В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 28
Текст из файла (страница 28)
11.129. (Р) Пусть х( ) локально абсолютно непрерывна, х( ° ) ое Е,(В+) и х(0) = 0; тогда имеет место точное неравенство (неравенство Гильберта) ОО ОΠ—,Й(4 хЧ~ о о (19, с. 212). 11.130. Пусть х( ) абсолютно непрерывна, х( ) еа яХДО, 11) и х(0) =О, Тогда имеет место точное неравенство 1 1 — Й( кой о о (19, с.
437). 11131. Пусть х( ) абсолютно непрерывна на [О, 1), х( ) ~Л,ИО, 11) и х(0) =О. Тогда имеют место следую- гцие точные неравенства ((19, с. 438)): 1 1 х а) Й= — хй, о о 1 1 г о о г1В 11ЛЗ2. Пусть х( ) абсолютно непрерывна на (О, 11, х( ) ~Е,([0,1!) и х(0) х(1) =О. Тогда имеет место точное неравенство 1 1 г 11ЛЗЗ. (Р) Пусть х( ) локально абсолютно непрерывна, х( ° ) 2в ЬР(В+), р.
1, и х(0) =0; тогда имеет место неравенство (неравенство Харди) Ы" (=')')" *'" О 2 т 11Л 34. (Р) ~ (1 + е 1 х ~ ) й -~ 1п1; ~ х ~ ( 1, х (0) = х, о х(0) =и„х(Т) = х(Т) = 0 (е «0). (При в=О получается классическая задача о быстродействии. Величина т е) )х~ Й характеризует расход топлива на поездку.
Функо цпонал здесь таков, что мы вынуждены одновременно акономить время и топливо.) т !!!35. (Р! О !! .Р х!!х!)О! !х!! !х)(!, х(О! = х„ о х(0) = г„х(Т) = х(Т) = 0 (е) 0); У вЂ” четная выпук- лая функция. 2О!+ 1 2т+1 2та+1 2!Р+1 11.136..»; ', 1п1; .'» х,=,'» х',=О,,'»' 11Л37. Сто положительных чисел х„..., х„, удовлетворяют условиям х12+ ... + х122 10000, х1+ ... + + х122~ 300. Доказать, что среди них найдутся три числа, сумма которых больше 100. 11Л38.
Среди неотрицательных тригопометрических полиномов вида х(~) =1+2р,сов~+...+2р,созп1 нанти полином с наибольшим козффициентом р,. 11.139. Пусть х( ) — невозрастающая функция на полу- прямой; тогда для любого а > 0 справедливо неравенство 217 Гаусса 00 00 х Й ~~ —, ) Рх (~) Й. 9а ! а о 11140. Пусть х( ) принадлежит Е,(В+), а ее производная абсолютно непрерывна и х( ) оа Е,(В+); тогда ! х'й(2(! х'!!) (! х'й) (неравенство Харди — Литтльвуда — Полиа).
11141. х(0)-эяпр; ~(х'(~) + (х'"'(~))') !й(1, о 1 11.142. ) ~ и ~" йг — !.1п1; х + их = О, х (0) = х (1) = О, о х(0) = 1 (р)1). 1 !!.!43. 1~и~а !и!! о х + их = О, х (0) = х (1) = О, х (0) = 1. % 12. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 12 1. Некоторые теоремы анализа и алгебры. 12.1 1. Основная теорема алгебры. Т еоре и а. Каьсдый полином с комплексными коэффициентами степени, не меньшей единицы, имеет комп.!вксный корень.
О Пусть р(з) = а, + а,г +...+ а„з" — полпном степени и ~ 1, у которого а„Ф О. Рассмотрим элементарную задачу ~(з) =!р(з)!'- 1п1; зоа С, (з) где С вЂ” множество комплексных чисел. Л е и и а, Решение задачи существует. О'1 В сплу неравенства треугольнпка для модулей имеем и-1 '~ 2 ~(г) = ~р(г) ~о=' ~~ аоз~ ~ «1ао И я~о — 2' а„з~ !!=о А=о = ~ а,', ~ ~ го" ~ (1 + О (1/1 з ~ )) -~ ~- оо при г +, Остается лишь сослаться иа следствие из .теоремы Вейерштрасса. И> Пусть г — решение задачи з. Не ограничивая общпости, можно считать, что г = 0 (иначе мы рассмотрели бы полином а(г) = р(г — г)).
