В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Добавляя сюда еще ~, и ~г, получаем всего 2п+ т+ 2 неизвестных. Для их определения мы имеем 2п условий трансверсальности б), т условий дополняющей нежесткости и заданных ограничений (3) п, 8,1,1 и два условия стационарности по 1,. Таким образом, число неизвестных совпадает с числом уравнений. (Разумеется, разрешимости полученной системы уравнений указанное обстоятельство не гарантирует.) б) трансверсальности по х: Р(»о) = ~х(»,) Р(~») = — Ех(»,)' в) стационарности по и: та Х Х,~,.() — Р(г)Т.() =0; г) стационарности по 1„; У,„=О, а=0,1; д) дополняющей нежесткости: ХЯЯ) =О, »=1, ..., т'; е) неотрицательности: Хс~О, »=О, 1...,, т', Рассмотрим следующую задачу с ограничениями типа равенств и неравенств в пространстве Е: Я.Ц) — (п1; ФЯ) = О, Я(~) (О, »=1, ..., и»', Я,Ц) =О, »=т'+1, ..., т.
(з) Отображение Ф при этом действует в пространство У С(Л, В"). Тогда ~ доставляет локальный минимум в задаче (з). 150 8 1.3. Необходимые условия экстремума. Теорема Эйлера — Л агр а н ж а. Пусть $ =(х( ), л и( ), 1„1,) — оптимальный (в слабом смысле) процесс в задаче Лагранжа и при этом функции /„» = О, 1, ..., т, »р и их частные производные по х и и непрерь»внь» в некоторой окрестности л»ножества ((», х(»), и(»))!Е~(»„Е)), а ~ь» О, 1, ..., т, непрерывно дифференцируемы в окрестности точки К, х(~,), ~„х(~,)) (условие гладкости). Тогда найдутся множители Лагранжа Х = й„..., Х ) и р( ) ~ С'Я, »,), й"~), не равные одноврел»енно нулю и такие, что для функции Лагранжа .У (и.
8.1.2) выполнены условия: а) стационарности по х: Р(И) + Р(~)»( (») = Х Хд (~); Покажем, что для задачи (з) выполняется принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа ра- венств и неравенств, и выпишем согласно теореме и. 2.3.3 необходимые условия экстремума. Действительно, банаховость пространств Е и У выте- кает из утверждения о банаховости произведения банахо- вых пространств (н. 1.1.3).
Гладкость отображений Ж и Ф доказана в АТФ (~ 2.4). Там же получены формулы для производных: ю~ я(г)~ч~=1У,.а+х, )н+~,( ).,— 7,(.).,+ 7, + Ф10т + Ф~1т1+ Ф (~,)Ь (т ) + Ф Р,) Ь (т ) + + фх(Ф )х (~ о) та + ф х(1~)~( ~~) т~, ~ = О» 1, ° °, ! л~, Ф' Ы) М = Ь (Π— р. (О Ь (~) — р (~) И) где т) (Ь( ), ь( ), т„т~) ~Е. Замкнутость образа отображения Ф'(~) имеет место в силу того, что образ Ф'Ц)Е просто совпадает с У.
Дей- ствительно, взяв произвольное у( ) ез У = С(Ь, К"), поло- жим и( ) О, т~ = т~ = О. Уравнение Ф ®[Ь(), О, О, О) =у() эквивалентно системе п линейных дифференциальных уравнений ЬИ) — ~„(1)Ь = у(1) с непрерывными коэффици- ентами. Оно имеет решение Ь( ) ез С'(Ь, К") в силу теоре- мы существования для линейных систем. Таким образом, все условия теоремы п. 2.3,3 выпол- няются. Согласно этой теореме найдутся множители Лаг- ранжа Х Й„..., Х ), у~ ~ У~, одновременно не равные нулю и такие, что для функции Лагранжа - У Я; у*, Х) = У (х И, и ( ), ~„1„и*, Х) = выполняются условия стационарности Уц = Ос~У„= О, У„= О, У~„— — О, 7с= 0,1, дополняющей нежесткости и неотрицательности. 151 Для доказательства теоремы покажем, что равенство Ы' О эквивалентно а) и б); условие .У„ = О эквивалентно в), а из соотношения У)„— — О следует г).
