В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Система (2) легко решается с помощью последователь- ного интегрирования уравнений, начиная с первого. При атом функция р„,( ) определена с точностью до многочле- на степени п — 1. Подберем этот многочлен таким образом, чтобы для функции р ~( ) выполнялись соотношения Ф1 1(й,— чт(р (т) — а„~тдыт= О, й= О,х,...,в — 1. Рассмотрим функцию у( ° ), определяемую по формуле у(1) = „, (г — т)" '(р,,(т) — а„(т) Юс. ~а Из определения функции у( ) вытекает,. что у'"'( ) =р„,( ) — а„( ) и у'"'(й,) = О„к= О, 1, ..., п — 1, В силу условий (3) у'"'И,) = О, й = О, 1, ..., и — 1, т. е.
у( ° ) ~ С," ([Ю„й1)). Следовательно, для у( ) выполняется соотношение (1). Таким образом, 137 Заменяя в последнем интеграле ао(.) на их выражения из системы (2), получим 1 и-1 и-1 0 — )»~Р~(е)у (е) ( ХР~(е)е (е) (у (е)) )~е— 10 и-1 — ) Х р (е) е'" (е) » — ) (у'"' (е))* »е. 1 ))=О 1о Учитывая, что у("(й1) =О, й =О, 1, ..., и — 1, 1=0, 1, нз последнего соотношения следует, что ~ ~у(") (~))' 4»Г = О. 'о Поэтому у(")(г) = О и, значит, р -1(4) = а„(0). Из последнего уравнения системы (2) вытекает, что а ( ) о= с)(140, 111).
Дналогичро, из (2) следует непрерывная дифференцируемость остальных, указанных в лемме функций и справедливость дифференциального уравнения. И> Очевидно, что лемма Дюбуа — Реймона из п. 5.1.3 является частным случаем усиленной леммы Дюбуа — Реймона. В) Завершение доказательства. Мы предположили, что х( ) о- =1ос ех$г з. Тогда из определения локального экстремума следует, что функция (р(Х) =У(х( )+ +»(,х( )) имеет локальный экстремум в нуле и, значит, (р' (О) "— '~ б'г (х( ° ), х ( ° )) = О, В силу произвольности х ( ° ) ~= ЕБ СО ((ООе Г1!) ПОЛУЧаЕМ, ЧтО 6'г(х( ),х( ° )) = О 7х( ° ) ~С, ((Г„й,)).
Теперь, если сопоставить вид первой вариации б."»(х( ), х( )), выписанный в п. А), с усиленной леммой Дюбуа— Реймона, то получится утверждение теоремы. 7.1.4. Пример. ) хе»е~ ехег; х (0) = х (0) = х(1) = 0 х(1) = 1. о Решение. 1. Интегрант: Е=х'. 2. Необходимое условие = уравнение Эйлера — Пуассона —, Х.. (г) — — „, Х. (г) + Х„(г) = О х(4) (г) = О. 3. Общее решение уравнения Эйлера — Пуассона: х(1) = Се~'+ С,Г'+ С,~+ С,. Неизвестные константы фф 138 г 1 1 1 г хин1= ~ай= хь о о 1 г г = — ) хггй = — хй + ) х"~й й = О. о о Следовательно, У(х(.)+ Ь( )) = У(х(.))+ 1' 'ЬЧ~~У(х( )), о Яо,г„= ') х й = ) (6~ — 2)' й = 4.
Ф Ответ. Функция х = ~' — 8' доставляет в задаче абсо-. лютный минимум, Я „= 4, Я„„= + 7.2. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия. 7.2.1. о.еория. Рассмотрим задачу со старшими производными: У<ЛЯ) = 1 ь(~,х,;, ...,х"')а 1п~; го х (1г)=х,, Й=0,1,...,гг, )=0,1, где Ь: я - й, я ~ О(К"+'). (з) 1З9 Со, С, определяются из краевых условий х(0) = О=о.Со = О, х (0) = О=о- С, = О, х(1) = О=о- С, + С, = О, т (1) = 1 ~ 3Сг .+ 2С, = 1~ С, = — 1.
Значит, в задаче имеется единственная допустимая экстре- маль х = ~' — Р. 4. Покажем, что она доставляет абсолютный минимум в задаче. Действительно, если Ь( ) ~ С, ЦО, Ц), то 1 1 . 1,. г .7 (г ( ) ~- ъ ( )) =- г (х ~- Й) Й1 = г х й <- 2г хй м ~ г ь'о.
о о о о С помощью двукратного интегрирования по частям, учи- тывая, что Ь(0) = Ь(1) Ь(0) = 6(1) = О, получаем Н(»,) = О, а Ноо(»,) — невырожденная матрица, где йг(»)... й„(») Н(») = )г(а-1) (») )г(Я-1) ( ) ь(,") (»)... ь.(") (») Н(~) ( ) ~(2а-1) (») $(2а-1) (») Очевидно, что точка т является сопряженной к», тогда и только тогда, когда матрица Н(т) является вырожденной. Это дает аналитическое средство нахождения сопряженных точек. Пусть И УХК, где Уе-=О(К"+'). Мы назовем интегрант».: РХК- К квазирегулярным на $', если функция х'"' - » (», х, ..., х'" ", х'"') выпукла Ч (», х..., ..., х' ')~ р'.
Наконец, мы скажем, что х( ) БАКР((»„»,)) доставляет сильный минимум в (з), если найдется е ) О такое, что для любой допустимой функцйи х( ) ее КС"(1»., »1)) такой, что ((х( ° ) — х'( ° ))1 1((ггл )) (е, выполнено неРавенство У(х( )) э У(х( ° )). Теорема 1. Необходимые условия слабого минимума. Пусть в задаче (з) интегрант Е удовлетворяет условию гладкости Е я С"+'(Я). Если х( )ееС'"Ф„»,) ) и доставляет слабый минимум в (з), то функция х( ° ) должна быть экстремалью, на которой выполнены условия Лежандра и Якоби. Достаточные условия сильного минимум а.
