В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Кроме того, как нетрудно убедиться, функция р непрерывно дифференцируема. Мы не выписываем самой функции р, так как нам нужна лишь ее производная, а эту производную нетрудно вычислить, последовав приращение р(%+ Н%) — Р(Ч) 2. Необходимое условие — теорема Ферма: р'(гр) = О, 3. Проверить, что р (р) = У,(1+ соз ))/э1п р — 4Д вЂ” сезар)/эгп р, где (1 = )СМ~, Ц = (РМ(, $ — зто угол ОСР (рис. 6).
А 4. В силу единственности стационарной точки 7р ен аЬз иип. Геометпический смысл соотношения р'(гр) = 0 состоит в следующем: пер- С пендикуляр к СР, проведенный в О' точке ЗХ, пересекается с бпссектрп- л / сами внешних углов С и Р в одной точке О; иначе говоря, вневписан- Ю л ная окружность в треугольник ОСР проходит через точку М. Рис.
6. Ответ. Надо провести окружность через точку 3Х (большего радиуса пз двух возможных), касающуюся сторон угла, н затем провести отрезок [С, Р), касающийся этой окружности. 2.47. Площадь четырехугольнлка, вписанного в круг. 241 2Л8. Решение. 1. Формализация: У1(В, Ь)= пйе(Л вЂ” Ь/3)- -э зир; 2яВЬ = а, 0 ( Ь ( 2В ( — радиус шара, Ь вЂ” высота сегмента, а — заданная площадь боковой новерхности). Исключая В, приходим к задаче $'(Ь) = — — — -азор; Ьа нй 2 3 (последнее йеравенство следует нз того, что Ь ( 2Л =~ а ~ яЬ2), 2. Необходимое условие — теорема Ферма: Р'(Ь) = О. 3.
Г (Ь) = 0 -с=,"- Ь" = )'а/2н. 4. По теореме Вейерштрасса решение Ь" задачи существует. ясно, что Ь" ~0 и Ь'чй 2'а/я, ибо г'(О) О, а уфа/я) = ауа/6)/д ( - $'фа/2я) = ауа/Зу2я. Значит, а = 2лЬ', отсюда Ь" = В. О т в е т. Искомый пгаровои сегмент — полушар.
2.49. Если точки лежат по разные стороны от прямой, то искомая точка есть пересечение прямой АВ с данной. Пусть точки лежат по одну сторону от прямой. Отразим одну из них, например точку А, симметрично относительно заданной прямой. Получим точку А'. Пересечение прямой А'В с заданной и есть искомая точка С. 2.50, 2.51. Вершина тетраэдра должна проектироваться в центр круга, вписанного в основание. 2.52. Правильный тетраэдр. 2.53. х, = (х1+ х2+ хз)/3 — центр тяжести треугольника х1 М / М хн х2. ' 2.54. х = ~ т х, / '~~тт — центр масс.
2.55. Обозна1=1 1=1 М Ж чим х = ~ т,х, ~~~ т,. Если ~х~ ~ 1, то хо = х; если ~х~ > 1=1 4=1 ) 1, то х4 =х/~х~. 2.56. Обозначим х = ')', т,.х, '~ т,. Если х=О, то хе — любое; если хчьО, то хо=х/~х~. 2.57. Из точки с координатами Яо ф2) к эллипсу х21/а21+ х~~/а2 = 1 (а ) а„) можно провести четыре нормали, если эта точка лежит внутри астроиды($ а )2/з+(2 а. )~~~ =(а21 — а2)2/з;три нормали, если эта точка лежит на астроиде (за исключением вершин); две нормали в остальных случаях. 2.58. Из точки с координатами ($п $2) к параболе у = ах' (а > 0) можно провести три нормали, если точка расположена выше кривой 2 = 3 2 4~за 1~2$2/з+ 2 1а две нормали из точек на этой кривой, кроме точки (О, 2-'а — '); одну нормаль из точек ниже этой кривой и точки (О, 2 'а-').
2.59. / Приведем ответ для гиперболы — — †) = 1. Из точки ~а ) ~а 1 с координатами (Зп $2) можно провести три нормали к ближайшей ветви гиперболы и одну к дальней, если ($ а )2/з — ($ а )2/з > >(а12+аз)2/з; две нормали к ближайшей ветви и одну к дальней пз точек (зь $2), для которых последнее неравенство обращается а2+ а2 в равенство, исключая точки 1 2 ); нз всех остальных а 1 242 точек плоскости моткпо провести по одной нормали к кансдой ветви гиперболы, 2.60.
Расстояние от точки 2= (А, ..., Х„) до и и / и гпперплоскостп ~)~ а,.х, =- Ь равняется «~ а,,х, — Ь ~ ~~~ ат. с=в с=с 1=1 2.61. Решение. 1. Пусть гиперплоскость задана уравненпем (а, х) — Ь = 0 ((а, х) — скалярное произведение векторов а и х). -Рассмотрим экстремальную задачу )х — хост-»1п1; (а, х) — Ь = 0 (а чь 0). о Функция Лаграняса:,У = — "~х — х (~+ 1 (а, х). 2.