Расшифруем условие стационарности У по х. Имеем О=У.(Ь()! = '1 Д (~) Ь(Г) й+~.(,,)Ь(~В)+ 1.(,,)Ь(~,') +(Р~, Ь вЂ” ~р„Ь), \ аО где д(й) =.'~~ Х 7),(й). ~=о Определим функцию р( ) из условий Р (г) = — р (г) а (г) + д (г), Р ( 7, ) = — 7,( ,) (1) В силу теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной неоднородной системы (АТФ, с, 191) р( ) определяется нашими условиями однозначно. С друГОй СтОрОНЫ, дЛя ЛЮбЫХ а Ве В" И у(.) ее СЙ, ~,1, В") можно однозначно определить функцию Ь по условиям 60) = а).И) Ь(~) + уй), Ь(г' ) = а.
(2) Но тогда в силу (1), (2) имеем с, .~ (Р (г) " (г)) ' а'г = Р ( ~1) Ь ( г1) Р ( г о) Ь ( г о) о Ф1 - ~ (Р(~)Ь(~)+ Р(г) Ь(~)) йро Г = 3 ( — Р(~)ЧъИ)Ь(~)+ Ч(~) ЬИ)+ Р(~) Ч.(~) ЬИ)+ ~о 7 .р р )а) р )а)) ра = ) )р )а) д )а) -р р )а) р )а)) ра)о ~1 Выражая яа яоолодяаго.оооояошояня ) д)а)д)а)оа я 'о подставляя полученное выражение в условие стационар- $52 ности по х, получим тождество по а ее В" и у( ) еа ~ С(Й„У,), й"): 7» й — ~ р (с> у <с) й -> (д", д ( ~) -~ ( ~„<, ~ — д ( » ))и, 7» Отсюда следует, что (у~, у( )) = ~ р(~) у(Й)»1~, ~х(»,) = »о = р(7,).
Таким образом, У = Ы' и, значит, условие г) выполняется. Расшифруем теперь условие стационарности по и, учитывая вид у~: Отсюда по лемме Дюбуа — Реймона (и. 5.1.3) вытекает справедливость'условия в). 1> 8.1.4. Пример. Л,2 и й-~. ех1г; х + х = ы, х(0) = х(0) = О, х — = 1.
О Решение. 1. Приведем задачу к виду задачи Лагранжа п. 8.1.1, сделав замену пере»»енных х, =х, х, х: и' й-+ ех1г; о х, = и — х„х, (0) — х, (0) = О, х, — = 1. х, = х„ Функция Лагранжа: я~я 2' ~ (Х,и~ + р» (х» — х,) + р~ (х, + х, — и)) й + 0 + Х»х» (0) + Х,хз (0) + Х,х» — + $53 2. Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера для лагранжиана Б= = ЛОИ + р)(х) х2) + р2(х2+ х) и), е 1 — „—,Х. + Ь„,= О, 2= 1,2 м- — р, + Р,=О, — р,— Р,=О) й х ° б) трансверсальность по х для терминанта 1 = Л,х,(0) +, + Л,х,(0) + Л,хо(л/2): Р1 ( ) — Л11 Р2 (О) — Л21 Р1 о — ЛЗ~ Р2 в) стационарность по и: Ьи = 0.~:-).
2Лои — р, О. 3. Если Л,-О, то из в) следует, что р,= — 0; тогда из а) р, О, и, значит, в силу условия б) Л, = Л, Ло 0— все множители Лагранжа — нули. Итак, при Л,-О допустимых экстремалей нет. Положим Л 1/2. Из системы уравнений Эйлера вытекает, что р',+Р,=О. Общее решение этого дифференциального уравнения: р2=С'в1п1+ +Ссов1. Поскольку р,(л/2) =О, то р2=Ссоя~. Значит, по условию стационарности и = С сов ~. Таким образом, получили дифференциальное уравнение х+ х = С соя ~.
