В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Можно показать, что описанное выше правило решения находится в полном соответствии с принципом Лагранжа снятия ограничений. 10.1,3. Необходимые условия экстремума. Т е о р е м а (принцип максимума Понтрягина). Пусть $= (х( ), и( ), 1„1,) — оптимальный процесс в задаче оптимального управления, функции ~„1=0, 1, ..., т, гр и их частные производные по х непрерывны в множестве У Х Я, где У' — некоторая окрестность множества '((1,х(1))(г~ К,7,)), и функции ф„г=О, 1, ..., т, непрерывно дифференцируемы в окрестности точки Й, хК), ~„ хИ~)) (условие гладкости). Тогда найдутся множители Лагранжа Х = Йо, Х„... ...,)( ), р( ) е=-КС((Я, ~,), К"'('), не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа Ю (и.
10.1,2) выполнены условия: а) стационарносги по х — уравнение Эйлера„ уравнения р(~)+ р(~)р. (~) = ЬЯ (2) с краевым условием р«,) =-~ (.и,)). (3) Отметим, что множитель Лагранжа Х, при функционале М оказываетгя равным единице, а условие трансверсальности по х(1,) несущественно. Единственность решения уравнения (2) с краевым условием (3) следует из теоремы существования и единственности решения задачи 1(ошп для линейных систем (АТФ, с, 191). < А) Игольна гые вариации. Зафиксируем точ.ку тя Т, элемент и ее% и такое малое число а > О, чго [т — а, т! с Т.
Управление ха (~) = — х И) 'у~ ~ Ио т — а$, 0 ха ( ) — х( ) ~3с([к,л,)) -+ О пРи а- +О; 2) х„(й) — х(8) = ау(~) + т (Е) УЕ ~[т, Е,Д, причем [ та(О [ зпр —" — ~-О при а — э+О; к=[и) а 167 ~и (~), ~ ф [т — а, т), [о, 1 е— = [т — а, т), назовем элементарной (игольчатой) вариацией управления и( ). Пусть х„(1) — решение уравнения х(г) ~р(г, х(т), и И)) с начальным условием хйо) = х,.
По локальнон теореме существования (АТФ, с. 186 — 189) функция х„( ) определена при а = а, в некоторой окрестности точки 1„, но из леммы 1, формулируемой ниже, следует, что на самом деле вектор-функция х ( ) определяется единственным образом па всем отрезке И„г,). Вектор-функция х ( ) называется элементарной (игольчатой) вариацией функции х( ), а пара (х„( ), и„( )) — элементарной вариацией процесса (х( ), и( )).
Пару (т, и), определяющую эту вариацию, будем называть элементарной иголкой. Б) Л е и и а 1 (о свойствах элементарной вариации). Пусть (т, с) — фиксированная элементарная иголка. Тогда существует число а, ) О такое, что [т — а„т) ~ Т и для любого а ~ [О, а,) выполнено следующее: 1) функция х„( ) определена на всем отрезке [1„~,/; при этом (р(г) у(г)+ ря уР)) с(г = ~, (рИ) у(())(~~ = = Р(81) У(Е1) — Р(т) У(т). (1 Подставляя найденное значение ) ~,у й в выражение для )('(+0), с учетом условия (3) получим искомое представление. !>~> Г) Завершение доказательства. Из леммы 1 следует, что если и ~ 10, с1Д, то (х„( ), и„( ) ) — допустимый управляемый процесс и х„(.) равномерно стреиится к х(.).
Поскольку (х( ), и( )) — оптимальный процесс, то при малых и ) 0 Я(х ( ), и„( )) ~ Я(х( ), и( )) '=~ у(сс) ~ Х(0). Отсюда по лемме 2 у'(+О) Э- О, и из выражения для )('(+О) и у(т) вытекает, что ~ (т, х (т), о) — р (т) (р (т, х (т), и) ) ~ )К(т) — р(т) ср (т) Ут я Т и Уо е= Я, т, е. выполняется соотношение ((). ~ Переходим к доказательству принципа максимума в общем случае, 10.1.5. Вспомогательные утверждения и построения. А) Лемма о центриро ванной системе.