Необходимое условие: Х,(х — х1) + Ха = О. 3. Если Х, = О, то а = 0 — противоречие. Полагаем Хо = 1; тогда х = х, — Ха, Х ((а, хо) — Ь)/(а, а). 4. Непосредственной проверкой поясно убедиться, что Я е=- аЬз ппп, 5 ~, = ((а, хо) — Ь)/(а, а). Пскомое расстояние равно ~(а, х,) — Ь|/~а~. Эта тема исследуетоя также в $12. 2.62. Расстояние от точки- У до прямой ас+ Ь, а, Ь ен К", равняется (~1 — Ь~' — ((х — Ь, а)/)а~)')и'. 263. х = — а/~а~ ~ ев аЪз ш1п, 1(х) = 1а~. 2.64. Стороны прямоугольника: ~'2а, 12Ь.
2.65. Стороны параллелепипеда: 2афЗ, 2Ь/)~3, 2сЯЗ. 2.66. (~а, О, 0) ен аЬ| шах, если а ) Ь = с. 2.67. Р е ш е н п е. 1. Рассмотрим экстремальную задачу и и ,'«~ ~х,. ~"-»впр; "~~~ '(х,~ч = ач (1< р с а, а»0). с=1 с=1 й".ножество допустпмык элементов коьспактпо, функционал непрерывен, значит, то теореме Вейерштрасса решение х задачи существует, Функция Лагранжа: и и я =Х ',«)х,("+Х ~~ ') х,.'1ч — ач ь=-т 1= — 1 2. Пеооходнмое условие — стационарность по х: К„,=Ос>Х р~ х;~" тиап х;+ХЧ(х; ~ч тесан х.=О, 1< с(и, 2. 3. Х,=О=:- 1чьО=».1=0 не является допустимым элемен- 2. том в задаче. Положим 4= — 1= - либо х, =О, либо ~х,~ = (),с /р) /( — ч) 4.
Макспмуьч функционала достигается в критической точке. Пусть у критической точки отлично от пуля ровно /с координат; тогда у этих координат !х,~ = ай пс. Прп этом Б (а) =- а" шак /с~ ~'ч = а"ит шах 1 алаи 0 Выведем из решения экстремальной задачи требуемое неравенство. 243 А) р) 1. Пусть ~~~ <х,)ч= ач, Тогда гг=т < и 1/р и т/р Х!х,1~/и =и '/р Х!х,1~ < -'Ы(я,„(а))~Ф= 1=а 1=1 и г/Ч вЂ” ! ° 1 г=т Б) р = 1.
Неравенство получается предельным переходом в неравенстве и. А). В) 0 р ( 1. Положим у» = )х,~р, Тогда Х ~*. 'Г/" = Ж ~У <~" ( ~ ~ у; ~ч/р/гг = '~~~ < х, ~ч/и Г) р < у < 0 ~ 0 < — д < — р ~ (А), Б), В)) ~х )р/и = ~~~ )х т~ р/и ~(Х~ г'~ '/ ) =(х|*,г/.) и г/р Д) Устремляя р к О, получаем, что Иш ~ < х,,~~Р/п о и 1/и Ц ~ хг ), откуда, если р < 0 < д, то г=1 г/р и ~ г/и ~~ ~ х.
)р/и ( Ц 1х ~ (( ~ х )ч/и)~~ч, г=1 г=ь 2.68. Неравенство доказывается, как и в 2,67. 2.69. Эта задача является частйым случаем задачи 2.67. (см. и. Д)). 2.70. Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу ,'~' хга;-г-зпр; ~~~~ ~~ х,)Р=ЬР (р «1, а,~ В, 6) 0), Множество допустимых элементов компактно, функционал непрерывен, значит, по теореме Вейерштрасса решение задачи существует. Функция Лагранжа: и и Ы-7...'~ *,,+7.
„'~ ~,.<, г=1 г~1 244 2. Необходимое условие — стационарность по х.' Ы'„. = 0 сФ Леа, + Лр ~ х,.)" ' з(дп х, = О, 1 = 1,,, и, 3. Ло =,0=:- Л чьО=;- Х = 0 не является допустимым элементом. Положим Ло= — 1. Тогда из и. 2 *,=(а~а,~л ' з1дпа,, о о -т/и 1/р+1/р'=1. Поскольку ~~ х,~" = Ьп,то р =Ь ~'„~а ~" 1=1 1=1 4. Критическая точка единственна, значит, У ея аЬз шах, о -т/р~ Яп,а (Ь) =Ь ~' (а, ~" . Таким образом, ~=1 ~)~~ а х «(ящик, "~ ~ х ~п = „~~~~ х ~" „~~~~ а ~" Случаи р = 1 и р = +оо получаются предельным переходом. 2.71.
