В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Правило решения. Для решения задачи (з) следует при каждом 1 «е (~„1,) найти такое иИ), что ~р(8, и(8)) пп'п)р(8, и). (') иЕЯ Это и( ) и будет решением. Соотношение (») назовем. принципол миникула для (з). 9Л.З. Необходимое и достаточное условие экстремума в злементарной задаче оптимального управления. Теорема.
а) Пусть в задаче (з) функция)р непрерывна в И„М ХЯ. Если функция и( ) доставляет абсолютный )кинилул в задаче (з), то для любой точки непрерывФ ности функции и( ) выполнено соотношение ш1п)р(Е, и) = )рИ, и(Е)), (1) иЕа б) Пусть и( ) кусочно-непрерывна и в точках нег»рерывности и( ° ) выполнено соотношение И).
Тогда и( ) «з «з аЬз ш1п з. 3 а м е ч а н и е. Утверждения, аналогичные а) и б), оказываются верными, если термины «кусочно-непрерывна» и «для любой точки непрерывности» заменить на термины «измерима» и «почти всюду». 4 Докажем утверждение а) от противного, Пусть существуют т (где и( ) непрерывна) и и«еЯ такие, что фт, и) ~ц)(т, и(т)). Вследствие непрерывности функций )р(), о) и 1- )рИ, и®) (в окрестности точки т) найдется такой интервал Ь (т — 6, т+6), что <р(~, о) ( ((р(1, иИ)) при 1«вЛ.
Положим й()) =иИ) при 8ФЬ и йИ) о при 1я Ь. Тогда ~(й( )) <~(и( )) вопреки минимальности и( ). Утверждение б) очевидно. Об измеримом случае см. в АТФ (с, 360). (> 9.2. Принцип Лагранжа для ляпуновских задач. 9.2Л, Постановка задачи. Пусть Л вЂ” заданный отрезок числовой прямой (конечный или бесконечный), % — произвольное множество из В', ~); Ь ХВ'- В, Х вЂ” линейное пространство, д,: Х вЂ”  — функции, выпуклые для = О, $, ..., т' и аффинные для ~ = т'+ 1...,, т, А с= с= Х вЂ” выпуклое множество. Экстремальную задачу Я~)и) )) -).
д,)х) = ) ),)1,и)))сй-)-д,)ж) !ОГ; Ь Я',(и( ° )) + д,(х) = (з) =~1,и, я)й+а,(~)1 х оз А, и(~) е Я, называют ляпуновской задачей. К ним сводятся линей. ные задачи оптимального управления (АТФ, с. 347). 9.2.2. Правило решения. 1. Составить функцию Лагранжа: та Ы (и (') х )~) = Х ~ (Я 1(и ( )) + д,(х)). 2. Выписать необходимые условия: а) принцип минимума по и и х: ш1п ~~~~ Х,~, (1, и) =,,'~, Х,~, (1, й (1)), и~=Я 1=0 ~=о (з,) (зо) ш1п ,'~~~ Х,д,(х) = ,'~~ Х,д,(х); (оо) хЕА 1=о г=о б) дополняющей нежесткости: Х,(У;(и( )) + д,(х)) = О, ~ -1, ..., т', в) неотрицательности: Х,~О, 3=0, 1, ..., и', 3, Найти допустимые экстремали, т.
е. допустимые х и и( ), удовлетворяющие необходимым условиям п. 2 с множителями Лагранжа, не равными одновременно нулю. При этом бывает удобно отдельно рассмотреть случаи Х, 0 и Х,Ф О. Во втором случае можно положить Х, рав- ным единице или любой другой положительной константе. 4. Отыскать решение среди найденных допустимых экстремалей или показать, что его нет. Выписанные условия находятся в полном соответствии с принципом Лагранжа.
