 0; наконец, если $ ) О, то любая монотонно возрастающая функция является допустимой экстремалью.
о 4. И~ о ~ *й = 5 едуе ер е~а~ю о то ~ ) ~ х(А, обращающееся в равенство на любой допустимой о экстремали. Значит, любая допустимая зкстремачь доставлгет аЬз ш1п. ~1'~4 — 3 О (1 104. х=~ ' ' - ~ ' хя аЬвпйп 4 — 1е-=аЪваах, Фт 10.5, Т «„2=о — —" я аЪвппп,' 4 2 0<1<То — 2, То — 2<1~: То ((1 — Т,) в/4+ 1 — Т,, х еи аЬв т1п, 1 екаЬв шах.
— 1+$, О< 1<т — 2, 10.6. То:~ 2 =Ф х = (1 Т ~)!4 + 1 + В Т о То 2 < 1 <~ То> «еи аЬв тп1п; Т о~ 2 =Ф х = (1 — Т )в/4+ $ — То/4 ~ ек аЬв ппп, 1+ $ ~ аЬв и~ах. 10.7. Яш!и = — оо (х„(1) ~ ~ — 1, Т„и= п), Яшах = +со (х„(1) = $+1, Т„° и). $ (О=о допустимых экстремалей нет; 0 $ о~1 о Х = 1о/4 — Ф+3 — допустимая экстремаль; =2Л, $ ) 1.о допустимая экстремаль (-1+2, 0<1~~-1, п11п ~((1 $ 1)о/4, $ 1 ( 1 ~ Т, 10.8. Т <2=> х = 1~/4+$ — Т,',/4~ аЬвпи'п; (1/4+1+$ — То, О~(1»~2, т, ~2-.-. =~' 1+~-То 2<1<То, х еа аЬв ппп, — 1+ Т + $ ~ аЬв тпах. о 10.9. То ~4=Ф х = 1(1 — Т )/4ек аЬв ппп; То) 4~ — 1, О <1< то/2-2, (1 Т /2) ~4 + 1 то/~ То/2 2 ~ 1 (То/2 + 2 То ' То/2+ 2 < 1 ~ То' 0 < 1 1то/2ь х ел аЬв ппп; х = ~ х еа аЬв тах. 1то 1' то/2 ~ 1~ то' 10.10.
Япып = оо~ Яшах ~ + оо, $ ~~ О =$ допустимых экст" ремалей нет; 0 = $ < 1=о допустимая экстремаль Х 1Р/4, Т = = 2)'$; $1 =:- допустимая экстремаль 1Р/4, О » «1 ~( 2, — 2<1~ Т, 10.И. !$!<ссЬТ -~х= Ьт сЬ(1 — Т)яаЪвтп1п, )Ц> о $ — 8в16п$, 0(1()$~ — 7 1+Со, с1ЬТ Мх= С в1дп Ь с1» (т — Т ), ) $ ) — 1' 1+ С ( 1 ( Т~, 26,> Неизвестные константы и точка т находятся из условий непрерывности х и х в точке т и условий на концах.
4. Покажем с помощью непосредственной проверки, что Уев ея аЬз ш1п. Возьмем функцию х(.) такую, что Х( ) + х ( ) является допустимой. Интегрированием по частям с использованием соотношений р(2) — О, р' — — 1, х(0)= х (0) = х (2) = 0 р = р 1 (1 — 2) приходим к тождеству 2 2 $ 2 3 ! '!2 ' !2 — рх ~й = — рх ~о + рх !о — рх 31 = х Нй, о о о откуда следует, что г ~" (.) ~. * ~ ц — х ~" ( ц - ) — р*" а ) о, 'о поскольку рЯ <О; 2Я >О при Юев (О, 1) и рЯ >О, х(г) <О при геа (1, 2).
0<1<1, 1(~(3, хенаЬзш(п, — хя аЪзшах. 10,21. х = 3(~((4, ( — Р— 2~, — 1(~«~0,- 10.22. х = ~ Т = 1~ еа аЬзш1п.. (Р— 21, 0<1<1, (1'+З, — 1(С(О, 10.23. х =~ Т = 1 ы аЬзшш. ~ — Р+2ю, О(с<1, 10.24. х = 1+1, 0<1<1, Т = 2 ен аЬз ш1п.
1 — г +4~ — 1, 1<(~<(2, ~ — 1 /2+ 1, 0 ( г ( ~/3, 10.25. х = 'Т= — ея аЬз ш1п. И'1/Зг 4) /2 — 1, $/3 =с(Т, )IЗ / 10.26. х = ~ — ЗГ/2+ 3, 0(~ «- $/3 - 8 Т= - ен ((к — 8/ДЗ) /2 — 5, 2/$/З(с(8 ~/3, УЗ / ен аЪа ш)п 10.27. Синтез задачи изображен на рис. 7. 10.28. $,~0=~ (Х = — Р/2+ й2г+ $„Т = 4) еваЬзш1п, 4< " О =~.