Пусть %= УХ К, $'~О(К"+') и в дополнение к условию гладкости интегрант Е квазирегулярен на К Тогда, если х( ) ее С'"((»„»,1) и ггри этом х( ) — допустимая экстремаль, на которой выполнены усиленное условие Лежандра и усиленное условие Якоби, то х( ) доставляет сильный минимум в задаче (з). Т е о р е м а 2. Пусть в (з) функционал имеет вид (1'), А,( ) ~ С'(1»„»,) ) и выполнено усиленное условие Лежандра (А„(») ~ О 1»» е= [»„»1)). Тогда, если не выполнено условие Якоби, т.
е. в интервале (»„»,) есть сопряженная точка, то нижняя грань в задаче равна — . Если выполнено усиленное условие Якоби, то допустимая зкстремаль существует, единственна и доставляет абсолютный минимум. $41 Глава 111 . ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 3 8. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА 8 1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа.
8.1 1 Постановка задачи. Задачей Лагранжа называется следующая акстремальная задача в пространстве Е = С'(Д, В") Х С(Л, В') Х В'. ,9Уо(х( ), и( ), 8„Ю~) -1. 1п1; (з) Ф(х( ), и(.), Е„Е,) =х(Е) — <р(Е, х(Е), и(Е)) О, (1) Я,(х( ), и(-), ~„8,) =О, ~=1, ..., т', (2) Я,(х( ), и( ), Е„Е,) =О, 1=т'+1, ..., т, (3) где 1 Я,(х( ° ) и(')1~о Е1) =~У~(Е, х, и) й + ч"1(1ос х (~о) ~1, х(~1)), о 1=0,1;...,т. Здесь Л вЂ” заданный конечный отрезок, ~„~, о= Л, ~,: В Х ХВ" Х В" —  — функции и+ г+ 1 переменных, ф,: В Х ХВ" ХВ ХВ"-  — функции 2п+ 2 переменных, гр: ф Х В" Х В" — В" — вектор-функция и+ г+ 1 переменных. Ограничение (1) называется дифференциальной связью, вектОр-функция х(-) = (х,( ),,, х„( )) — фазовой переменной, вектор-функция и(.) = (и,(-), ..., и,( )) — управлениелю.
Четверка (х( ), и( ), ~„~,) называется управляемым процессол~ в задаче Лагранжа, если х( ) ~ С'(Л, В"), и( ) ~ ов С(Л, В"), ~„~~ ~ пй Л, 1, ( ~,, и всюду па отрезке [~„~,1 выполняется дифференциальная связь (1), и допустимым управляемым процессом, если эта четверка является управляемым процессом и, кроме того, выполнены ограничения (2), (3). Допустимый управляемый процесс $ = (х( ), и( ), 1„1,) называется оптимальным (в слабом смысле) процессом, или слабым минимумом в задаче (з), если существует 147 такое б = О, что для любого допустимого управляемого процесса $ — (х( ), и( ), 1„1,), удовлетворяющего условию И$ — $~!, < 6, выполнено неравенство Я(Я) > Я(~).
8.1.2. Правило решения. $. Составить функцию Лагранжа: '1 та Я(х( ° ),и( ° ),8„Е,;р( ),Х) = ~ 2~ ХА(й,х,и)+ 1=о о + р(Ю)(х — р(Ю,х,и)) й+ Х Х,р,(Ю„х(К,), Ю„х(Ю,)), 1=0 ~„..., М, р() =-СВ„Ц, В"). 2. Выписать необходимые условия оптимального в слабом смысле процесса ф = (х( ), и( ), й„й,): а) стационарности по х — уравнение Эйлера: — ~~ Х. (~)+А„(~) = О для лагранжиана т Л =,?~ Х,~„(Е, х, и) + р(й) (х — ср(й, х, и)); 1=0 б) трансверсальности по х: Х.
(г~) = ( — 1)" Г„(,„) рЯ) = для терминанта ~= Х )~ Ф(~ х(Го) ~1 х(~1))' в) стационарности по и: Х„(~)=0 2')~,7 (~) — р(г)~ (~)=о ~~~~г„7,~; 1=0 148 г) стационарности по 1,; тгг У,„= О ( — 1)О+11 Хд,Р,)+ г=О ггг + Х г, (э, . Ф, Л )) = О, й = О, г г=О (условие стационарности по 1„выписывается только для подвижных концов); д) дополняющеи нежесткости: Х,Я,(~) = О, 1=1, ..., т'; е) неотрицательносги: 1~О,1 О, 1,, и'. 3. Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа Х н р( ), одновременно не равными нулю. При зтом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи ХО О и ХО Ф ~ О.
Во втором случае можно положить Х, равным единице или любой другой положительной константе. 4. Среди всех найденных в п. 3 допустимых экстремальных процессов отыскать решение или доказать, что решения нет. Предлагаем проверить, что правило решения составлено в полном соогветствии с общим принципом Лагранжа, о котором говорилось во введении. Набор условий для нахождения оптимального процесса является полным Действительно, для определения неизвестных функций х( ), р( ), и( ) мы имеем систему из дифференциальных уравнений (1) п. 8.1.1 и условий б), в).
Выражая из последнего (разумеется, когда ато можно сделать, например, если выполнены условия теоремы о неявной функции) и( ) через х( ) и р(.), мы получаем систему из 2п скалярных дифференциальных уравнений. Ее общее решение зависит от 2п произвольных постоянных и еще от множителей Лагранжа Х„среди которых т независимых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