Действительно, в соответствии с идеей Лагранжа следует рассмотреть две задачи: Ы(и( ), х, Х) — 1п1; и0) ~%, .'Р(и( ), х, Х)- Ы; хо=А. Задача (з,) — это элементарная задача оптимального управления. Соотношение (о) есть не что иное, как прин- цип минимума для (з,), а соотношения б), в) и (оо) — не 159 что иное, как принцип Лагранжа для (з,) (напомним, что в точности зту задачу мы исследовали в 3 4). 9.23. Необходимые и достаточные условия. Т е о р е м а. Пусть функции ф»ъ Х В' -  — непрерывные, д»: Х-  — выпуклые для 1 О, 1, ..., )и' й аффинные для 1=т'+1, ..., т, А с= Х выпукло, У' — совокупность измеримых отображений и: Ь вЂ” %, для которых функции 8,- ~»(8, и(1)) суммируемы на Ь. Необходимые условия. Если пара (и( ), х) является решением 'задачи (з) и.
9.2.1, то найдется ненулевой вектор )),= Й„Х», ..., )), ) такой, что выполнены соотношения а) — в) и. 9.2.2. Достаточные условия. Если (и( ), х) веУ'ХА и существует ненулевой вектор Й„$,„..., ~. ), Х,4'О, такой, что выполняются соотношения а) — в) и. 9.2.2, то (и( ° ), х) за аЬзппп з (АТФ, с. 355). 9.2.4. Теорема двойственности.
Здесь мы ограничим себя задачами вида У о(и( ~) = ~1о(~» и(г))й- 1п1; Ь У ~»и» )) = )»»», и»»))»»(0, и» ) я У', »= »...,,ш, Ь Это — частный случай задачи (з) п. 9.2.1, когда з»=О и т = т'. Включим (з) в семейство задач У,(и( )) - 1п1; У»(и())+и»<О, (з(и)) Определим Я-функцию задачи (з(а)) равенством Я(а) = Ы (У,(и( )) !У»(и( )) + сс» < О, и( ) ~ Л, сс зз В . Теорема двойственности для ляпуновских задач.
Пусть Л вЂ” отрезок в В (конечный или бесконечный); Я вЂ” сепарабельное топологическое пространство, функции ~»: Л Х%- В, 1= О, 1, ..., тп, непрерывны, У'— совокупность измеримых отображений и: Л вЂ” Я таких, что функции 1- ~,(1, и(1)) суммируемы на Л. Если функция а- Яа) непрерывна в точке сс=О, то для любого а зз1п1йот Я Я»а) = вир» (р,и) ». ) Ф»», р)»»), ~л.О )»=а» где Ф(г, и) = М ~о(г, и) + Д рф(г, и) (АТФ, с. 363), »»ЕЕ »=1 $60 т 9.11. — с71 — э-1п1; (ср(1))~0), х(0) = О, х(1) = Р о (частный случай — задача 9.6).
1. 1 9Л2. —. й-ь-1п1; х~й = $, х(0) = х(1) = О, о о Решить задачи 9.13 — 9.16. 9.13. Среди неотрицательных функций х( ), заданных на отрезке (О, 1), принимающих нулевые значения на концах и ограничивающих заданную площадь, найти кри- вую минимальной длины (задача Дидоны). 9Л4. (Р) Доказать неравенство Карлсона: х о'1 (К (У) х'й гох'-й, имеющее место для любой функции х( ) нз 1,(1), для ко- торой ~1охч1 ( оо, где 1= В или В+, К(В+) = л', К(В) = т 4п' 1 9Л5. ~х'й-+ 1п1; х(0) =х(0) =О, х(со5= Во, о Ост,<...ст,.<1, $ -=В, 1=1, ..., т -(задача о сплайпах).
9.16. (Р) Среди плотностей вероятности р( ) случай- ных величин с нулевым математическим ожиданием и за- данной дисперсией найти плотность с максимальной диф- ференциальной антропией (задача Шеннона). Отметим, что большинство задач 3 8 может быть реше но сведением их к ляпуновской задаче.
з 10. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 10Л. Принцип максимума Понтрягина. 10Л,1. Постановка задачи. Задачей оптимального управления (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу в пространстве КС'(Ь, В") ХКС(Л, В') Х Х В2; Я,(х( ), и( ), 1„1,) — 1п1; (з) х(1) = ср(1, х(1), и(1)), (1) ~(г) ~ Я У1 ~=- (1,, г,), (2) Я,(х( ), и( ), 1„, 1,) ~ О, 1= $,..., и', (3) Я,(х( ), и( ), 1„1,) = О, 1= т'+ 1,, т, (4) где Я>(х( ), ( ),1„1) = ~~,(1,х(1), (1))г)1+ + Ф(10, Х(10), 11, Х(11)), 1= 0,1» ° ° > п2.