(х = Р/2 + $~1 + 6п Т = — $з) ~ аЬз ш1п. 10.29. $ ) О=~ ~х= — ~ /2+ азу+ $1, Т = ьз+~/ $~+ 2$т) я я з Ьз ш1п, $1 < О =ь (х = ~ /2 -(- $зг + $т, Т = — $з+ ~l $~~ — 2$1) еа ~ аЬ| ш)п, $ = О=о Т = 0 ~ аЬз ш1п. 268 Рис. 7. О , О<ю<1, 10.30. х = — ~1 — 1), 1( Ю(2, 1 0<1<1, ~ — 21+ 1, 1(~ ~2, 21, 0<1<1, 10.32. х = 1 хан аЬвш1п. ~3 — 11 — 2), 1< ~(2, 10, 0<~<1, 10.33. х = ~ з х~ аЬвш1п. 111 — 1), 1 ( г ( 2, 111 — 1)', 0 ( 1 ( 1, 10.34. х = х ен а Ьв нпп.
О, 1(г~(2, ~8с' — 181 + 11, 0 < ю ( 1/2,- 10.35. х = ' хан аЪвш1п. 112 1й — 1)~, 1/2 ( 1 < 1, $ — й'+ 6~', 0 ( г ( 1, 13~~+Зг — 1, 1(1(2, 03 О (1(1/2 - Ь 10.37 ° х = х ен а Ьв ш1п. ~з/3 — 8а + 1/4 — 1/24, 1/2 ( 1 ( 1, 10.38. г еа аЬв шах, — ю ы аЬв ппп. 10.39. То < 2 =~- допустимых функций нет; Т, ~ 2 =в- х = Ц'2/То ен аЬв шах, — Х ан аЬв ш1п. 10.40. Решен и е. 1. Формализация: 1 — + ) и ~ Н~ -~- ех1г; х = и, х (1) = $.
/х +и о Функция Лагранжа: 1 /х +и 2 2 2' = Хе~ +)и~ + р (х — и) Ю+Хх11). о 2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: — Р+ Хох = О; б) трансверсальность по х: Р(0) = О, Р(1) = — Х; в) оптимальность по и: ш(п Х вЂ” и+ ( и ( — Ри Хо — + ~ и ~ — Ри в) б) 3. Если Хо =0 =в- Р = О =в. 1 =0, все множители Лагранжа— в) нули. Полагаем Хо = 1 в задаче па минимум =."- О, ~) р ') < 1, Р— 1, Р~ 1, Р+1, Р< — 1. в) >и= Поскольку Р(0) = О, то й(г) = О при малых 1. Значит, х(~) = С сопз1, а из условий а) и б) р(1) =С1 при этих г.
При 1/)С) модуль р(Ц становится равным единиде. Это точка пеа) реключения управления. Пусть )Р~ ) 1; тогда й=р =в- и — х О. Из непрерывности й х находим, что х = СсЬ (~ — 1/)С)). Константа С определяется из условия х(1) = $. Очевидно, что Я ° ~~ + оо. 4. Допустимая зкстремаль: )$) =1=» хоев ф, )ф) 1=в. С, О < 1 < 1/( С ), С сЬ (1 — 1/( С ) ), 1/) С ( «< Е < ~1, 111. й иви 1 ек аЬз ш(п, Я„~ = О, Я,в„=+ оо. 11.2. х = = — (Р+3)/4Ф 1ос ех1г, Ямы = — ое (т (~) вв и), 8111йх + 11,3, (ф~ ) 1 в- допустимых функций пет. )$! ~ 1 =~- Я„,„в = 1 достигается на любой ломапой ()х(г) ~ = ~ 1 впе точек излома), соединяюшей точки (О, О) и (1, ф); Я,юв = $', $8 ~ аЬз ш1п.
11.4. (2ЕТо — ~ )/4 ев аЬз пмп, Бане = То/12' Злах = г оо 11.5. (гТ вЂ” тв)/4 ев аЬе ш(п, Я „= — Тз/48, Ящ + оо, 270 где С определяется из уравнения СсЬ (1 — 1/!С)) = ф. В силу выпуклости задачи х ~, ~ аЪз ш1п. 10.41. Оптимальная траектория — окружность радиуса Т„'(2а). Решение этой задачи и задач 10,42 — 10.45 см. в АТФ, с. 110.
10.42. Оптямалыия траоктория — эллипс (х'+ у')'~' — $у = сопзс. 10.43. Оптимальная траектория — эллипс (х/Ь)'+ (у/а)' К'. 10.44. Оптимальная траектория — квадрат ) х ~ + ) у! = сонэк 10.45. Оптимальная траектория — квадрат ~ х~ = сопз1, ! у ~ = соней 10.46. х — 2 ~1п и+и ' — и)+ Р ~= — '(и+2и ' и), Р < О,— кривая Ньютона. Решение см.