Общее решение: х — (С, + С22) яп1 1+ С, соя ~. Неизвестные константы ффС, определяются из заданных условий на концах. Единственная допустимая экстремальная пара: (х ) ), и ) )) = (- 1 в!и 1, — сов 1). 4. Покажем с помощью непосредственной проверки, чтО (х( ), и( )) ~аЬяш1п. Возьмем такие функцию х( ) и управление и( ), чтобы пара (х( )+х(.), и( )+и( )) была допустимой. Для этого надо взять функцию х(.) ов <22С2([О, 22/2)), х(0) =х(0) = х(л/2) = О, и управление и = х+ х, Имеем 5'(х ( ° ) + х( ° ), и( ° ) + и( ° )) — У(х( ), и(.)) = л)'2 л,!2 л/2 = 2 ) и~ )~ ~- ) и'й) 2 ) и )х <.
х) Ж о о Интегрируя по частям в последнем интеграле с учетом условий на концах функции х( ) и управления и( ), 154 получим Л!2 я'й ~ й(х.~-х)й= их~ -(- ) (яй — их)й= Таким образом, У(х( ) + х( ), и( ) + и( )) > У(х( ° ), и( )) и, следовательно, (х, и) йй аЬз ппп, Я „=+ . Действительно, возьмем последовательность пар х„( ) = х( ) + пх( ), и„( ) = и( )+ пи( ), и =х+х, где х( ° ) — некоторая функция из С,'((О, п!2)) такая, что х+ х чь 0 (например, х(~) =Р(~ — я,~2)', и = х + х); тогда У(х„( ), и„( ° ))— +00, Задачи Решить задачи Лагранжа 8.1 — 8.21 1 8.1. ~ и'А-»-ех1г; х — х = и, х(0) = 1. о 1 8.2 ) и'-й — ~еЫг; х — х= и, х(0)=1, х(0) = О. о 1 8.3.
) и'й-+ех~г; х — х = и, х(0) = О, х(1) = зЬ1, о х (1) = сЬ.1+ еЬ1. т 8.4. ) и'й-». ех~г; х — х = и, х (0) = х (0) = О, о == с Ь 1 + зЬ 1. + х = и, х (0) = 1. 155 х (1) = вЬ 1, х (1) 8.5. ~ и-'й-»-ех$г; х О я~2 8.6. ий й-»- ех(г; х о л 2 =. — ил~, .~. ( (и -~ й) х Й = О. о + х = и, х (О) = О, х — "", = 1. 1 х 8.17. 11хе-1ие181 ехее; х=х ~. и, х111=1. о 1 Х 8.18.
(х~ + 2и') сИ-«ех1г; х= = + и, х(0) = 1. 1/2 В задачах 8.19, 8.20 выписать зкстремвли и уравне- ния для определения всех неизвестных констант. Опреде- лить характер доставляемого акстремума. 1 819. ) (х'+ й) а1 — «ех$г; х+ ~Г2х = и, х(0) = 1. о 1 8.20. ) (х' + й') й — «ех1г; х — ~/2 х = и, х (О) = 1, т 8.21. 1и'11.(.х'171 ехее, х1-х=и, х101=1, о В задачах 8.22, 8,23 найти допустимые зкстремали.
8.22. и' й+ х (0) -«ех1г; о х + х = и, х (0) = О, х — = 1. 1 8.23. (Р) ) (х'+ у')-«ех1г; ху — ух = 1, о х(0) = О, х (1) = з1п 1, у (0) = 1, у (1) = сов 1. 5 9, ЛЯПУНОВСКИЕ ЗАДАЧИ 9.1. Элементарная задача оптимального управления. 9 1.1. Постановка задачи. Пус1ь% — произвольное множество из В", 1р: (г„г1) ХВ"- В. Задача в пространстве КС'((1~, 1А В'): ~ (и ( )) = ~ 1р (1, и (1)) й — 1п1; и (1) е= И, (з) 'о называется элементарной задачей оптимального управле- ния. 9Л.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
