В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Выберем е, так, чтобы из !з — з! ='е, следовали неравенства !сс!, ~ е„!~,— ~,! ( е„!х,— хИ,)! < е,. Тогда получается, что если з=(~„т)) будет допустимой точкой в (з-,-„1такой, что !з — Ы се„то Г,(з) >Г,й). 1>Ь Б) Применение правила множителей Лагранжа к задаче (з-,-„). В силу доказанной леммы и теоремы о правиле множителей Лагранжа для гладкой задачи с равенствами и неравенствами (п. 2.3.3) найдутся множители Лагранжа Х„...,Х,„, р,„..., ~ь, не все равные нулю Й, = Мт, Г), р,, = р,(т, Г)) и такие, что для функции Лагранжа тп Х Я' = ~~ Х;г'; (з) — ~ р,с~ 4=о у=1 ~, (РИ)й(~ ~.))=7.(~)ЙИ ~) Х Я' = ~ / (1, х„, иД Й + ~ (~„,га, ~„;гя (~,)) — ~~ Р,~х;, 1о 1 Распишем условия стационарности функции Лагранжа Ы в точке з, учитывая лемму о приращении функционала и формулы (2) — (5) предыдущего пункта: дЯ' (г) — = Л~ (то, и~) — Р (то) Л~р (т~, г~) — р~ — — О, дои, )о= 1,...,У, (2) д „вЂ” Ух(~) д „й+ ~хо+ ~х, д Ь Р ( 7,) а (Л, ~,) — 'Р ( ~,) + ~,, + 5,,а ( 7„7,) = = — Я Г,) + 7,, = О, (3) 71 дГ(.) ) à —" д~„Ю ~ — - — 1Ж+ ) ЬЯ вЂ” ~ ~~+ ~,+ 3" д~, го л + ~., "„' - — ~(~,) — Р( )йК, От(Ь,)+ о ч=я + Р (~а) ~р (~о) + ~~о ~хЯ (~1 ~а) ~Р (~о) = = — Р(т,) + р(У,)~ (ц,)+ Е,,=О, (4) дУ ~ д~ ~ 1 (~1) + ~~1 + ~х1 Ч' (~1) = = 7 (М + г,, — Р Р й (У,) = О.
(5) Очевидно, что Х Ф О, ибо иначе из определений ~, Р и соотношений (2) следовало бы, что р =О, что невозможно. Умножением на положительную константу норт мируем вектор ), так, чтобы Х Х~ = 1, о 174 Итак, доказано, что существует единичный вектор Х такой, что выполнены соотношения (1) — (5) и, кроме того, ~„Р~(з) = 0 о ~ ХЯ~($) = О, Ю = 1, ..., т', (6) Х;~0, 1=0,1,...,т'. (7) В) Окончание доказательства. Рассмотрим в пространстве В +' подмножества К(т, и), ням, т ~ Т, компактной сферы Б = Х,'~~ Х,' = 1, состоящие из тех а векторов Х, для которых выполняются утверждения а) — е) теоремы о принципе максимума Понтрягина, причем в п.
2 взято ~ = т, и = и. Из определения множества К(т, и) нетрудно вывести, что они замкнуты. В силу условий (1) — (7) любое конечное пересечение множеств К(г„, и,)„ й = 1,, У, непусто. По лемме о центрированной системе все множества К(т, и) имеют непустое пересечение. Значит, существуют ненулевой.
вектор Х = Й„..., Х ) и функция р( ) ~ КС'(!г„Ц, В" ~) такие, что выполняются .утверждения теоремы а) — е) с условием оптимальности, выполняющимся для любых то=Т, и~Я. 3 а и е ч а н и е. Принцип максимума доказан в пространстве КС'Я~„Ц, В') Х КСЯ„~,), В") Х В'. Незначительные изменения доказательства позволяют обосновать его в пространстве И „'((г„~,], В") ХЬ„((г„~,), В") Х В'. 10.1.7. Примеры. Пример 1. я (х ( )~ = ~ ф' + к) д1 1по ) х ) < 1, х ~о) = а, о Р е ш е н и е. 1, Приведем задачу к виду задач оптимального управления, введя управление и( ): ) (и' + х) й-о- 1п1; х = и, и н- =( — 1, 1), х(0) = О, о Функция Лагранжа~ 4 2' = ~ (Хо (и' + х) + р (х — и)) й + Хх (0).