Здесь Л вЂ” заданный конечный отрезок, 1„1, ~ Л, 1,: В ХВ" ХВ' -  — функции и+г+ 1 переменных, ф,: ВХВ" ХВХВ"-  — функции 2п+2 переменных, ~р: В Х В" Х В' — В" — вектор-функция и + г + 1 переменных, % — произвольное множество из В". Частпым случаем задачи (з) является задача, в ко1орой один из концов или даже оба закреплены. Вектор-функция х( ) называется фазовой переменной, и(.) — упраелением, Уравнение (1), называемое дифференциальной связью, должно выполняться во всех точках непрерывности управления и( ) на интервале (1„1>) (зто множество в п. 10Л будет обозначаться через Т).
Четверка (х( ), и( ), 1„1,) называется управляемым процессом в задаче оптимального управления, 'если х( ° ) ов КС'(Л» В"), и( ) о-=КС(Л» В') и выполняются дифференциальная связь (1) и ограничение типа включения (2). Управляемый процесс является допустимым, если, кроме того, выполняются соотношения (3) и (4). ° ~ Допустимый управляемый процесс $ = (х( ), и( ), 1„1,) называется (локально) о1гтимальным (или еще говорят оптимальным в сильном смысле про11ессом), если существует 6 = 0 такое, что для всякого допустимого управляемого процесса $ (х( ), и( ), 1„1,), для которого )1 (х ( '), 10, 11) — (х( )» 10» 11) ~!о(»1 н>»)уп2 ( ~> выполняется неравенство Я,($) ~ Я,(Ц).
10Л.2. Правило решения. 1. Составить функцию Лагранжа: 1»»> Ы = )» Д )»>, )», х, и) -» р )») )х — »> )», х, и))~ »»» -Х »=о о Г Х ~» '>)> (10» Х (10)» 11> Х (11))» ~ (~0» ~1»»» ' » ~»>>)> >=О р( ) ~ КС'((10, 1 ), В" ), 163 2. Выписать необходимые условия оптимальности процесса $ = Ь( ), и( ), 1„Г1): а) стациенариести по х уравнение Эйлера; — †„, Х . (г) + Х. (~) = 0 р (~) = ,~, )„~,. (~) — р (~) ф. (~) 1=0 для лагранжиана тп Ь =,~~Х,У,(Е, х, и) + р(Е) (х — ф(Е, х, и)); 6) трансверсальности по х: ш Х. ( г„) = ( — ц' г„, р ® = ( — ц' .'к ) Я,„„, х 1=0 1=0,1, для терминанта ~ = ~ Ио хо, ~~~ х1) = Х ~Ф (~о! о1 ~1 > х1)1 в) оптимальности по и — принцип минимума в лагранжевой форме: т1п Ь (Г, х (1), х (1), и) = Х (1, х (Г), х (~), й(1)) с=о- ияй ° о=о.
ш1п „'~,' Х,~, (8, х (1), и) — р(1) ф (1, х (1), и) и=В 1=о ~ ~,~, (~, х(~), й (~)) — р (~) ф (~, х (~), и (~)) 1=0 шах Н (Е, х (Е), и, р (Е)) = Н (й, х (8), й(й), р (Ю)), ияли где Н(1, х, и, р) = рф(1, х, и) —,~~ Х~,(8, х,и) — функция Понтрягина; 164 или в гамильтоновой (понтрягинской) форме в виде прин- ципа максипул~а: г) стацпонарпости по Г,: (условне стационарности выписывается только для подвижных концов); д) дополняющеи нен.есткости: е) пеотрицательности: )„= О, ~=0,1,...,т'.
3 Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполнены условия и. 2 с множителями Ла1ранжа Х и р( ), одновременно не равными нулю. При этом бывает удобно отдельно рассмотреть случаи ), = 0 и т, Ф ~~0. Во втором случае можно положить Х, равным единице или любои другой положптельнои константе. 4 Отыскать решение среди найденных допустимых экстремальных процессов или показать, что решения нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