Решение выводится из зкстремальной задачи о и ~ х + р Г' -+ зпр; ~ ~ х. ~" = а", о=в а=1 п ) р, ~" = Ь" (р»1, а) О, Ъ) 0), 1=1 2.77. — 10,201..2.78. 4,49343. 2.79. 1,045. К упражнениям $3 13. Пусть /~ и /2 — функции па прямой, заданные равенствами /~ (х), = $ $х$ — 1$, /з(х) = (х!. Тогда () р), )у)<1,, (О, )у)<1, и~1; ''"' ~-, Ь( (1, ) х((1, (У, +/,)(.) =~..., (/ +/)*(у) =~" !у))2.
С другой стороны, О, ~ У(~(1> (/~+/,)(у) = '(и( — 1 1<!у!<2 оо, ) у() 2. Таким образом, преобразование Лежандра — Юнга — Фенхеля суммы певыпуклых функций (функция /~ невыпукла) моятет не совпадать с инфимальной конволюцпей сопряженных функций, даже если исходные функции всюду непрерывны, 3.1. а) а)~0; б) а>0, Ь)0, с — любое; в) р.-»1; г) а )О, а а — а" -эО пли а, = а, =О, а 'О.
3.2. а) да; б) да. 245 у (1пу — 1), у. -О, 3.3. а) У'» (у) = О, у = О, б) а ( 0:=;» у* (у) == +со; + аа» у~а; ( — Ь' а = 0 ~ У~ (у) = 6 (Ь) — с; а ) О =~ У'» (у) = У ' — с; в) р ) 4а ) 1 =!» у* (у) = — ~ у (" ур' 1/р+1ур'= — 1; р=1=>у» (у) = 6 ( — 1, Ц; 0 с <.- р ( 1 ~ у* (у) = 6 (О); г) У* (у) = — 0; д) у* (у) = птах (ау, Ьу); + , у -в О, — 1 — 1п( — у)> у(0. 3.4. а) 6 (( т' а2)) — Ь; б) атт ) 0 атга22 ~22~ О=Фу~(у)= > О=~У'(у) = ~. а =а =а =0=> (+ оо, у ф 1пт А; =>у*(у) = 6 (О); у* (у) =+ со в остальных случаях, где А =— =Г:::::) Х (1п Х вЂ” 1), (ут, у2) = у» (ат, а2), Х ~ О, в) У*(у) = О, у=О, + оо в остальных случаях; г) 1*(у) =(батут!"'+1а2/21"')""Ф, 1ур'+ 1ур=1; О, у,.
> О, . = 1, ..., и, ~ у, = 1, д) 1* (у) = + со в остальных случаях. 3.5. а) у'*"(т)==0; б) у»'»(х) = (( — 1), !х!)1, О, )х ) ( 1; в) у*~(х) = — 1; г) ~'»*(х) ж 0; д) уи'* (х) = ~х / + (х — а~; е) у'»'» (х) = )~х~ — 1, х1>1, О, ° ~ х~(1. 1 0,(х*,х( )) = ~ х(у)ар(г), где р(0) =0 и при о этом р ( ) — непрерывная справа (кроме, быть может, нуля), монотонно возрастающая функция вариации единица, + ао В ОСтаЛЬНЫХ СЛУЧаЯХ.
3.6. У*(х~)= 248 3.7. а) ~у (+~у ~~~1; б) ~ у ('+ ~ у ~ (1; в) треугольник с вергппнамп ( — 2,0),(1+ у'3); г) В„, = ((у,,у ) ~~ у (Р'+ + ~ у2 ~~ (~ 1, 1/р + 1/Р' = 1~; д) (атуД + (авуа) (~ 1. 3.8. а) 1 — 1,Ц; б)(О,Ц;в) ( — 1,0). и и 3.9. а) ! у( я= 1; б),'~~ ~ у,. ~ ( 1; в),У', у; = 1, у; »О; т 1=-1, ..., и; г) [О, а|. 3.10. [х*[(х*, х( ° )) = ~ х(~) др(~), е где р(0) = 0 и при этом р(.) — непрерывная справа, монотонно возрастающая функция (кроме, быть может, нуля) вариации единица). ЗЛ1.
Ве=(х*е= Х" [!)хе~(х, <1~. 3.12. а) [ — 1, 1); б) (х*я енС*([0, 1)) ! (х*, х ( ° ) > = р х (1/6) — р х (1/2) + р х (5/6), р, ) О, р +р +р =1'). 3,13. шах [х --, '~/3 х~, х — ~/3 х, — 2х ~. 3. 14 ° (р А) 1 — 6,4е +ее, [х[)1, Л6. Решение. Из не авенства Юнга и с 4.1. Решение. Эту задачу можно решить, раскрывая модуль. Но мы ее решим с помощью субдифференциалов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