о 175 4 4 =- я (х ( о ~- ) ~-'й ~- 1 (2х — ~ ~- 4) х й:-- о о 4 е = яя( о «-1 ай ~- ~ (2 — о хд~)я ~х~ о, ибо на участке (0,21 х ~ 0. Итак, хе= аЬзппп, Пример 2. Т- 1п1; !т! < 1, х(0) = $„х(0) = $., х(Т) =х(Т) =0 (простейшая задача о быстродействии). Решение.1. Приведем задачу к виду задач оптимального управления и. 10.1.1, сделав замену переменных х, = х, хе = х и вводя управление и = х: У вЂ” 1п1; х, = х„х, = и, и ее ( — 1, 1), х (0) = $о х,(0) = $,р х,(Т) = х,(Т) = О. Функция Лагранжа: т 2' 1 ( р, ~т, — хо ~- р, ~х, — ия Й -~- х, т -~- о + А1 (х1 (0) — $1) + ?~е (хе (О) — $о) + Аех1 (Т) + Хехе(Т).
2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера для лагранжиана Е = р,(хе — х,) + + р,(х, — и): д ~ ~ °, + ~~; = 0 1 = 1, 2 е.-е. р, = О, р, = — р, =". си Ъ =о-Ре(1) = С1+ С1' б) трансверсалъность по х для терминанта е= 1,Т+ + Х,(х,(0) — $,) + Х,(х,(0) — Ц,) + Х,х,(Т) + Х,х,(Т); р,(0) =)~„ре(0) =),, р,(Т) = — ?,е, р (Т) = -?,, в) оптимальность по и (не зависящие от и слагаемые не выписываем): ппп ( — р,(Е)и) — р,И)иО) =~ и(Е) = з1ипр,(Е) иЯ~ — 1,1Л при Р,И) чь 0; г) стационарность по Т." 2'т=О"'=' )~о+?ах~(Т) +?.,„ха(Т) =О. 12 в. м, Алевееев и др.
Учитывая то, что х,(Т) = О, Л, = — р,(Т), р,(Т)и(Т) = !р,(Т)[, получаем Ут = О ~ Ло !р~(Т) !* 3. Если Л, =О, то из г) следует, что р,(Т) =О. При этом р, не может быть тождественным нулем, ибо иначе все множители Лагранжа были бы нулями. Значит, из а) р~И) = С(1 — Т), а тогда из в) следует, что и(~) = 1 или иИ) — — 1.
Множество начальных условий, соответствующих таким управлениям, описывается уравнением — 1/231, $1 ~~ О, $ = р($1) ЧЯ1)= у— У вЂ” 2$„$,( О (й(~) — — 1 =-" х~ (~) = Т вЂ” ~, х1 (~) = — (Т вЂ” ~)'(2=Ф- $~/2= = $1', случаи* и = 1 аналогичен). Если же $, Ф ср4,), то Л,ФО, и мы полагаем Л,=1. Тогда из г) вытекает, что !р~(Т)! ='1, т. е.
имеются две возможности: р+ ® = С(~ — Т) + 1, р, (г) = С И вЂ” Т) — 1. Этим возможностям в силу в) соответствуют такие управ- ления'. + ( — 1, О~~~(т, ( 1, О~~~<.т, и+(е) =~ и (ю) =~ 1, т(~(Т, ~ — 1, т «~.-Т, Рассмотрим траектории, соответствующие оптимальным управлениям и+ и и на плоскости (х„х,), называемой фазовой плоскостью (рис.
5). Для тех значений ~, для которых и(~) =1, имеем х~ — 1=Ф х1 — х2 = г + С =~ х, — — + С г + С вЂ” — + С, Таким образом, фазовая траектория, соответствующая этим значениям ~, является куском параболы х,= х',/2 + С. Направление движения по такой параболе определяется из условия возрастания х„ так как в этом случае х~ = 1. Аналогично получаем, что для тех значений ~, для которых иИ) — 1, фазовая траектория — кусок параболы х, = — х,'/2 + С, а направление движения определяется из условия убывания х„так как х~ = — 1. $78 Укажем теперь то место на фазовой плоскости (х„х,), где должно совершаться переключение управления.