Тогда ~ (0) ( ~ (г) = ~ а, + а,г + ... + а, г" ~' ««г ~ С. Если а, = О, то точка г = 0 была бы корнем полинома и все было бы доказано. Пусть а, Ф О и е — тот номер, для которого а, =...= а,, = О, а, Ф О. Зафиксируем «, = = е" и рассмотрим задачу фИ) = ~(~~) — 1п1. Из наших допущений следует, что О ее аЬзш1пф. При атом а«« ~«« Х(а, + а„Се ~ + 0(1 ~~)) = О, Й = 1..., е — 1, (1) ф '(0) = 2 (е!) Ве (а,а,е "~) = 2 (е)) $ а0 ~ ~ а, $ соз (е8 + 7). (1') Применим к задаче необходимое условие минимума (п. 2.6,1). Согласно ему г должно быть четным и при этом ф«*'(0) ) О. Из выражения (1') видно, что ~ всегда можно выбрать так, чтобы ф«о(0) < О.
Значит, 0 Ф Ф1ос ш)п «р и, значит, а, должно быть нулем. ~> 12.1.2. Критерий Сильвестра. При формулировке ус- ловий высших порядков приходится определять, является второй дифференциал функционала положительно опре- деленной квадратичной формой или нет (п. 2.5.2). В ко- нечномерном случае критерий положительной определен- ности дается известной теоремой Сильвестра.
Покажем, что эта теорема является простым следствием теоремы Ферма для многомерных задач без ограничений. «в Напомним, что сима«етричная матрица А = (а„).. называется положительно онределенной, если квадратнчт ная форма 9 (х)= (Ах, х) =,~~ анх,х, положительна для 1=1 любого ненулевого вектора х е- =В". При этом пишут А ~0. Определители йе$А„, где А«, — — (а„),,=„й = 1, ...
..., т, называются главными минорами матрицы А. Квад- ратичную форму <А„х, х) (х еэ В") обозначим «',) (х) (0=0 ), 219 Т е о р е и а С и л ь в е с т р а. Матрича А положительно определена тогда и только тогда, когда ее главные миноры положительны.
Для матриц первого порядка утверждение теоремы очевидно. Пусть оно доказаио для матриц порядка п — 1 (и > 2). Докажем его для матриц порядка п, Лемма. Пусть йе$А„) О, й= 1, ..., п — 1, Тогда А ) О тогда и только тогда, когда йе$А„) О. 'З4 1. Рассмотрим экстремальную задачу 0.(у„..., у. о 1) = =/(у) = <А„,у, у>+ 2<а„, у>+ а„„- 1п1, (з) у = (у„..., у„,) вз В"-', где а„= (а,, ..., а„„,). Зто — гладкая задача без ограничений. Решение у задачи з существует. Действительно, по предположению индукции А„, = О. Вследствие того, что определитель непрерывно зависит от элементов матрицы, при малых е « О матрица А, — е1„, (где 1„, — единичная (и — 1)-мерная матрица) будет также положительно определенной и, значит, <(А„, — е1„,)у, у> ~- "О ~у у т В" ' =:.
<А„1у, у> ~ е!у!'. Отсюда в силу неравенства Коши — Буняковского /(у) Э > е!у!' — 2!а„!!у! — !а„.! — + прп !у! - +, т, е. можно применять следствие из теоремы Вейерштрасса. 2. Необходимое условие — теорема Ферма — приводит к равенствам /'(у) = О ~-=. А„,у + а„= О. 3. В силу единственности стационарной точки у = — А„'1а„е-=аЬз ш1п з,откуда значение задачи -1 Я, = / (у) = (а„, у> + а„~ = а„„вЂ” (а„, А„, ~а„>, Разложим определитель матрицы А„по последнему столбцу: я — 1 йе(, А„= а„, йет А„, + Д', а,„Л~ 1=1 и, далее, каждый определитель Л„1= 1, ..., п — 1,— по последней строке.
Тогда я-1 йе1А„= а„„йе(,А„, +,'~~ А„а, а,„, яр=1 220 Если теперь воспользоваться определением обратной матрицы к А„„то приходим к формуле йе1 А„= йе1 А„д (а„„+ (а„, А,, ' а,)). Значит, доказано, что Я. = йе1 А„/йед А„,, Таким образом, если А„) О, то О<К (у„..., у.-д, 1) =У(у„..., у.,) =Я,~ йедА >О. Если же йе(, А„) О, то для вектора х = (х,, х„,, 0) Ф О получается неравенство ч,(х) ) О по предположению индукции.