Пусть К вЂ” компакт, (К„)„((( — система замкнутых под- множеств Х, любая конечная подсистема которой имеет непустое пересечение (иентрированная система). Тогда пересечение всех множеств системы (К )„6 непусто. 44 Обозначим через С', дополнение к К в К (С'„= =К'1К,). Тогда С' открыто в К. Если П К„=о, то изеб О С' -К, т, е. (С'„)„6 есть открытое покрытие компак- и~и та К. По определению компакта можно тогда найти такие та т С1( ° ., а~п, ЧтО Ц Са = К, НО тОГда П Ка = ф В ПрОтн$=1 ~=1 воречии с определетптем ттентрпрованной системы. Значит, йк„мо. и> а=и Б) 11 г о л ь ч а т ы е в а р п а ц и и. В предыдущем пункте мы смогли обойтись одной итолкой.
Здесь зто невозможно и приходится рассматривать наборы (пакеты) иголок. Переходим к определению тактт~ пакетов. Пусть (х( ), и( ), ~„~,) — оптимальный процесс. Выберем е ~0 столь малым, чтобы из е-близости графиков Г-„п Г„для допустимого процесса (х( ), и( ), ~„т,) вытекало неравенство Я,(х( ), и( ), 1„ 1,) > Я,(х( ), и( ), 1„ 7,), Продолжим и( ) на отрезок [т, — е, ~т+ е1 константами ий,) и ийт).
Включим процесс (х( ), и( ), ~„1,) в конечно-параметрическое семейство вариаций. Для зтого фиксируем натуральное У и два набора: т = (т,, , т. ), ~„ ( т, ~ л - т, <.. Х т ° < ~т (т, ~ Т с= И~, 1т), где Т вЂ” множество точек непрерывности и( )), и Р = Ьо ..., и;), и, ~ Я. Пусть а = (а,... а;), а, ~ О, Через Ь~т будем обозна- Х чать,'~~ ~ а, ~. Положим т=т и- (1) и- (~, т, тт)— ($) ( — ~у+ Г 0л т „Е ~т- =Л„Л, = (т, — (ттт — т) ~ а) т — а„т,— (У вЂ” т)(а1,). Некоторые точки т, могут совпадать. Однако полуинтервалы Ь, (имеющие длины а,) выбраны так, что они не пересекаются и при малом ~а~, лежат в Т, Рассмотрим решение уравнения х = тр(т,х, и-„(1)) с начальным условном х(т,) = х„где точка И„х,) находится в е-окрестности точки (~„х(~,)). Это решение обозначим х ( ), где т) = И„х„а„..., а~) ~ й"+"+'. В) О системах дифференциальных уравн е н и й. Рассмотрим задачу Коши х =.ГИ, х), хИ,) = х„ (1) где Г: С- В" (С~С(ВХВ")) — непрерывная и непрерывно дифференцируемая по х функция.
Тогда, если 1г0 где й(1, го) — фундаментальная система решений уравнения в вариациях: Й (Ю, 1 ) = Р (1, х (1)) Й (1, 1 ), Я (1о, 1 ) = Х. Это — классическая теорема о существовании и непрерывно дифференцируемой зависимости решений диффереициальных уравнений от начальных данных (АТФ, с. 195 — 204). Г) Лемма об игольчатой вариации.