В искомую точку (О, 0) (х(Т) = х(Т) = 0) мы должны попасть не более чем с одним переключением, двигаясь по фазовой траектории по разрешенному направлению. Совокупность начальных усло- х вий, соответствующих управлениям и+( ) и и ( ° ), описывается неравенствами $, ~ гр($~) (для и+( )) и $, ~ ~р($~) (для и ( ° )) (см, рис. 5). Переключения совершаются на кривой $, = = ср($,). При этом, как нетрудно видеть, для Рис.
5. каждого начального условия имеется единственная фазовая кривая, приводящая в точку (О, 0). Поскольку всегда !х,~ = 1 на оптимальной траектории, то х,= ~И+С и, значит, время движения Т=Уагх,, 4. Покажем, что оптимальная траектория, начинающаяся в точке ($„$~), доставляет решение задаче. Пусть этой траектории соответствует управление и( ) (для определенности и ( )), функция х( ) и время Т. Предположим, что имеется некоторый другой управляемый процесс (х( ), и( ° ), Т), Т~ Т. Доопределим функцию х(.) нулем на отрезке (Т, Т). В силу условий на левом конце функции х( ) и х( ) в точке т можно представить в виде х (т) = ( ~г — а) х ~ г~ Ыя + $,т -$- $,.
Поскольку х (8) = 1 ~ )х (8) ~фа ее (0> т), то х (т) — х (т) = ) (т — 8) (Ф вЂ” х (г)) ц'з - О, о причем равенство здесь возможно только, если во всех точках непрерывности х(8) = 1, а тогда х(й) = х(т) уЕ ~ ~и [О,т1, 12* 179 Аналогично, с учетом условий на правом конце можно представить функции х( ) и х( ) в точке т в виде х (т) = ~ (г — т) х (г) сЬ, Так как х (г) » «вЂ” $ = х (г) уг н= (т„Т), то х (т) —. я (т) = ( (я — т) ( — 1 — х (ф й ( О, причем и здесь равенство возможно лишь, если х(г) = — -1 и х(~)=х(~) у~~ ~т, Т~.
Таким образом, имеем, что х(т) х(т) и, следователь- но, хй) ж хИ) у~ ~ [О, Т). Отсюда Т = Т, 10.2. Принцип максимума и необходимые условия минимума в классическом вариационном исчислении, В этом пункте будет рассказано о необходимых условиях минимума для задач, изучавшихся в ~~ 5 — 7. Все необходимые условия минимума будут выведены из принципа максимума. 10.2Л. Простейшая задача. Докажем необходимость в теореме 1 и.
5.5.1 и в дополнение к этому покажем, что если х( ) доставляет сильный локальный минимум е задаче, то выполнено необходимое условие Вейерштрасса Г (1, х (1), х (1), и) » «О уи н= Н", у1 ~ (~„Ц, (Определение функции Вейерштрасса было дано в п. 5.6.2.) А) Условие Вейерштрасса для сильного и и н и м у м а. Формализуем задачу (з) п, 5.5.1 как задачу оптимального управления '1 ~ Е (1, х, и) й -+ Ы; х = и, х (1„) = х„ х (~,) =-х,. (з') ~о Из условия, что х( ° ) доставляет сильный минимум в (з) и.
5,5Л, следует, что пара (х( ), и( )), где й(й) =хИ), является оптимальным процессом в (з'). Согласно принципу максимума Понтрягина найдутся множители Лагранжа Х„Х, Х, и р( ) ~е КС'(Г~„й,1, В"), не равные одно- 180 временно нулю и такие, что для функции Лагранжа с, 2' = 1 ~л ь~йх,и) +(р(в,х — ия в + х хво) + х~х(й ) ~в выполняются условия: а) стационарности по х — уравнение Эйлера.' ф = =ААЛЕ); б) трансверсальности по х: р(8,) =Хо рИ,) = — Хв; в) оптимальности по и: Хв1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