в АТФ, с. 99. 1047. Допул стимые экстремали: х„(1) ~ ь1дп соз (2и + 1) —, т йт, и О, о ~1, ... При этом Хоев аЬз шах. И.6. Т я" 2 ь х „= (2ГТ вЂ” 1~)/'4 ен аЬв ппп, о. 1> О ( Г ~~ 7„— 2, Т вЂ” 1 — (à — Т ) ~4, Т вЂ” 2( Г -.Т, Т~/12) Тз ' 2 ==' хаил = х„.,1„~и аЬвш(п, х„, „= — Ген аЬв шах, Я = Т +7~~/2, И,7.
Та( 4 ~ хш1„— — (17а а~)/'4 ен аЬв 1п1П, Ю„,п То//48 Г> О (1(7 /2 — 2, ~а ) 4 =Эх ап1П = Та/2 1 (à — ~а/2)'/4, Та/2 ~~~т Та/2+2' Та — г, Т /2+ 2 ( т ( Та' О ( Г ~~ Та/2' х вн аЬв ш)п, х ппп Р—, т/2( (Т, х шах ен аЬв шах, Яшах = 7 а + То/4. 271 И.8. Допустимых экстремачей нет. Я„п,= — оо (х(Г) =1=а- =:- У(х( ), Т) = Т вЂ” Та/2-~. — со при Т-~-+ оо или х(а) = хп1п(Г)— допустимая экстремаль из ответа к задаче И.б). Я а =+ оо (1(ю) = — т =а. 7(х( ), Т) = Т+ Т'/2- + оо при Т- + со). И,9. Допустимых экстремалей нет. Я пи„= — со (х (1) = Гт, 0(Г(7/2, '=> У (х ( ° ), Т) = Т вЂ” Т'/4или х(Г) = х(Г)— Т вЂ” 1, Т/2 ( 1 ~( Т, допустимая зкстремаль из ответа к задаче И,7 =а- У(х( ), Т) а- — со пРи Т ) +со).
5'пьаа = +ос [ .à — 1, 0 ( 1 (7/2, х (Г)=~ ' ' =М"(х ( ), 7)=7+77/4 — ~+ос при Т -а,+ос). (à — 7, Т/2(Г(~7, И.10. х=1е=аЬвш(п, Ю,п,п =О, 8~„=+ оо (х (Г) (2л+1) в)пл (2п+1)~). ИЛ1. Зà — ЗР/2езаЬвш1п, Я ~ =3, 2 Б,па, =+ оо (хп(Г) = ' (2п'+ 1) вш л (2п+ 1)Г).
ИЛ2, 6à — 6Рел 2 ез аЬвппп Ю,п~п — — 12 ааааа =+ оо (хп (~) = — (2п+ 1) вшл Х 2 Х (2п+ 1)Г). ИЛЗ. 15Г/4 — 5~а/4 аз аЬв ппп, Я,п~п = 15/2, Я =+со. ИЛ4. 15(à — ~')/2ы аЬвш(п, Я,~п —— 45, бивак =+ос. 1115 Баас = +со, 5Г /8 — 15т/8+ 1 е= аЬв ш1П Зппп = 15/8. И 6 ааааа = = +оо, — 20Г'/3+ 14Га — ЗГ+ 1~ аЬв ш1п. Яп,ы = 8. ИЛ7. Яш х —— = + оо, 2ОГа/3 — 6Га+ 1/3 е= аЬв тп1П. Зппп — 8. ИЛ8.
Япааа = + со, 10Р— 12Га+ Зт ея аЬв ш1п. ИЛ9. х(й) — 3(Т = 1/3) ен аЬв ш1п, Я „,=+ оо; имеется еще одна допустимая экстремаль 3(1 — 1)' (Т =1). И.20. х(Г) — 1(7 =1/3) я аЬвш(п, 8 „, =+ оо; имеется еще одна допустимая экстремаль а' (Т 1). И.21. Я „=-[- со, 2 2(1 + вш 1)/(Зл) ез аЬв ш1п. И.22.. Япа, = .+ со, — „вш Ген а Ьв ш1П. И.23. Ю =-+оо, [1 — сов à — — (1+ в1П 1) ез аЬв ппп. шах ' 16 Зла [, 4 И.24. Я ., =+ с, сов à — 1 ~ аЬвш(п. И.25. 5„,„=+ со, 2(ес — ес — 1)/(е» вЂ” 4е+ 1) ео аЬв ш1п. 11.26 Явах =+ оо, 2(Се — С вЂ” ес + 1)/((3 — е) (е — 1)) ен аЬв ш1п. 11.27, Я»п„=+ оо, 1п (с+ 1) — 1~ аЬвшт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