Для вектора х = (х„..., х„), х„Ф О, обозначим у = (х,/х„, ..., х„,/х„) и получим ф, (х) = х„'/(у) ~~ х„'/(у) = х,', йе1 А„/йед А„д:: О, а зто означает положительную определенность А. И> Теперь критерий Сильвестра выводится очень просто. Пусть А„=» О. Тогда очевидно, что А„, = О и, значнт, по предположению индукции йе$А,. О, /г = 1, ..., и — 1, откуда по лемме следует, что йе(, А„) О. Если же йед А„= ) О, /г = 1, ..., и, то из леммы сразу вытекает, что А, )О. 1> 12.1.3. Расстояние от точки до подпространства.
Т е о р е и а. Пусть Х вЂ” гильбертово пространство, х', ..., х" — линейно независимые элементы иг Х. Тогда расстояние р от точки х" до подпространства, натянутого на х',..., х', выражается формулой р = (йед((х, х')),,;=О/йегд,(х, х')),,; д) ~, :) Рассмотрим зкстремальную задачу э ~Я) = х'+,~~ $,х' дп1, $ = ($„..., $,) я К".
(з) $=д ')то — гладкая п выпуклая задача. Имеем Я) = <АД, $>+2<а„, $>+ Ь, где Ац — — ((х',х ))~„=д, ад, ††((х',хд), ...,(х', х")), Ь = (х0 х0) Заметим теперь, что в точности зту самую задачу мы решали в п. 12 1 2. Там было показано, что Я, = = йе(Ад,~д/йе1А~, где Ад+д = ((х', х')/,,,- г. Остается лишь учесть, что Я, = р'.
1> 221 Замечания. 1. Определители йе1А„и»)е1А»»+» называются определителями Грама. 2, В $2 были рассмотрены частные случаи этой теоремы, когда были найдены расстояния до прямой и ~иперплоскости. 12Л.4. Приведение квадратичной формы к главным осям. Пусть А = (а„)... — симметричная матрица (а„= а„) и»',) (х) = (Ах, х~ = ~~~~ а„х,х,— квадратичная »о=1 форма, соответствующая матрице А. Т е о р е и а. В пространстве В" существует ортонормированный базис /„..., Х„, в котором форма у допускает представление »» Ч'(х) = '„~~~ Х, (х,Х»)', 12.2. Некоторые неравенства. 12.2Л. Неравенство Вейля. Теорема. ХХусть Х вЂ” это прямая В или полупрямая В+, функция хИ) локально абсолютно непрерывна, причем хИ) и ~ ° х(~) принадлежат Е~(Х), Тогда имеет место неравенство ) х'и»<»»»»»()»'х'»»)'" ((х»»)"', где К(В) = 4, К(В+) = 2; неравенство точное и достигается для х(~) =Вехр ( — А~'), А > О (см.
»19, с. 199)). Неравенство (1) для Х = В выражает принцип неопределенности в квантовой механике. Докажем (1) для Х = =В+. Случай Х=В аналогичен. 4 1, Рассмотрим экстремальную задачу ОО 00 ~ х'й -~-1п1; ~ (Р— 1) хЧ8 = 1 о о (з) 222 В базисе (Я,=, матрица формы»,) диагональна, Направления вдоль векторов ~» называются главными осями формы»,), а переход к базису / — приведением формы к главным осям. Подробное доказательство этой теоремы и ее обобщений средствами теории экстремальных задач см. в (13, с.
274 — 277), и применим к ней принцип Лагранжа (хотя для бесконечного отрезка он в этой книге не обоснован). Функция Лагранжа: Ы = ) (Хох' + Х, (~' —. 1) х') Й. о 2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: — Х,х'+ Х~ (Р— 1) х = О; б) трансверсальность: х(О) = О. 3. Ксли Х,'= О, то х = О, что противоречит изопериметрическому условию.
Значит, уравнение Эйлера сводится к следующему: х+ Х,(1 — Р)х = О. Непосредственно можно убедиться, что функция ~р(~) = ехр ( — Р/2) удовлетворяет этому уравнению с Х1 = 1 и условию трансверсальности в нуле, причем ~р(~) уь О Уг ~ В+. 4. Семейство функций хИ, Х) =Ьр(~) образует поле экстремалей, удовлетворяющее условию трансверсальности и покрывающее полуплоскость ~ ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