Пусть Ж, т=(т„...,т,,), го<т, =...<т. <1„т,овТ, Г (о„... ..., о,,), о, ~ И, фиксированы. Тогда существует такое е, ) О, что если 0 (1а~, = е„!х, — х(1,) ~ ( е„!1, — Г,~ ( 'С г„то Л, ~ Т и, кроме того, 1. Траектория х„( ) определена на отрезке И, — е,, 1, + +е,), и 1х„( ) — х( )Ц("... -, +, ) „о)-~-0 при с 1~о оо ~1+го) н Я ~ Ч = (1о~ х(го)~ О1 ° °, О). 2. Отображение (8, т)) = И, 1„х„а„..., а ) — х„(Е) продолжается до непрерывно дифференцируемого отображения в некоторой окрестности Йь т)) = (1„1„х(1,),0, ..., 0), и при этом = й(1, т )Лср(тд, о~), (2) дя, дх„(~) ~ (~~ ~о)1 Ч=М дхо дх (Е) 'по д2 (~) 11 =- — а(1, Э ) (~(7 ), (4) 171 у(') — решение этой системы, график которого содержится в 6, определенное на отрезке У„Ц, то найдутся такие б ~ 0 и окрестность 6, графика вектор-функции х(.), что для любого (1„х,) ~ С, существует единственное ешение Х(, г„х,) задачи Коши (1), определенное на , — 6, Г, + Й, функция (1, 1„х,) ХИ, 1„х,) непрерывно Вифференцируема в области (г,— 6, г, + 6) Х С, и при этом Ч дХ вЂ” (1, 1„хо) ~ = й (1, 1,), (~1 ~о> хо) 1~ (1 го) р (1о~ х (1о))~ о !хо — — х(Го) з (Ео Ч) =(Е„Ео,хо,сс„...,а;), з~й"+"+', положим Р, (г) - Р, (~;, ~„х„а1, °, *, ан) ~ ~; (1, х„(1), и- (1)) Й + ф (1„х„1„х„(1,)) и рассмотрим задачу Г,(з) -1п1; Г,(г) «О, ~=1,..., т', Г,(з) О, (з-, -„) ~=т'+$,...,т, и>0.
об игольчатой вариации Г, е= С'(И'), где точки з = (~„~„х(8,), О,..., 0) в В'+"+'. з = (~„'1) = ( ~1 ~о х (~о), О, ..., 0) ~ В силу леммы И' — окрестность Лемма. ез 1ос ш1п з--„. 172 где Я(~, ~,) — фундаментальная система решений уравнения в вариациях: йР, ~ ) = ~~.И)ЯИ, ~,), й(~, ~ ) = У. Наметим путь доказательства леммы. Формула (2) составляет содержание леммы о свойствах элементарной вариации из предыдущего пункта. Действительно, если Ф зафиксировать ~, = ~„х, = хй,) и положить и = (О,... ..., я,..., 0) (число и является й-й компонентой вектора и), то Ч становится зависящим только от и, а х„( ) пре~ вращается в х„( ) из предыдущего пункта. Тогда очевидно, что утверждение 3) леммы о свойствах элементарной вариации и формула (2) означают одно и то же. Формула (5) сразу следует из определения.
Предположим теперь, что и( ) непрерывна. Тогда формулы (3) и (4) вытекают из теоремы о дифференцируемой .зависимости решений от начальных данных, сформулированной в В). Если же и(.) кусочно-непрерывна, то нужно применить теорему из В) несколько раз на каждом участке непрерывности и мы получим (3) и (4). Подробное см. в АТФ, с. 335 и далее. 10.1.6, Завершение доказательства.
Снова фиксируем У и (т, Й ва Т" Х %". А) Редукция к конечномерной задаче. Обозначим выполнены условия стационарности (У, = О), неотрицательности (Л~ Э: О, 8 = О, 1,..., т', р; ~ О, у = 1,..., У) и дополняющей нежесткости ЙРЫ = О, 8 = 1,..., т'). Положим ~ (~, х, и) =-,«~ ХД (1, х, и), (=О 1 (Ео, хо, Й1, х1) =,~~ ХД (8о, хо, г1, х1), 1=0 где р~( ) — решение системы Р (Ю) + Рсй)сР.И) = К„(Ю) л с краевым условием р~(1,) = — 1е~,. Из зтии определений и определения для Й(1, г,) следует, что Р (г) + Р (О Ч'х (О = Ух Р) ~ р (~1) = — 1х,е (1) 173 ~0 Пусть е выбрано так, что из е-близости графиков Г„и Г-„(где (х( ), и( ), 1„1,) — допустимый процесс) следует неравенство Я,(х( ), и( ),1,,1,) ~ Я,(х( ), и( ),~„,-8,). Выберем теперь е, так, чтобы из соотношений О = !а!, С = е„!~, — ~,! с е„!х, - х(~,)! ( е, по п. 1 леммы об игольчатой вариации следовало, что график Г~„ лежит в е-близости от графика Г-„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
